Un capitolo certamente avvincente che riguarda la parabola è la sua posizione rispetto ad una retta.
Una retta rispetto ad una parabola può risultare:
- Secante
- Tangente
- Esterna
Una retta è secante ad una parabola quando la interseca in due punti distinti.
Risulta invece tangente quando la interseca in un solo punto.
Infine è esterna quando non ha punti di intersezione.
LA RETTA E LA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO
Per determinare nel piano cartesiano la posizione di una retta e una parabola dobbiamo partire dalle loro equazioni.
L’equazione della parabola con asse verticale è:
Mentre l’equazione della retta nella sua forma esplicita è:
A questo punto possiamo metterle a sistema:
Eguagliamo adesso i valori delle y delle due funzioni:
Spostiamo tutto a sinistra e riordiniamo in maniera decrescente il polinomio in x di secondo grado:
Ci troviamo di fronte ad una equazione di secondo grado in x che dipende da 5 parametri: a, b, m, c, q.
Le soluzioni di questa equazione dipendono dal segno del discriminante o delta che in questo caso è:
In particolare quando il delta è positivo l’equazione ammette due soluzioni.
Ovvero detto in altre parole vi sono due punti di intersezione tra la retta e la parabola, dunque la retta risulta secante.
Quando il discriminante è nullo cioè vale zero l’equazione da una soluzione oppure possiamo dire che le due soluzioni sono coincidenti.
In termini geometrici la retta risulta tangente alla parabola e vi è quindi un solo punto di intersezione (doppio).
Quando infine il delta è negativo l’equazione non ammette soluzioni e la retta è esterna alla parabola.
Possiamo riassumerlo con questo schema:
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ESEMPI DI RETTA SECANTE, TANGENTE ED ESTERNA ALLA PARABOLA
Vediamo ora di mettere in pratica quello che abbiamo imparato qui sopra.
Svolgiamo perciò degli esempi pratici in cui la retta risulta
- secante
- tangente
- esterna
ad una parabola
RETTA SECANTE ALLA PARABOLA
Consideriamo le equazioni della retta r e della parabola gamma:
Per prima cosa ricaviamo l’equazione della retta in forma esplicita di modo da agevolarci i calcoli:
Ora mettiamo a sistema le due equazioni
Eguagliamo i valori delle y, ottenendo un’equazione di secondo grado:
Spostiamo a destra, riordiniamo il polinomio e leggiamo da destra verso sinistra:
A sinistra possiamo scomporre il trinomio speciale di secondo grado:
Applichiamo quindi la legge di annullamento per trovare le soluzioni:
Siccome abbiamo trovato due soluzioni concludiamo che la retta è secante alla parabola
Ovviamente se avessimo calcolato il delta dell’equazione questo sarebbe certamente positivo:
Per ricavare i corrispondenti valori della y, possiamo inseribili nell’equazione della retta o equivalentemente della parabola:
Rappresentiamo graficamente tutta questa situazione:
RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA
Consideriamo le equazioni della retta e della parabola:
Mettiamo a sistema le due equazioni
Eguagliamo i valori delle y, ottenendo un’equazione di secondo grado:
Raddoppiamo tutti i valori:
Scomponiamo il lato sinistro come un quadrato di binomio:
Applichiamo quindi la legge di annullamento per trovare la soluzioni:
Siccome abbiamo trovato una soluzione (doppia) concludiamo che la retta è tangente alla parabola
Ovviamente se avessimo calcolato il delta dell’equazione questo sarebbe certamente nullo:
Per ricavare il corrispondente valore della y, inseriamo l’ascissa trovata nell’equazione della retta o della parabola:
Rappresentiamo graficamente tutta questa situazione:
RETTA ESTERNA ALLA PARABOLA
Consideriamo le equazioni della retta r e della parabola gamma:
Mettiamo a sistema l’equazione della retta e della parabola:
Eguagliamo i valori delle y, ottenendo un’equazione di secondo grado:
L’equazione risulta impossibile nei numeri reali poiché un quadrato è certamente non negativo.
Dunque concludiamo che non vi sono punti di intersezione e che la retta è esterna alla parabola.
Rappresentiamo graficamente tutta questa situazione:
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RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA CONDOTTA DA UN PUNTO ESTERNO
Ora consideriamo il caso di partire da un punto esterno alla parabola e di voler condurre da tale punto una retta tangente alla parabola.
In questo caso dovremo considerare il fascio proprio di rette passante per quel punto e determinare il valore del coefficiente che verifica la condizione di tangenza.
Proviamo a condurre dal punto P:
La retta tangente alla parabola gamma di equazione:
Consideriamo il fascio di rette proprio passante per P ricorrendo alla formula:
Andiamo ora a mettere a sistema questo fascio con l’equazione della parabola:
Eguagliamo i valori delle y:
Ci troviamo chiaramente di fronte ad una equazione di secondo grado, quindi spostiamo tutti i termini a sinistra e riordiamo rispetto alla x di grado maggiore:
Affinché la retta risulti tangente alla parabola imponiamo la condizione di tangente, ovvero che il delta dell’equazione risulti pari a zero:
Possiamo risolvere l’equazione di secondo grado applicando la formula e quindi un nuovo delta: il delta del delta.
