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APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA

Per capire se un generico punto P di coordinate 

appartiene ad una certa retta r di equazione:

andiamo a sostituire le coordinate del punto P all’interno dell’equazione della retta r, ottenendo:

A questo punto possiamo trovarci di fronte a due scenari.

Il primo caso è un’equazione vera cioè 0=0 in questo caso, allora diremo che il punto appartiene alla retta.

Nel secondo caso otteniamo una equazione falsa, quindi il punto P considerato non appartienealla retta r.

ESEMPIO

Facciamo un esempio pratico:

Dite se i punti A(3; 1) e B(1; 3) appartengono o meno alla retta di equazione:

Cominciamo a considerare il punto A 

Inseriamo le coordinate del punto all’interno dell’equazione della retta:

In questo modo otteniamo la seguente espressione:

In questo modo otteniamo la seguente espressione:

Che risolta ci fa ottenere:

Quello che abbiamo ottenuto è una affermazione vera, il che ci porta ad ammettere che il punto A appartiene alla retta r considerata.

Ora prendiamo il secondo punto B

Inseriamo le sue coordinate sempre all’interno dell’equazione della retta r:

Ottenendo

Se risolviamo il lato sinistro dell’equazione otteniamo:

Questa affermazione è palesemente falsa, quindi concludiamo che il punto B non appartiene alla retta r.

RETTA PASSANTE PER UN PUNTO DATO UN COEFFICIENTE ANGOLARE

Vediamo ora come determinare l’equazione di una retta passante per un generico punto P di coordinate note:

Avente un certo coefficiente angolare m che possiamo chiamare mr cioè m associato alla retta r.

Noi sappiamo che per un punto P passano infinite rette e questo per un postulato della geometria euclidea.

Ma ne esisterà soltanto una che avrà una determinata inclinazione, determinata appunto dalla pendenza, ovvero dal coefficiente angolare mr.

MODO 1  – SOSTITUZIONE

Il primo modo che abbiamo a disposizione per determinare l’equazione della retta passante per un punto con un dato coefficiente angolare è la sostituzione.

Consideriamo per prima cosa l’equazione di una generica retta scritta nella sua forma esplicita:

Ora sostituiamo al posto della x e della y le coordinate del punto P.

e al posto del coefficiente generico m quello specifico mr.

In questo modo otteniamo la seguente equazione:

L’unica incognita presente nell’equazione è la q, che possiamo facilmente determinare:

A questo punto abbiamo anche l’equazione della retta:

ESEMPIO

Trova la retta passante per il punto di coordinate (3; 1) avente coefficiente angolare pari a 2.

Per prima cosa rappresentiamo i dati, ovvero le coordinate del punto:

ed il valore del coefficiente angolare:

Diamo una rappresentazione grafica fissando il punto all’interno del sistema cartesiano.

Siccome poi il coefficiente angolare vale 2, se ci spostiamo di una ascissa a destra ci spostiamo di due ordinate in alto.

Quindi la retta dovrà passare per forza per il punto di coordinate (4;3).

Per quei due punti tracciamo dunque l’unica retta passante.

Ora agiamo sul lato matematico e prendiamo in considerazione la generica equazione di una retta nella sua forma esplicita:

Sostituiamo al posto della x e della y della retta le coordinate del punto P

E al posto del coefficiente angola m il valore dato ovvero 2:

In questo modo l’equazione che otteniamo è :

Dalla quale possiamo facilmente ricavare il valore dell’intercetta all’origine q.

Adesso che conosciamo sia il coefficiente angolare m che l’intercett all’orine q abbiamo anche l’equazione della retta cercata:

MODO 2 – FORMULA

Il secondo modo per ricavare l’equazione di una retta passante per un punto P di coordinate date

 di coefficiente angolare m dato mr

È quella di applicare la seguente formula:

Per ottenere questa formula dobbiamo tornare ai passaggi svolti in alto dove avevamo l’equazione generale della retta scritta in forma esplicita:

Quando abbiamo inserito al posto della x e della y le coordinate del punto P

E il valore dato del coefficiente angolare:

abbiamo ottenuto il valore del parametro ignoto q, ottenendo:

Se andiamo ora ad inserire il valore di q trovate all’interno dell’equazione generica della retta r otteniamo:

che possiamo riscrivere riordinando i termini come:

Andando a raccogliere a fattor comune il coefficiente angolare mr

Otteniamo proprio l’equazione della formula:

ESEMPIO

Trova l’equazione della retta passante per il punto P (-1; 2) avente come coefficiente angolare -3.

