PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE Y
La parabola è una curva piana e indica il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti da un punto F detto fuoco e una retta d chiamata direttrice.
L’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle y nel piano cartesiano è:
$$ \large{\gamma: \quad y= ax^2+bx+c} $$
Questa è certamente la forma più conosciuta ed indica l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse delle x.
La caratteristiche più importanti sono:
- Vertice
- Fuoco
- Direttrice
- Asse di simmetria
- Intersezione con l’asse x e y
La cosa interessante è che proprio a partire dai coefficienti a, b e c della parabola è possibile individuare queste caratteristiche.
Riportiamole dunque qui sotto:
$$ \begin{array}{l} \text{VERTICE}: & V\left( – \frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{2a} \right) & \text{con }\ \Delta= b^2-4ac \\ \text{FUOCO}: & F \left( – \frac{b}{2a}, \frac{-\Delta +1}{2a} \right) & \\ \text{DIRETTRICE}: & d:\ y= \frac{-\Delta -1}{2a} & \\ \text{ASSE DI SIMMETRIA}: & a:\ x= \frac{-b}{2a} & \\ \text{INTERS. ASSE Y}: & (0,c) & \\ \text{INTERS. ASSE X}: & \left(\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, 0 \right) & \end{array} $$
DA DOVE NASCONO QUESTE FORMULE ?
Per quelli di voi che sono curiosi di capire come nascono queste formule vi invio a leggere l’articolo: traslazione della parabola.
In questo articolo scoprire come sia possibile a partire dalla parabola canonica:
$$ y= ax^2 $$
Attraverso un processo di traslazione che sposta il nuovo vertice nel punto di coordinate:
$$ V(x_V, y_V) $$
e che dunque trasforma l’equazione della parabola in:
$$ y- y_V = a(x-x_V)^2 $$
In questo modo è possibile pervenire all’equazione generale nella forma:
$$ \gamma: y= ax^2+bx+c $$
Risulta possibile inoltre calcolare le coordinate e le equazioni di:
- Vertice
- Fuoco
- Direttrice
- Asse di simmetria
- Intersezione con l’asse x e y
proprio in funzione dei parametri a, b e c.
∆ DELLA PARABOLA E PUNTI DI INTERSEZIONE CON ASSE X
A seconda del valore che assume il delta (discriminante) possiamo trovare due, una o nessuna intersezione con l’asse della x.
Possiamo ricavare il delta a partire dall’equazione:
$$ y= ax^2+bx+c $$
relazionando i coefficienti nel seguente modo:
Quadrato della cosa che moltiplica le x meno il quadruplo del prodotto tra il coefficiente del quadrato delle x e il termine noto.
$$ \Delta = b^2-4ac $$
Quando il valore delle b è pari possiamo calcolare anche la quarta parte del delta:
$$ \frac{\Delta}{4} = \left( \frac{b}{2} \right)^2-ac $$
Per descriverlo usiamo le parole del matematico Al- Khwarizmi (780-850) a proposito delle soluzioni di un’equazione di secondo grado:
$$ x^2+q= px $$
Al- Khwarizmi scriveva a proposito:
“Devi sapere che se tu prendi la metà della radice (p/2),
e la moltiplichi per se stessa, (ovvero ne calcoli il quadrato)
e il prodotto risulta minore del numero che è aggiunto al quadrato (q=q*1)
allora il problema è impossibile”
STUDIO DI PARABOLE CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE Y
Studia le caratteristiche delle seguenti parabole:
$$ \begin{array}{l} y= x^2-4 & y= x^2-x-2 & y= x^2-x-6 & y= x^2-2x \\ y=x^2+2x+1 & y= 4x^2-4x+5 & y= x^2+4x+5 & y=-x^2+3x-7 \end{array} $$
PRIMA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE Y
La prima parabola con asse parallelo all’asse delle y è:
$$ y= x^2-4 $$
COEFFICIENTI E DELTA
Scriviamo per prima cosa i valori dei tre coefficienti:
$$ a= 1 \quad b=0 \quad c= -4 $$
e calcoliamo il valore del delta o discriminante:
$$ \Delta = b^2-4ac= 0^2-4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 $$
Siccome questo è positivo la parabola ammette due intersezioni con l’asse delle x:
VERTICE, FUOCO DIRETTRICE E ASSE
Per prima cosa possiamo calcolare le coordinate del vertice, che in generale sono:
$$ V \left( -\frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) $$
Andando dunque a sostituire i coefficienti ricavati dall’equazione otteniamo:
$$ V \left( -\frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) = \left( – \frac{0}{2 \cdot 1}, -\frac{16}{4 \cdot 1} \right) = (0,-4) $$
Occupiamoci ora del fuoco della parabola che in generale risulta:
$$ V \left( -\frac{b}{2a}, \frac{- \Delta +1 }{4a} \right) $$
Sostituendo i parametri otteniamo le sue coordinate:
$$ F \left( -\frac{b}{2a}, \frac{- \Delta +1 }{4a} \right) = \left( – \frac{0}{2 \cdot 1}, \frac{-16+1}{4 \cdot 1} \right)= \left( 0, -\frac{15}{4 } \right) $$
