FORMA INDETERMINATA +∞–∞ (più infinito meno infinito)

Per risolvere una forma indeterminata dei limiti del tipo più infinito meno infinito(+∞–∞) usiamo la scala degli infiniti.

LE FORME INDETERMINATE NEI LIMITI

Le forme indeterminate nei limiti sono:

• +∞–∞ (più infinito meno infinito)
• 0·∞  (zero per infinito)
• 0/0  (zero su zero)
• ∞/∞   (infinito su infinito)
• ∞⁰  (infinito alla zero)
• 0⁰  (zero alla zero)
• 1^∞  (uno alla infinito)

In questo articolo parliamo della forma più infinito meno infinito dei limiti.

FORMA PIÙ INFINITO MENO INFINITO (+∞-∞)

Nella forma più infinito meno infinito (+∞-∞) ci sono due infinito di segno opposto che si sommano.

Dobbiamo quindi immaginare un grande tiro alla fune dove da un lato abbiamo l’infinito con segno positivo mentre dall’altro un infinito con segno negativo.

Chi vincerà questa eterna lotta?

ESEMPIO 1 – più infinito meno infinito

Partiamo da un esempio molto semplice di questa forma di indecisione.

Consideriamo il seguente limite:

Adiamo a sostituire per prima cosa il +∞ al posto della x:

Abbiamo ottenuto una forma indeterminata del tipo più infinito meno infinito (+∞–∞).

Il principale metodo utilizzato per risolvere tale forma è il raccoglimento a fattor comune.

Diversamente dai tradizionali metodi di raccoglimento tuttavia non raccogliamo il gradominore ma quello maggiore:

Procedendo con tale procedura abbiamo:

Se ora andiamo a sostituire l’infinito:

Dunque la “lotta” tra gli infiniti è stata vinta dal più infinito.

UN MODELLO GENERALE per la forma più infinito meno infinito (+∞-∞)

Quando siamo in presenza di una forma indeterminata del tipo più infinito meno infinito (+∞–∞) possiamo creare il seguente modello generale.

La forma indeterminata:

Può essere vista più in generale come:

Dove:

Se l’infinito alfa è maggiore dell’infinito beta allora prevale il più infinito.

Qualora invece l’infinito alfa è minore dell’infinito beta vince il meno infinito.

In una situazione di pareggio sulla scala degli infiniti dovremo considerare il coefficienti ae b.

In tale situazione se il coefficiente a è maggiore del coefficiente b, allora vince il più infinito.

Se invece è b ad essere maggiore di a prevale il meno infinito.

Nella situazione in cui vi sia ancora un pareggio tra i coefficienti a e b dovremo  utilizzare altri strumenti, tra i quali ricordiamo:

• Razionalizzazione
• Limiti notevoli

Ricapitolando possiamo scrivere in maniera sintetica:

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SCALA DEGLI INFINITI: α > β  o   β > α

Prendiamo a riferimento il primo esercizio visto qui sopra:

Possiamo risolvere questo esercizio utilizzando la scala degli infiniti:

Se ritorniamo al testo del limite:

Ci accorgiamo che si tratta di una somma algebrica di potenze con base maggiore di zero.

Tra le potenze presenti quella che risulta essere associata all’esponente maggiore è:

Mentre per quanto riguarda:

Sono infiniti trascurabili e certamente anche:

 è trascurabile in quanto si tratta di un numero:

Perciò il polinomio:

Può essere approssimato semplicemente con l’infinito più forte.

Dunque possiamo anche scrivere che quando la x tende all’infinito:

Che significa “si comporta come”.

Ricapitolando:

Comodo così no?

ESEMPIO 2

Vediamo insieme questo secondo esempio:

Andiamo per prima cosa a sostituire al posto della x infinito:

Con il colore arancio ho evidenziato quelli che sono subito trascurabili.

Vuoi perché queste quantità tendono allo zero o sono dei semplici numeri.

In termini di infinito possiamo dunque affermare che:

Si tratta certamente di infiniti generati da una potenza:

E  analizzando gli esponenti possiamo certamente affermare che:

 pertanto facciamo sopravvivere l’infinito che presenta l’esponente maggiore:

ESEMPIO 3 – più infinito meno infinito

Prendiamo a riferimento un esempio in cui vi siano più tipologie di funzioni, tra cui potenze esponenziali e logaritmi.