Per prima cosa riportiamo i dati, cioè le coordinate del punto P

E del coefficiente angolare della retta noto:

Consideriamo quindi la formula della retta passante per un punto dato un certo coefficiente:

Sostituiamo quindi nell’equazione della retta le coordinate del punto P e del coefficiente angolare, ottenendo:

Sviluppando i calcoli abbiamo:

Abbiamo ottenuto l’equazione della retta cercata.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

Ora possiamo rappresentare graficamente la nostra retta, che passerà certamente per il punto P dato:

Ma conoscendo l’intercetta all’origine che vale –1, sappiamo che passerà anche per il punto di coordinate (0; –1)

RETTA PASSANTE PER 2 PUNTI

Vediamo ora come trovare l’equazione della retta passante per due punti:

Consideriamo due punti generici A e B del sistema cartesiano con:

Sappiamo per un postulato della geometria euclidea che per due punti passa una ed una sola retta.

Il nostro scopo è quella di trovare la sua equazione.

MODO 1 – SISTEMA

Il primo metodo che andiamo a vedere è quella di risolvere un sistema lineare, ottenuto imponendo il passaggio della retta per i due punti noti.

Consideriamo la generica retta scritta nella sua forma esplicita:

Nella prima equazione del sistema andiamo ad inserire le coordinate del punto A in questa equazione:

Mentre nella seconda equazione del sistema andiamo ad inserire le coordinate del punto B:

Rileggendo il sistema da destra verso sinistra possiamo anche scrivere:

METODO CRAMER

Quello che interessa a noi ora è risolvere questo sistema e non importa quale metodo andiamo ad utilizzare.

Il metodo che ho scelto in questo caso è il metodo Cramer, che consiste nel risolvere i sistemi mediante l’utilizzo dei determinanti.

Per prima cosa consideriamo proprio il sistema che abbiamo appena costruito:

A questo punto andiamo a costruire la matrice di sistema che consiste nel riportare i coefficienti delle due incognite m e q in colonna, esattamente come riportati nel suo sistema.

Mettiamo già questa matrice all’interno del simbolo di determinante che consiste in un due stanghette orizzontali ai margini

Il simbolo di ∆ è il simbolo del determinante.

Per calcolare il determinante di questa matrice facciamo il prodotto degli elementi sulla diagonale principale (dall’alto a sinistra al basso a destra) a cui sottraiamo il prodotto degli elementi sella diagonale secondaria:

Ora ci calcoliamo il determinante ∆m associato all’incognita m.

Per farlo dobbiamo sostituire all’interno della matrice di sistema la prima colonna (quella dei coefficienti di m) con la colonna dei termini noti (le ordinate y dei punti A e B).

Poi calcoliamo con il metodo visto prima il determinante:

Adesso troviamo il determinate ∆q associato all’incognita q.

Andiamo quindi a sostituire nella matrice del sistema la seconda colonna (quella dei coefficienti di q) la colonna dei termini noti.

A questo punto possiamo calcolare il parametro della retta m come il rapporto tra il determinante associato ad m (∆m) e il determinante di sistema (∆)

E il parametro q come  il rapporto tra il determinante associato ad m (∆q) e il determinante di sistema (∆)

Se vogliamo scrivere tutti i calcoli completi avremo:

ESEMPIO

Trova l’equazione della retta passante per i punti A(1; 2) e B(3; 0) 

Cominciamo a scrivere i dati cioè le coordinate dei due punti:

Consideriamo la generica equazione della retta:

Inseriamo prima le coordinate del punto A:

E poi le coordinate del punto B:

A questo punto rileggendo da destra a sinistra otteniamo il sistema:

Dalla seconda equazione risulta subito evidente il valore della q:

Sostiamo questo valore trovato all’interno della prima equazione del sistema:

E da qui ricaviamo subito il valore della m:

Ora abbiamo quindi anche l’equazione della retta:

METODO CRAMER

Se avessimo voluto risolvere il sistema precedente con il metodo Cramer dei determinanti saremmo partiti dal sistema:

A questo punto calcoliamo il determinante di sistema dei sulla matrice dei coefficienti delle incognite:

Successivamente calcoliamo il determinante ∆m sulla matrice ottenuta sostituendo la prima colonna con i termini noti:

E il determinate  ∆q sulla matrice ottenuta sostituendo la seconda colonna con i termini noti

Infine calcoliamo le incognite m e q dividendo il relativo determinante per il determinante di sistema:

Otteniamo dunque la retta di equazione:

MODO 2 – RICAVIAMO IL COEFFICIENTE ANGOLARE E USUAMO LA FORMULA DELLA RETTA PASSANTE UN PUNTO

Il secondo metodo per ricavare l’equazione della retta passante per due punti consiste nel ricavare il coefficiente angolare della retta e imporre il passaggio della retta per uno dei due punti.

Consideriamo i due punti generici A e B:

Ora calcoliamo il coefficiente angolare della retta mr definito come il rapporto tra la variazione delle ordinate e la variazione delle ascisse:

Adesso troviamo l’equazione della retta imponendo il passaggio per uno dei due punti usando la formula generica:

Se scegliamo di imporre il passaggio per il punto A otteniamo:

In alternativa possiamo optare per il passaggio per il punto B:

Ovviamente svolgendo i calcoli otteniamo la stessa retta.

ESEMPIO

Trova l’equazione della retta passante per i punti A(1; 2) e B(3; 0) 

Calcoliamo il coefficiente angolare della retta cercata:

Che nel nostro caso specifico sarà:

Ora vediamo cosa succede imponendo il passaggio per il punto A(1; 2) 

Se scegliamo invece di farla passare per il punto B(3; 0)

In entrambi i casi abbiamo ottenute la retta di equazione:

RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Due rette sono tra di loro parallele se hanno la stessa pendenza ovvero lo stesso coefficienteangolare.

Risultano invece perpendicolari quando il prodotto tra i loro coefficienti è pari a –1, il che equivale a dire che il loro coefficienti sono anti-reciproci.

Consideriamo una generica retta r di equazione:

Ora prendiamo un’altra retta t di equazione:

La retta t risulta essere parallela alla retta r se ha lo stesso coefficiente angolare della retta r.

Il simbolo della freccia  che va in entrambe le direzioni destra e sinistra significa che vale anche l’inverso.

Ovvero che se due rette presentano lo stesso coefficiente angolare allora sono tra di loro parallele.

Consideriamo ora un’altra retta s di equazione:

 questa retta risulta essere perpendicolare alla retta r di partenza se e solo se il prodotto tra il suo coefficiente angolare e quello della retta r è pari a –1

Il che equivale a dire che i loro coefficienti sono antireciproci.

ESEMPIO

Trovate le equazioni delle rette t ed s rispettivamente parallela e perpendicolare alla retta r di equazione:

Passanti per il punto di coordinate (2; 0)

Per prima cosa ricaviamo l’equazione esplicita della retta r per capire quanto vale il suo coefficiente angolare:

Ora sappiamo che la retta t risulta essere parallela alla retta r per cui il suo coefficiente angolare vale 3/2

Sapendo che la retta t passa per il punto do coordinate (2; 0) applichiamo la formula della retta passante per un punto dato un certo coefficiente angolare:

Imponiamo il passaggio per il punto dato e il coefficiente angolare ormai noto:

Sviluppando i calcoli otteniamo l’equazione della retta t:

Passiamo ora alla retta s.

Siccome quest’ultima è perpendicolare alla retta r il suo coefficiente angolare è l’antireciproco di 2/3 ovvero -3/2.

Imponendo il passaggio per il punto P(2;0) otteniamo:

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