Spostiamo ora l’attenzione sull’equazione della direttrice della parabola, la cui formula generica è:
$$ d: \quad y = \frac{-\Delta -1}{4a} $$
Con una semplice sostituzione otteniamo la sua equazione:
$$ d: \quad y = \frac{-\Delta -1}{4a} \to y = \frac{-16 -1}{4 \cdot 1} \to y = \frac{-17}{4} $$
Ora è la volta di determinare l’asse di simmetria della nostra parabola, la cui formula generale è:
$$ a: \quad x = – \frac{b}{2a} \to x = – \frac{0}{2 \cdot 1} \to x=0 $$
INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI
L’intersezione con l’asse delle y coincide con il termine noto della parabola, dunque cadiamo nel punto:
$$ (0,c) = (0,-4) $$
Siccome il delta è positivo troviamo due intersezioni con l’asse delle x, che si ottengono risolvendo l’equazione di secondo grado:
$$ x^2-4= 0 $$
che possiamo risolvere applicando la classica formula risolutiva
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-0 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \pm 2 \to (0, \pm 2) $$
Oppure ricorrendo ad una scomposizione di una differenza di quadrati e applicando successivamente la legge di annullamento del prodotto:
$$ x^2-4= 0 \to (x+2)(x-2) = 0 \to x = \pm 2 $$
SECONDA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE Y
La prima parabola con asse parallelo all’asse delle y è:
$$ \gamma: \quad y= x^2-x-2 $$
COEFFICIENTI E DELTA
Scriviamo per prima cosa i valori dei tre coefficienti:
$$ a= 1 \quad b=-1 \quad c= -2 $$
e calcoliamo il valore del delta o discriminante:
$$ \Delta = b^2-4ac= (-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1+8 = 9 $$
Siccome questo è positivo la parabola ammette due intersezioni con l’asse delle x:
VERTICE, FUOCO DIRETTRICE E ASSE
Per prima cosa possiamo calcolare le coordinate del vertice, che in generale sono:
$$ V \left( -\frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) $$
Andando dunque a sostituire i coefficienti ricavati dall’equazione otteniamo:
$$ V \left( -\frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) = \left( – \frac{-1}{2 \cdot 1}, -\frac{9}{4 \cdot 1} \right) = \left( \frac{1}{2} , – \frac{9}{4} \right)$$
Occupiamoci ora del fuoco della parabola che in generale risulta:
$$ F \left( -\frac{b}{2a}, \frac{- \Delta +1 }{4a} \right)$$
Sostituendo i parametri otteniamo le sue coordinate:
$$ F \left( -\frac{b}{2a}, \frac{- \Delta +1 }{4a} \right) = \left( – \frac{-1}{2 \cdot 1}, \frac{-9+1}{4 \cdot 1} \right)= \left( \frac{1}{2}, -2 \right) $$
Spostiamo ora l’attenzione sull’equazione della direttrice della parabola, la cui formula generica è:
$$ d: \quad y = \frac{-\Delta -1}{4a} $$
Con una semplice sostituzione otteniamo la sua equazione:
$$ d: \quad y = \frac{-\Delta -1}{4a} \to y = \frac{-9 -1}{4 \cdot 1} \to y = \frac{-5}{2} $$
Ora è la volta di determinare l’asse di simmetria della nostra parabola, la cui formula generale è:
$$ a: \quad x = – \frac{b}{2a} \to x = – \frac{0}{2 \cdot 1} \to x=0 $$
INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI
L’intersezione con l’asse delle y coincide con il termine noto della parabola, dunque cadiamo nel punto:
$$ (0,c) = (0,-2) $$
Siccome il delta è positivo troviamo due intersezioni con l’asse delle x, che si ottengono risolvendo l’equazione di secondo grado:
$$ x^2-x-2=0 $$
che possiamo risolvere applicando la classica formula risolutiva
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \to x=-1 \lor x= 2$$
Dunque i punto di intersezione sono:
$$ (-1,0) \lor (2,0) $$
Oppure ricorrendo ad una scomposizione di una trinomio speciale di secondo grado e applicando successivamente la legge di annullamento del prodotto:
$$ x^2-x-2=0 \to (x+1)(x-2)=0 \to x= -1 \lor x=2 $$
Adesso che abbiamo capito la procedura riporto ancora lo studio di altre parabole con i risultati.
STUDIO DELLA TERZA PARABOLA
Vediamo ora come terzo esempio la parabola di equazione:
$$ \gamma: \quad y= x^2-x-6 $$
STUDIO DELLA QUARTA PARABOLA
Nel quarto esempio studiamo la parabola di equazione:
$$ \gamma: \quad y= x^2-2x $$
STUDIO DELLA QUINTA PARABOLA
Il nostro quinto esempio è la parabola di equazione:
$$ \gamma: \quad y= x^2+2x+1 $$
STUDIO DELLA SESTA PARABOLA
Nel sesto esempio studiamo le caratteristiche della parabola:
$$ \gamma: \quad y= 4x^2-4x+1 $$
STUDIO DELLA SETTIMA PARABOLA
Come settimo esempio vediamo la parabola:
$$ \gamma: \quad y= x^2+4x+5 $$
STUDIO DELL’OTTAVA PARABOLA
Il nostro ottavo ed ultimo esempio è dedicato alla parabola:
$$ \gamma: \quad y= -x^2+3x-7 $$
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