Oppure possiamo accorgerci che ci troviamo di fronte ad un trinomio speciale e quindi andiamo a scomporre il polinomio di secondo grado in m.
Da qui otteniamo i due valori dei coefficienti angolari applicando la legge di annullamento del prodotto.
Da questi due coefficienti possiamo ottenere l’equazione delle rette inserendo i valori di m nel fascio:
Queste sono le due rette tangenti alla parabola condotte dal punto esterno (2 , -5).
Se vogliamo calcolare le coordinate dei punti di tangenza andiamo a mettere a sistema la parabola con ognuna di queste due rette.
Partiamo dalla prima:
Eguagliamo le y:
Se calcoliamo il delta del polinomio varrà zero, infatti sul lato sinistro abbiamo un quadrato di binomio:
Per trovare l’ordinata del primo punto inseriamo la x trovata nell’equazione della retta:
Il primo punto è dunque:
Andiamo ora alla ricerca del secondo punto e mettiamo a sistema la parabola con la seconda retta:
Eguagliamo le y:
Se calcoliamo il delta del polinomio varrà zero, infatti sul lato sinistro abbiamo un quadrato di binomio:
Per trovare l’ordinata del primo punto inseriamo la x trovata nell’equazione della retta:
Il secondo punto è dunque:
Andiamo ora a rappresentare questa situazione.
RETTA TANGENTE CONDOTTA DA UN PUNTO SULLA PARABOLA
Quando il punto si trova sulla parabola abbiamo un’unica retta tangente.
Per determinare l’equazione di questa retta tangente possiamo usare una scorciatoia.
Sia P il punto appartenente alla parabola:
Il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola in questo punto è:
Possiamo quindi determinare la retta tangente inserendola nel fascio di rette passante per il punto P.
Quindi abbiamo la seguente equazione:
ESEMPIO
Calcoliamo l’equazione della retta tangente alla parabola:
Nel suo punto P di ascissa 2.
Per prima cosa andiamo a calcolare il valore dell’ordinata del punto inserendo la x nell’equazione della parabola:
Il punto P ha dunque coordinate:
ed il suo fascio proprio è:
Ora ci serve solo il coefficiente angolare della retta tangente.
A tal fine ci conviene riscrivere l’equazione della parabola in maniera ordinata e decrescente, che per noi rappresenta una forma più familiare:
In questo modo riusciamo a leggere meglio i coefficienti:
Per la formula vista prima il coefficiente angolare della retta tangente è:
Ovvero con i nostri dati è:
Adesso non ci resta che inserire questo valore nell’equazione del fascio:
Ecco trovata l’equazione della retta tangente cercata.
Rappresentiamo meglio la situazione sul grafico cartesiano.
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PARABOLA PASSANTE PER UN PUNTO TANGENTE AD UNA RETTA
Negli esempi sopra abbiamo calcolato l’equazione della retta tangente ad una parabola data passante per un punto.
Adesso andiamo a calcolare l’equazione della parabola passante per un punto e tangente ad una retta data in un suo punto.
La procedura generale è comunque la medesima.
La cosa che cambia è che il parametro riguarda un coefficiente della parabola.
Proviamo a calcolare l’equazione della parabola 𝛾 passante per il punto A
tangente alla retta r:
nel suo punto B di intersezione con l’asse delle x.
Per prima cosa andiamo a determinare le coordinate del punto B.
Essendo questo il punto di intersezione con l’asse delle x il valore della y deve necessariamente valere zero.
Per trovare il valore della x risolviamo dunque la seguente equazione:
Adesso sappiamo che la parabola passa per i punti A e B:
Dunque imponiamo il passaggio per questi due punti nella generica equazione della parabola:
Dando vita ad un sistema lineare con due equazioni e tre incognite:
Se andiamo a sottrarre la prima equazione dalla seconda otteniamo immediatamente il valore della b:
Ora inseriamo questo valore in una delle altre due equazioni, ad esempio nella seconda.
Da questa poi ci calcoliamo il valore della c in funzione di a
Riepilogando quanto fatto abbiamo:
Andiamo quindi a sostituire questi nuovi parametri nell’equazione generale della nostra parabola:
A questo punto dobbiamo verificare la condizione di tangenza tra la parabola e la retta, dunque le mettiamo a sistema.
Impostiamo l’equazione di secondo grado eguagliano le y:
Poniamo il delta quarti (o anche delta) uguale a zero:
Come era lecito attendersi troviamo un quadrato di binomio sulla sinistra e questo perché il punto è quello di tangenza:
Sostituiamo questo valore nell’equazione della nostra parabola tangente:
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