La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti da una retta chiamata direttrice e da un punto detto fuoco.
In quanto sezione conica la parabola può essere ottenuta come l’intersezione tra un cono a due falde e un piano che formi rispetto all’asse un angolo equivalente a quello che si forma tra l’asse e l’apotema.
L’asse di simmetria della parabola è la retta che passa per il fuoco perpendicolare alla bisettrice.
Osserviamo che ogni punto della conica è simmetrico ad un altro punto rispetto all’asse di simmetria.
L’unico punto che è simmetrico rispetto a se stesso è il vertice che si trova esattamente sull’asse, a metà strada tra il fuoco e la direttrice.
In geometria un punto simmetrico a se stesso viene definito punto unito
Nel piano cartesiano, l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle y è:
In funzione dei coefficienti a, b e c e del ∆
possibile trovare:
- Concavità
- Vertice
- Fuoco
- Asse
- Direttrice
- Punti di intersezione con gli assi cartesiani
Vediamoli uno per volta.
CONCAVITA’
La concavità della parabola è determinata dal coefficiente a associato al quadrato di x.
Se questo coefficiente è positivo la concavità è rivolta verso l’alto o positiva e diciamo che la conica è dunque convessa.
Diversamente se il coefficiente a è negativo la concavità è rivolta verso il basso o negativa e la definiamo concava.
VERTICE
FUOCO
ASSE
DIRETTRICE
INTERSEZIONE ASSE Y
INTERSEZIONI (EVENTUALI) ASSE X
ESEMPIO DI PARABOLA CON ASSE || ASSE Y
Consideriamo la parabola:
COEFFICIENTI E DELTA
Per prima cosa calcoliamo i coefficienti:
Da questi possiamo calcolare il delta o discriminante:
VERTICE
Calcoliamo ora le coordinate del vertice:
FUOCO
ASSE
Da notare che passa per la stessa ascissa del vertice e del fuoco.
DIRETTRICE
INTERSEZIONE ASSE Y
INTERSEZIONI (EVENTUALI) ASSE X
RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA
Sulla base dei dati a nostra disposizione possiamo tentare di abbozzare il grafico della funzione
Ora che sappiamo dove sono posizionati gli elementi fondamentali possiamo cercare di rappresentare meglio la nostra conica calcolando altri punti.
Per farlo costruiamo la tabella di valori dove andiamo a ipotizzare i valori della x e a calcolare quelli della y.
SCOPRI I CORSI DI MATEMATICA
Se stai preparando l’esame di matematica e vuoi una preparazione completa, scopri i corsi di matematica per completare al meglio la tua conoscenza!
Visita anche il Canale YouTube
DEFINIZIONE DI PARABOLA
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti da un punto detto fuoco e una retta detta direttrice.
Sulla base di questa definizione andiamo a costruire la nostra prima parabola con la sua equazione.
Cominciamo con il fissare il fuoco e prendiamo a riferimento un punto molto semplice che si trova sull’asse y di distanza unitaria dal centro:
In secondo luogo fissiamo come direttrice una retta parallela all’asse delle y, ad esempio la retta:
In questo modo siamo sicuri che il vertice cada proprio nell’origine del sistema cartesiano:
A questo punto prendiamo un generico punto P di coordinate generiche (x,y) che appartiene alla nostra parabola che chiamiamo 𝛾 (gamma)
Imponiamo dunque che la distanza tra il punto e il fuoco equivale alla distanza tra il punto e la direttrice:
La distanza punto-fuoco la possiamo calcolare usando il teorema di Pitagora.
Ricordiamo le coordinate dei punti:
Mentre sappiamo che la distanza tra il punto e il fuoco è il segmento che collega il punto alla retta e perpendicolare alla retta.
In generale la formula della distanza punto retta è:
Nel nostro caso la retta e il punto sono:
Sostituendo abbiamo dunque:
Adesso possiamo eguagliare le due distanze
Eleviamo alla seconda entrambi i membri dell’equazione:
Svolgiamo i quadrati di binomio
Spostiamo le x e numeri a sinistra a destra le y:
Questa è una parabola con il vertice nell’origine, ovvero nella sua forma canonica, e concavità verso l’alto
La possiamo vedere come un multiplo (o meglio sottomultiplo) della funzione potenza.