Se andiamo a sostituire ∞ al posto della x:

Sapendo che sia l’esponenziale che il logaritmo vanno ad infinito quando l’esponente e l’argomento tendono ad infinito:

Ora noi sappiamo che l’infinito di tipo esponenziale è il più forte sulla scala degli infiniti, dunque è quello che dei tre “sopravvive”.

Perciò avremo che:

ESEMPIO 4 – più infinito meno infinito

Se consideriamo lo stesso limite appena visto ma facciamo tendere la x al meno infinitoabbiamo il seguente limite.

Facciamo bene attenzione al fatto che l’esponenziale tende a zero quando l’esponente x tende al meno infinito:

L’esponenziale perciò non genera un infinito ed è quindi chiamato fuori dalla lotta tra gli infiniti.

In questo caso le funzioni che generano la forma di indecisione sono il logaritmo e la potenza.

Non facciamoci ingannare dal fatto però che l’esponente della potenza dento il logaritmoha un esponetene maggiore rispetto a quella della potenza pura.

Infatti in termini di infinito:

Si tratta perciò di un semplice infinito di tipo logaritmico, che soccombe rispetto all’infinito della potenza.

Per queste ragioni:

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SCALA DEGLI INFINITI: α =β  

Ci sono delle situazioni in cui gli infiniti di ordine maggiore si equivalgono sulla scala degli infiniti.

A questo punto dovremo guardare quale dei coefficienti associato agli infiniti prevale.

Ritornando allo schema generale che abbiamo presentato sopra:

Analizziamo il caso in cui α =β.

ESEMPIO 1

Partiamo da un esempio basilare di limite:

Andando a sostituire troviamo:

Che si tratta di una forma indeterminata +∞–∞ (più infinito meno infinito).

Notiamo che il polinomio interno alla radice, quando la x tende a più infinito si comporta come il termine con grado maggiore:

Pertanto il limite può essere scritto come segue:

Ricordiamo inoltre che:

Siccome la x sta tendendo al più infinito il modulo di x lo scriviamo semplicemente come x.

Dunque avremo che:

A questo punto possiamo riscrivere il nostro limite come:

Se raccogliamo a fattor comune la x abbiamo che il coefficiente che rimane è √2 –1 che è certamente positivo.

ESEMPIO 2

Vediamo un altro esempio di limite in cui vi sono logaritmi:

Dal momento che:

Possiamo riscrivere il limite come:

Che per le proprietà dei logaritmi diventa:

PAREGGIO COMPLETO TRA INFINITI

Tornado sempre allo schema generale sulla forma indeterminata più infinito meno infinito (+∞–∞):

Analizziamo il caso specifico in cui oltre ad un pareggio sulla scala degli infiniti vi sia anche un pareggio di coefficienti.

ESEMPIO 1 – CON LA RAZIONALIZZAZIONE

In presenza di radici quadrate risulta molto comodo il metodo della razionalizzazione.

Se consideriamo ad esempio il seguente limite:

Per il polinomio interno al radicale vale:

Dunque:

Riscrivendo il limite con questi passaggi:

In questo caso il risultato ottenuto è zero.

ATTENZIONE!!!!!

Questo risultato ci sta semplicemente indicando che siamo in una situazione di pareggio assoluto tra infiniti.

Non significa che è il vero risultato del limite!!!!

Se infatti provassimo a razionalizzare il limite di partenza:

Focalizziamoci per comodità soltanto sull’argomento del limite:

Al numeratore il polinomio diventa:

in termini di infiniti:

Mentre al denominatore:

Dunque abbiamo che:

Che è il valore del limite cercato.

Vi faccio notare che con la razionalizzazione abbiamo risolto la forma indeterminata (+∞-∞) trasformandola in una forma ∞/∞

ESEMPIO 2 – LIMITI NOTEVOLI

Vediamo ora una forma indeterminata più infinito meno infinito che possiamo risolvere con il limiti notevoli:

Notiamo subito che applicando la gerarchia degli infiniti:

Troviamo un pareggio assoluto.

Dobbiamo quindi adottare un’altra strategia.

Possiamo ad esempio applicare le proprietà dei logaritmi:

Ora dobbiamo fare in modo di riscrivere l’argomento del logaritmo come 1 sommato a qualcosa.

Per fare questo aggiungiamo al numeratore della frazione:

Cosi possiamo rileggere l’argomento del logaritmo in questo modo:

Sappiamo che quando la x tende ad infinito la seconda parte dell’argomento va a zero.

In virtù di un limite notevole:

Perciò:

Ritornando dunque al limite originario:

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