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posizione retta ellisse

Esistono tre tipi di posizione di una retta rispetto ad una ellisse.

  • Secante
  • Tangente 
  • Esterna

Una retta si dice secante ad un’ellisse quando la interseca in due punti distinti.

In questo caso si genera una corda dell’ellisse unendo i due punti di intersezione.

La retta è tangente all’ellisse quando la interseca in un solo punto, detto punto di tangenza.

Il terzo caso è quella della retta esterna all’ellisse, dove non vi sono punti di intersezione.

POSIZIONE RETTA ELLISSE NEL SISTEMA CARTESIANO

Analizziamo ora la situazione all’interno del piano cartesiano.

Supponiamo di conoscere l’equazione di un’ellisse nel sistema cartesiano del tipo:

 e l’equazione di una generica retta:

Come facciamo a sapere la posizione di una retta rispetto ad un’ellisse quando conosciamo le loro equazioni cartesiane?

posizione retta ellisse

SISTEMA RETTA-ELLISSE

Il modo migliore per determinare la posizione della retta rispetto all’ellisse è quella di mettere asistema le loro equazioni

Agendo per sostituzione otteniamo una generica equazione di secondo grado rispetto alla x.

Dal valore del delta o discriminante di questa equazione determiniamo la posizione della retta rispetto all’ellisse.

In particolare quando il discriminante è positivo (>0) la retta è secante.

Quando invece il delta è nullo (=0) la retta risulta tangente.

Mentre infine quando il delta è negativo (<0) la retta risulta esterna.

posizione retta ellisse

Scopri il corso di geometria cartesiana.

POSIZIONE RETTA ELLISSE – RETTA SECANTE

Determina la posizione tra l’ellisse e la retta:

SVOLGIMENTO

L’equazione dell’ellisse è:

Per poterla rappresentare nel sistema cartesiano ricaviamo la sua forma esplicita:

Dai due denominatori ricaviamo i valori dei due raggi sull’asse delle x e sull’asse delle y

Esplicitiamo anche l’equazione della retta che risulta parallela all’asse delle y

Dal grafico riusciamo subito a capire che la retta risulta secante all’ellisse.

posizione retta ellisse

SISTEMA RETTA – ELLISSE

Per avere una conferma analitica della posizione della retta rispetto all’ellisse mettiamo a sistema l’equazione della retta con quella dell’ellisse:

Sostituiamo ora la x trovata nella retta nell’equazione dell’ellisse pervenendo in questo modo ad una equazione in y di secondo grado:

Il delta di questa equazione è certamente positivo dal momento che genera due soluzioni reali:

Essendo il valore della x fissato i due punto di intersezione sono:

posizione retta ellisse

Scopri il corso di geometria cartesiana.

POSIZIONE RETTA ELLISSE – ESEMPIO DUE – ESTERNA

Determina la posizione tra l’ellisse e la retta:

SVOLGIMENTO

L’equazione dell’ellisse è:

Per poterla rappresentare nel sistema cartesiano ricaviamo la sua forma esplicita:

Dai due denominatori ricaviamo i valori dei due raggi sull’asse delle x e sull’asse delle y

Esplicitiamo anche l’equazione della retta 

Dal grafico riusciamo subito a capire che la retta risulta esterna all’ellisse.

posizione retta ellisse

SISTEMA RETTA – ELLISSE

Per avere una conferma analitica di come si posiziona retta rispetto alla nostra conica mettiamo a sistema l’equazione della retta con quella dell’ellisse:

Sostituiamo ora la x trovata nella retta nell’equazione dell’ellisse pervenendo in questo modo ad una equazione in x di secondo grado:

Il delta di questa equazione è negativo, infatti anche il suo delta quarti lo è:

L’equazione di secondo grado risulta impossibile!

Dunque non avremo nessun punto di intersezione tra la retta e l’ellisse

La retta risulta pertanto esterna all’ellisse!

posizione retta ellisse

Scopri il canale YouTube di andrea il matematico

POSIZIONE RETTA ELLISSE – ESEMPIO TRE

Determina la posizione tra l’ellisse e la retta:

SVOLGIMENTO

L’equazione dell’ellisse è:

Per poterla rappresentare nel sistema cartesiano ricaviamo la sua forma esplicita:

Dai due denominatori ricaviamo i valori dei due raggi sull’asse delle x e sull’asse delle y

Esplicitiamo anche l’equazione della retta 

Dal grafico riusciamo subito a capire che la retta risulta tangente all’ellisse.

posizione retta ellisse

SISTEMA RETTA – ELLISSE

Per vedere analiticamente come si posiziona la retta rispetto alla conica mettiamo a sistema l’equazione della retta (dove esplicitiamo la x) con quella dell’ellisse:

Sostituiamo ora la x trovata nella retta nell’equazione dell’ellisse pervenendo in questo modo ad una equazione in x di secondo grado:

Il delta di questa equazione è nullo, infatti anche il suo delta quarti lo è:

L’equazione di secondo grado risulta avere una sola soluzione!

Sostituendo il valore della y trovata nella x della retta richiamo che:

Dunque il punto di tangenza risulta essere:

posizione retta ellisse

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Scopri il corso di geometria cartesiana.

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