ESEMPIO 2
Consideriamo ora una parabola che ha come fuoco:
E come direttrice:
Imponiamo la condizione di appartenenza alla parabola:
Con P generico punti di della parabola 𝛾
Eleviamo alla seconda entrambi i membri dell’equazione:
Svolgiamo i quadrati di binomio
Moltiplichiamo tutto per 16
Isoliamo le y a destra ed eliminiamo i quadrati dele y:
Dividiamo tutto per 16 e leggiamo da destra verso sinistra:
Ecco trovata la nostra curva, che andiamo a rappresentare.
SCOPRI I CORSI DI MATEMATICA
Se stai preparando l’esame di matematica e vuoi una preparazione completa, scopri i corsi di matematica per completare al meglio la tua conoscenza!
Visita anche il Canale YouTube
PARABOLA CON ASSE || ASSE Y DATI FUOCO E DIRETTRICE
Un modo certamente alterativo per risolvere il problema precedente è quello di applicare le formule generiche cha abbiamo visto all’inizio:
Se la parabola ha l’asse parallelo all’asse delle x la sua equazione generica è:
Le coordinate del fuoco e l’equazione della retta direttrice sono rispettivamente:
Per cui sapendo che nel nostro caso il fuoco è:
E la direttrice ha equazione:
Possiamo impostare un sistema con tre equazioni e tre incognite (a, b, ∆)
Andiamo dunque a stendere tutte e tre le equazioni cioè eliminiamo i denominatori moltiplicando per il denominatore comune:
Sottraiamo ora membro a membro la seconda equazione dalla terza equazione:
Adesso che sappiamo il valore di a andiamo a sostituirlo nella prima equazione per trovare il valore della b:
Sempre con il valore di a ricaviamo il valore di ∆ dalla seconda (ma anche dalla terza) equazione:
Ricordiamo che dietro la quantità ∆ si celano tutti e tre i coefficienti della parabola: a, b, c, infatti:
Da cui possiamo facilmente ricavare il valore del terzo coefficiente incognito c:
Sostituendo i valori che abbiamo calcolato:
Ecco che possediamo i nostri coefficienti della parabola:
Dunque l’equazione che stiamo cercando è:
EQUAZIONE CANONICA DELLA PARABOLA
La parabola nella sua forma canonica è il tipo di parabola (o fascio di parabole) più semplice da studiare e la sua equazione è:
Questa equazione si ottiene da quella generica imponendo nulli i coefficienti b della x e il termine noto c:
Possiamo vedere questa equazione come un multiplo o sottomultiplo della funzione potenza con esponente pari a 2, ovvero la funzione quadrato.
In particolare possiamo analizzare i casi in cui il valore della costante a sia maggiore di 1, per esempio 2, 3, 4.
In questo caso parliamo di multipli della parabola canonica.
Come possiamo notare dal grafico sottostante al crescere dell’ordine del multiplo del quadrato di x la conica diventa più stretta.
Graficamente notiamo un allargamento della parabola al crescere dell’ordine del sottomultiplo o denominatore della frazione.
Ma allora già che ci siamo perché non creare anche i multipli e i sottomultipli degli opposti dei quadrati?
Questi opposti si vedono graficamente come un ribaltamento della parabola con allargamento o restringimento a seconda dell’ordine del multiplo o del sottomultiplo.
PARABOLA CANONICA VS GENERICA
A partire dalla forma canonica possiamo ottenere qualsiasi parabola (con asse verticale)
In particolare ci basta traslare la parabola di un vettore:
Con questa traslazione andiamo a posizionare il vertice nel punto:
Ovvero le cui componenti sono proprio quelle del vettore traslazione.
