La somma per differenza è un particolare prodotto notevole del tipo (A+B)(A–B), in cui abbiamo una somma di elementi che moltiplica la differenza degli stessi.
Il risultato della somma per differenza è una differenza di quadrati.
In particolare otteniamo il quadrato del termine che non cambia meno il quadrato del termine che cambia di segno.
ESEMPI DI SOMMA PER DIFFERENZA
Consideriamo i seguenti esempi :
SOLUZIONI GLI ESERCIZI
Data la semplicità dei calcoli riporto direttamente i risultati
Ricordiamo bene che nei numeri reali il prodotto gode della proprietà commutativa, pertanto:
In questi esempi vediamo quanto appena detto:
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ATTENZIONE ALLA REGOLA DELLA SOMMA PER DIFFERENZA
Attenzione che la regola della somma per differenza ci dice che nei polinomi che si moltiplicano dobbiamo fare:
Il quadrato del termine che non cambia meno il quadrato del termine che cambia (di segno)
Questo indipendentemente dall’ordine che abbiamo.
Sono ancora esempi i seguenti:
ESEMPIO 1
Se guardiamo bene il primo tra i due esempi:
Notiamo che il termine che non cambia di segno è –3x
Mentre la y cambia il suo segno:
Dunque applicando la regola abbiamo che:
ESEMPIO 2
Osserviamo ora il secondo esempio proposto:
Non lasciamoci ingannare dalla posizione degli elementi, perché questa è una somma per differenza.
Infatti il termine che non cambia di segno è 5x, mentre 3y cambia.
Per la proprietà commutativa della somma possiamo anche riscrivere la seconda parentesi con gli addendi invertiti.
Ora non c’è il minimo dubbio su come procedere:
REGOLA DELLA SOMMA PER DIFFERENZA
In principio abbiamo detto che sviluppando una somma per differenza perveniamo ad una differenza di quadrati.
La regola è dunque la seguente
Come facciamo a dimostrare questa regola?
Per farlo è semplicissimo e basta semplicemente fare la moltiplicazione tra i due polinomi:
Moltiplichiamo dunque ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio:
Ricordiamo che il prodotto è commutativo dunque AB = BA
Andiamo ora a semplificare i termini uguali e opposti +AB–AB
Otteniamo la regola cercata!
VISUALIZZAZIONE GEOMETRICA DELLA SOMMA PER DIFFERENZA
Possiamo immaginare che la somma per differenza
Sia pari all’area di un rettangolo che ha dimensioni pari a:
Partiamo immaginando due segmenti di lunghezze A e B
Costruiamo poi altri due segmenti: somma (A+B) e differenza (A–B)
Infine andiamo a costruire un rettangolo che ha per dimensioni i segmenti di lunghezza A+B e A–B.
Come è possibile che l’area di questo rettangolo sia pari a
Questa ultima la possiamo immaginare come l’area della differenza di due quadrati, uno con lato A e l’altro con lato B
L’area contornata di giallo mostrata nella figura sotto
Scomponiamo ora l’area gialla in tre rettangoli che avranno aree pari a:
Che per comodità chiamiamo:
Ruotiamo ora il triangolo R2 di 90 gradi e affianchiamolo perfettamente al triangolo R3.
Ecco che abbiamo trovato un rettangolo che ha per dimensioni proprio (A+B) e (A–B)
Risulta verificata quindi l’uguaglianza:
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LA SOMMA PER DIFFERENZA APPLICATA AI NUMERI
Ma siamo davvero sicuri che la regola per la somma per differenza sia esatta ?
Per quelli più scettici di noi possiamo prendere delle moltiplicazioni numeriche per testare la regola.
Cominciamo da tre operazioni di moltiplicazioni molto semplici:
Partiamo dal primo caso:
E su questo non ci piove!
Possiamo rileggere questa operazione come:
Applicando la regola della composizione, otteniamo il quadrato di 2 meno il quadrato di 1, che ci da proprio 3.
Adesso che abbiamo capito il meccanismo vediamo anche gli altri due esempi.
Per il secondo esempio abbiamo che:
Mentre per il terzo esempio:
Quando conosciamo che una regola funziona la possiamo anche applicare a casi più complicati:
SOMMA PER DIFFERENZA CON I POLINOMI
La regola della somma per differenza:
Può essere applicata anche con i polinomi:
Prendiamo in esami il seguente caso di moltiplicazione polinomiale:
Ricordiamo che la regola ci dice:
Quadrato del termine che non cambia meno quadrato del termine che cambia (di segno).
Dunque separiamo i termini che non cambiano da quelli che cambiano:
Per ultimo non ci resta che calcolare i due quadrati di binomio
SCOMPOSIZIONE DELLA DIFFERENZA DI QUADRATI IN UNA SOMMA PER DIFFERENZA
Dalla regola per lo sviluppo :
Possiamo ricavare la regola per la scomposizione della differenza di quadrati, semplicemente leggendo al contrario la formula:
Ad esempio se abbiamo:
Notiamo che:
Dunque:
HAI QUALCHE DOMANDA???
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
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