PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE Y

PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE Y

La parabola è una curva piana e indica il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti da un punto F detto fuoco e una retta d chiamata direttrice.

L’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle y nel piano cartesiano è:

$$ \large{\gamma: \quad y= ax^2+bx+c} $$

Questa è certamente la forma più conosciuta ed indica l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse delle x.

La caratteristiche più importanti sono:

• Vertice
• Fuoco 
• Direttrice
• Asse di simmetria
• Intersezione con l’asse x e y

La cosa interessante è che proprio a partire dai coefficienti a, b e c della parabola è possibile individuare queste caratteristiche.

Riportiamole dunque qui sotto:

$$ \begin{array}{l} \text{VERTICE}: & V\left( – \frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{2a} \right) & \text{con }\ \Delta= b^2-4ac \\ \text{FUOCO}: & F \left( – \frac{b}{2a}, \frac{-\Delta +1}{2a} \right) & \\ \text{DIRETTRICE}: & d:\ y= \frac{-\Delta -1}{2a} & \\ \text{ASSE DI SIMMETRIA}: & a:\ x= \frac{-b}{2a} & \\ \text{INTERS. ASSE Y}: & (0,c) & \\ \text{INTERS. ASSE X}: & \left(\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, 0 \right) & \end{array} $$

DA DOVE NASCONO QUESTE FORMULE ?

Per quelli di voi che sono curiosi di capire come nascono queste formule vi invio a leggere l’articolo: traslazione della parabola.

In questo articolo scoprire come sia possibile a partire dalla parabola canonica:

$$ y= ax^2 $$

Attraverso un processo di traslazione che sposta il nuovo vertice nel punto di coordinate:

$$ V(x_V, y_V) $$

 e che dunque trasforma l’equazione della parabola in:

$$ y- y_V = a(x-x_V)^2 $$

In questo modo è possibile pervenire all’equazione generale nella forma:

$$ \gamma: y= ax^2+bx+c $$

Risulta possibile inoltre calcolare le coordinate e le equazioni di:

• Vertice
• Fuoco 
• Direttrice
• Asse di simmetria
• Intersezione con l’asse x e y

 proprio in funzione dei parametri a, b e c.

∆ DELLA PARABOLA E PUNTI DI INTERSEZIONE CON ASSE X

A seconda del valore che assume il delta (discriminante) possiamo trovare due, una o nessuna intersezione con l’asse della x.

Possiamo ricavare il delta a partire dall’equazione:

$$ y= ax^2+bx+c $$

 relazionando i coefficienti nel seguente modo:

Quadrato della cosa che moltiplica le x meno il quadruplo del prodotto tra il coefficiente del quadrato delle x e il termine noto.

$$ \Delta = b^2-4ac $$

Quando il valore delle b è pari possiamo calcolare anche la quarta parte del delta:

$$ \frac{\Delta}{4} = \left( \frac{b}{2} \right)^2-ac $$

Per descriverlo usiamo le parole del matematico Al- Khwarizmi (780-850) a proposito delle soluzioni di un’equazione di secondo grado:

$$ x^2+q= px $$

Al- Khwarizmi scriveva a proposito:

“Devi sapere che se tu prendi la metà della radice (p/2), 

  e la moltiplichi per se stessa, (ovvero ne calcoli il quadrato)

 e il prodotto risulta minore del numero che è aggiunto al quadrato (q=q*1)

 allora il problema è impossibile”

STUDIO DI PARABOLE CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE Y

Studia le caratteristiche delle seguenti parabole:

$$ \begin{array}{l} y= x^2-4 & y= x^2-x-2 & y= x^2-x-6 & y= x^2-2x \\ y=x^2+2x+1 & y= 4x^2-4x+5 & y= x^2+4x+5 & y=-x^2+3x-7 \end{array} $$

PRIMA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE Y

La prima parabola con asse parallelo all’asse delle y è:

$$ y= x^2-4 $$

COEFFICIENTI E DELTA

Scriviamo per prima cosa i valori dei tre coefficienti:

$$ a= 1 \quad b=0 \quad c= -4 $$

 e calcoliamo il valore del delta o discriminante:

$$ \Delta = b^2-4ac= 0^2-4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 $$

Siccome questo è positivo la parabola ammette due intersezioni con l’asse delle x:

VERTICE, FUOCO DIRETTRICE E ASSE

Per prima cosa possiamo calcolare le coordinate del vertice, che in generale sono:

$$ V \left( -\frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) $$

Andando dunque a sostituire i coefficienti ricavati dall’equazione otteniamo:

$$ V \left( -\frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) = \left( – \frac{0}{2 \cdot 1}, -\frac{16}{4 \cdot 1} \right) = (0,-4) $$

Occupiamoci ora del fuoco della parabola che in generale risulta:

$$ V \left( -\frac{b}{2a}, \frac{- \Delta +1 }{4a} \right) $$

Sostituendo i parametri otteniamo le sue coordinate:

$$ F \left( -\frac{b}{2a}, \frac{- \Delta +1 }{4a} \right) = \left( – \frac{0}{2 \cdot 1}, \frac{-16+1}{4 \cdot 1} \right)= \left( 0, -\frac{15}{4 } \right) $$