L’equazione di questa nuova parabola è:
Questa formula ci ricorda molto quella dell’equazione della retta passante per un punto(xo,yo) con coefficiente angolare m:
In generale data una qualsiasi funzione con equazione:
Possiamo traslarla di un vettore v=(xo,yo) mediante la scrittura:
Ad esempio se vogliamo traslare la parabola nella forma canonica:
Ottenuta raddoppiando la funzione potenza di un vettore traslazione fosse:
Scriviamo la seguente nuova equazione:
Sviluppando i conti otteniamo che:
Ma ora viene da chiederci una cosa: se partiamo dall’equazione scritta nella forma:
Come facciamo a risalire ai vettori della traslazione?
Qui dobbiamo lavorare un attimo sulla generica equazione della traslazione:
Svolgiamo i conti:
Non c’è assolutamente dubbio che nel nostro caso il parametro a vale 2, quindi possiamo anche scrivere:
Confrontiamola ancora bene con la nostra parabola:
Impostiamo un sistema con i coefficienti della x e il termine noto:
Dalla prima equazione ricaviamo il valore di xo:
Inseriamo questo valore nella seconda equazione per ricavare il valoro di yo:
Ecco che abbiamo trovato il nostro vettore spostamento
L’equazione è dunque:
LA PARABOLA E I SUOI COEFFICIENTI
L’equazione completa della parabola con asse verticale è:
Cerchiamo di capire quali sono le caratteristiche grafiche quando i parametri a, b, c sono uguali a zero.
a=0 : IL CASO DELLA RETTA
Quando si annulla il parametro a, cade l’aspetto quadratico della funzione e il polinomio in x diventa di primo grado.
In questa situazione l’equazione diventa quella di una retta:
Se preferite possiamo anche scrivere:
b=0 e c=0 : LA FORMA CANONICA
Quando si annullano i coefficienti b e c la parabola assume la sua forma canonica:
Il vertice si trova nell’origine e l’asse verticale che coincide con l’asse y del sistema cartesiano.
Abbiamo discusso sopra di alcune caratteristiche fondamentali legate all’unico parametro presente.
c=0 : PARABOLA PASSANTE PER L’ORIGINE
Quando si annulla il termine noto c, l’equazione diventa:
Questa conica certamente passa per l’origine.
Infatti se andiamo a calcolare le intersezioni studiamo un’equazione di secondo gradospuria:
Raccogliamo a fattor comune la x:
Da cui applicando la legge di annullamento otteniamo le soluzioni, di cui una è sempre zero:
Vediamo una serie di esempi grafici di questo tipo di parabola:
b=0 : PARABOLA CON ASSE COINCIDENDENTE CON ASSE Y
Quando il parametro b che moltiplica la x vale zero l’equazione della parabola diventa:
In questo caso l’asse di simmetria coincide con l’asse delle y.
Ricordiamo infatti che quando l’asse della parabola è parallelo all’asse delle y, l’equazione dell’asse è la retta:
Quindi se il parametro b si annulla succede che l’equazione dell’asse coincide con la retta di equazione:
che è proprio l’asse delle y.
Vediamo alcuni esempi grafici
PARABOLA PASSANTE PER TRE PUNTI
Per determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante per tre punti sostituiamo le coordinate dei punti all’interno dell’equazione generale:
In questo modo otteniamo un sistema lineare con tre equazioni e tre incognite
Possiamo anche scriverla come:
Determiniamo ad esempio la parabola passante per i punti :
Sostituendo le coordinate di A(0;1) otteniamo:
Passiamo ora al punto B(–1;2)
Concludiamo con il punto C(2;5)
In altre parole abbiamo dato vita ad un sistema lineare con tre equazioni e tre incognite:
Siccome dalla prima equazione possediamo il valore di C possiamo sostituire il suo valore nelle altre due equazioni.
In questo modo con queste due possiamo sviluppare un sistema lineare più semplice con due equazioni e due incognite:
Dividiamo per 2 la seconda equazione:
Qui abbiamo tanti metodi che possiamo utilizzare, ad esempio possiamo scegliere di fare combinazioni lineari di equazioni.