Spostiamo ora l’attenzione sull’equazione della direttrice della parabola, la cui formula generica è:

$$ d: \quad y = \frac{-\Delta -1}{4a} $$

Con una semplice sostituzione otteniamo la sua equazione:

$$ d: \quad y = \frac{-\Delta -1}{4a} \to y = \frac{-16 -1}{4 \cdot 1} \to y = \frac{-17}{4} $$

Ora è la volta di determinare l’asse di simmetria della nostra parabola, la cui formula generale è:

$$ a: \quad x = – \frac{b}{2a} \to x = – \frac{0}{2 \cdot 1} \to x=0 $$

INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI

L’intersezione con l’asse delle y coincide con il termine noto della parabola, dunque cadiamo nel punto:

$$ (0,c) = (0,-4) $$

Siccome il delta è positivo troviamo due intersezioni con l’asse delle x, che si ottengono risolvendo l’equazione di secondo grado:

$$ x^2-4= 0 $$

che possiamo risolvere applicando la classica formula risolutiva

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-0 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \pm 2 \to (0, \pm 2) $$

Oppure ricorrendo ad una scomposizione di una differenza di quadrati e applicando successivamente la legge di annullamento del prodotto:

$$ x^2-4= 0 \to (x+2)(x-2) = 0 \to x = \pm 2 $$

SECONDA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE Y

La prima parabola con asse parallelo all’asse delle y è:

$$ \gamma: \quad y= x^2-x-2 $$

COEFFICIENTI E DELTA

Scriviamo per prima cosa i valori dei tre coefficienti:

$$ a= 1 \quad b=-1 \quad c= -2 $$

 e calcoliamo il valore del delta o discriminante:

$$ \Delta = b^2-4ac= (-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1+8 = 9 $$

Siccome questo è positivo la parabola ammette due intersezioni con l’asse delle x:

VERTICE, FUOCO DIRETTRICE E ASSE

Per prima cosa possiamo calcolare le coordinate del vertice, che in generale sono:

$$ V \left( -\frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) $$

Andando dunque a sostituire i coefficienti ricavati dall’equazione otteniamo:

$$ V \left( -\frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) = \left( – \frac{-1}{2 \cdot 1}, -\frac{9}{4 \cdot 1} \right) = \left( \frac{1}{2} , – \frac{9}{4} \right)$$

Occupiamoci ora del fuoco della parabola che in generale risulta:

$$ F \left( -\frac{b}{2a}, \frac{- \Delta +1 }{4a} \right)$$

Sostituendo i parametri otteniamo le sue coordinate:

$$ F \left( -\frac{b}{2a}, \frac{- \Delta +1 }{4a} \right) = \left( – \frac{-1}{2 \cdot 1}, \frac{-9+1}{4 \cdot 1} \right)= \left( \frac{1}{2}, -2 \right) $$

Spostiamo ora l’attenzione sull’equazione della direttrice della parabola, la cui formula generica è:

$$ d: \quad y = \frac{-\Delta -1}{4a} $$

Con una semplice sostituzione otteniamo la sua equazione:

$$ d: \quad y = \frac{-\Delta -1}{4a} \to y = \frac{-9 -1}{4 \cdot 1} \to y = \frac{-5}{2} $$

Ora è la volta di determinare l’asse di simmetria della nostra parabola, la cui formula generale è:

$$ a: \quad x = – \frac{b}{2a} \to x = – \frac{0}{2 \cdot 1} \to x=0 $$

INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI

L’intersezione con l’asse delle y coincide con il termine noto della parabola, dunque cadiamo nel punto:

$$ (0,c) = (0,-2) $$

Siccome il delta è positivo troviamo due intersezioni con l’asse delle x, che si ottengono risolvendo l’equazione di secondo grado:

$$ x^2-x-2=0 $$

che possiamo risolvere applicando la classica formula risolutiva

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \to x=-1 \lor x= 2$$

Dunque i punto di intersezione sono:

$$ (-1,0) \lor (2,0) $$

Oppure ricorrendo ad una scomposizione di una trinomio speciale di secondo grado e applicando successivamente la legge di annullamento del prodotto:

$$ x^2-x-2=0 \to (x+1)(x-2)=0 \to x= -1 \lor x=2 $$

Adesso che abbiamo capito la procedura riporto ancora lo studio di altre parabole con i risultati.

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STUDIO DELLA TERZA PARABOLA

Vediamo ora come terzo esempio la parabola di equazione:

$$ \gamma: \quad y= x^2-x-6 $$

STUDIO DELLA QUARTA PARABOLA

Nel quarto esempio studiamo la parabola di equazione:

$$ \gamma: \quad y= x^2-2x $$

STUDIO DELLA QUINTA PARABOLA

Il nostro quinto esempio è la parabola di equazione:

$$ \gamma: \quad y= x^2+2x+1 $$

STUDIO DELLA SESTA PARABOLA

Nel sesto esempio studiamo le caratteristiche della parabola:

$$ \gamma: \quad y= 4x^2-4x+1 $$

STUDIO DELLA SETTIMA PARABOLA

Come settimo esempio vediamo la parabola:

$$ \gamma: \quad y= x^2+4x+5 $$

STUDIO DELL’OTTAVA PARABOLA

Il nostro ottavo ed ultimo esempio è dedicato alla parabola:

$$ \gamma: \quad y= -x^2+3x-7 $$

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