Sommiamo ad esempio la prima equazione e la seconda:
A questo punto possiamo inserire il valore trovato nella prima equazione (o anche nella seconda)
A questo punto abbiamo determinato tutti e tre i coefficienti .
L’equazione della nostra funzione è dunque:
Che andiamo a rappresentare
SCOPRI I CORSI DI MATEMATICA
Se stai preparando l’esame di matematica e vuoi una preparazione completa, scopri i corsi di matematica per completare al meglio la tua conoscenza!
Visita anche il Canale YouTube
INTERSEZIONI DELLA PARABOLA CON L’ASSE DELLE X
Le intersezioni della parabola di equazione:
Con l’asse delle x si ottengono risolvendo l’equazione di secondo grado:
Il numero delle intersezioni dipende dal discriminante o delta dell’equazione:
Se questo valore è positivo (maggiore di zero) abbiamo due soluzioni e quindi due intersezionicon l’asse x
Quando il valore del delta è nullo (uguale a zero) otteniamo una intersezione, che è il vertice della parabola.
Infine se il discriminante risulta negativo (minore di zero) non rileviamo intersezioni con l’asse delle ascisse.
Le eventuali intersezioni con l’asse orizzontale o soluzioni dell’equazione di secondo grado si trovano con la formula risolutiva:
Ricordiamo la teoria sulle equazioni di secondo grado:
E mostriamo graficamente come queste impattino sulle intersezioni della parabola
ESEMPIO DI PARABOLA CON DUE INTERSEZIONI
Consideriamo la parabola:
Per determinare le intersezioni poniamo il valore della y uguale a zero.
Ora meglio cambiare i segni:
Calcoliamo il valore del delta:
Essendo questo positivo vi sono certamente due intersezioni, che andiamo a calcolare con la formula risolutiva.
Quindi finiamo nei punti di coordinate:
Notiamo bene che per risolvere questa equazione potevamo rifarci alla scomposizione del trinomio speciale di secondo grado:
ESEMPIO DI PARABOLA CON UNA INTERSEZIONE
Consideriamo ora la parabola:
Cerchiamo le intersezioni risolvendo l’equazione di secondo grado:
Calcoliamo il delta:
Essendo il delta nullo avremo una sola intersezione, la cui ascissa coincide con quella del vertice della parabola:
Il punto di intersezione è dunque:
Notiamo bene che questa situazione si verifica quando il polinomio in x è un quadrato di binomio.
Infatti se ritorniamo all’equazione:
Scomponiamo il polinomio di sinistra come un quadrato di binomio:
Applicando la legge di annullamento del prodotto studiamo la base del quadrato uguale a zero e risolviamo un’equazione di primo grado:
ESEMPIO DI PARABOLA SENZA INTERSEZIONI
Consideriamo ora la seguente equazione:
Cerchiamo le intersezioni risolvendo l’equazione di secondo grado:
Calcoliamo il delta:
Essendo il delta negativo non ci sono intersezioni con l’asse x.
Tanto per la cronaca il polinomio:
è un falso quadrato.
PARABOLA NOTI DUE PUNTI DI INTERSEZIONE E UN PUNTO
Un modo certamente interessante con cui possiamo vedere l’equazione della parabola è il seguente:
Dove x1 e x2 rappresentano i punti dell’intersezione con l’asse delle x.
Con questa scrittura riusciamo a conciliare i tre aspetti fondamentali della matematica:
- scomposizione dei polinomi, in particolare del trinomio speciale
- Risoluzione di equazioni in particolare di primo grado e di secondo grado
- Rappresentazione grafica
Possiamo anche dire che si tratta del nostro piccolo segreto 😉
Questa regola risulta particolarmente avvincente quando dobbiamo determinare l’equazione di una parabola passante per tre punti di cui due sono intersezione con l’asse x.
Ad esempio proviamo a determinare l’equazione della parabola passante per i punti:
Vediamo subito che A e B sono i due punti di intersezione con l’asse x in quanto hanno l’ordinata pari a zero.
Dunque impostiamo la nostra magica equazione:
A questo punto inseriamo al posto della x e della y le coordinate del terzo punto.
Otteniamo un’equazione di primo grado grazie alla quale possiamo determinare il parametro a, che abbiamo già ampliamente analizzato con la forma canonica
L’equazione che stiamo cercando è:
Se la svolgiamo otteniamo:
PARABOLA CON ASSE || ASSE Y DATI FUOCO E VERTICE
Un altro problema frequente è quello in cui ci viene richiesto di trovare l’equazione di una parabola con asse verticale in cui si conosce il fuoco e il vertice.
Noi sappiamo che l’ equazione generica della parabola è:
Le coordinate del fuoco e del vertice sono rispettivamente:
Supponiamo che quelle che ci vengono date siano per il fuoco:
E per il vertice:
Possiamo impostare un sistema con tre equazioni e tre incognite (a, b, ∆)
Andiamo dunque a stendere tutte e tre le equazioni cioè eliminiamo i denominatori moltiplicando per il denominatore comune:
Sottraiamo ora membro a membro la seconda equazione dalla terza equazione:
Adesso che sappiamo il valore di a andiamo a sostituirlo nella prima equazione per trovare il valore della b:
Sempre con il valore di a ricaviamo il valore di ∆ dalla terza equazione:
Ricordiamo che dietro la quantità ∆ si celano tutti e tre i coefficienti della parabola: a, b, c, infatti:
Da cui possiamo facilmente ricavare il valore del terzo coefficiente incognito c:
Sostituendo i valori che abbiamo calcolato:
Ecco che possediamo i nostri coefficienti della parabola:
Dunque l’equazione che stiamo cercando è:
SCOPRI I CORSI DI MATEMATICA
Se stai preparando l’esame di matematica e vuoi una preparazione completa, scopri i corsi di matematica per completare al meglio la tua conoscenza!
Visita anche il Canale YouTube
POSIZIONE TRA RETTA E PARABOLA
Un capitolo certamente avvincente che riguarda la parabola è la sua posizione rispetto ad una retta.
Ti invito a cliccare per leggere l’articolo.
In questa sezione ci limitiamo a dire che possiamo avere tre casi
- Secante
- Tangente
- Esterna
Una retta è secante ad una parabola quando la interseca in due punti distinti.
Risulta invece tangente quando la interseca in un solo punto.
Infine è esterna quando non ha punti di intersezione.
EQUAZIONE GENERICA DI PARABOLA E CONICHE
Fino ad ora abbiamo analizzato l’equazione delle parabole con asse parallelo all’asse delle y e delle x.
Ricordiamo però che nel sistema cartesiano l’asse può essere una qualsiasi retta:
Dunque le cose si complicano.
Ricordiamo anche che la parabola è una conica e tra queste fanno parte anche:
- Circonferenza
- Ellisse
- Iperbole
Queste coniche prendono origine dall’intersezione di un piano con un cono a due falde.
E sulla base dell’inclinazione del cono rispetto all’asse all’angolo dell’apotema con l’asse abbiamo la diversa natura di conica.
L’equazione generica di una conica nel piano cartesiano è:
Per comprendere come anche una parabola possa avere questo tipo di equazione vediamo questo esempio.
Cerchiamo l’equazione della parabola che ha il fuoco nel punto F
e come retta direttrice
Ora consideriamo un punto P di generiche coordinate (x,y) che sia tale da appartenere alla parabola.
In quanto tale la sua distanza dal fuoco F e dalla direttrice d devono equivalersi:
Andiamo dunque ad applicare le definizioni di distanza punto-punto e distanza punto-retta:
Eleviamo al quadrato entrambi i membri e sviluppiamo i calcoli:
Ecco che abbiamo una parabola nella sua forma cartesiana generale.
HAI QUALCHE DOMANDA???
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
SCOPRI I CORSI DI MATEMATICA
Se stai preparando l’esame di matematica e vuoi una preparazione completa, scopri i corsi di matematica per completare al meglio la tua conoscenza!
Visita anche il Canale YouTube
