LA FUNZIONE TANGENTE

La funzione tangente detta anche tanx o tgx   è una funzione trascendente di natura goniometrica che associa ad ogni angolo il valore della sua sua tangente.

CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA FUNZIONE TANGENTE

Il dominio di questa funzione è R escluso gli angoli π/2+kπ, mentre il codominio è illimitato.

La funzione tangente è:

• Periodica
• Limitata
• Dispari  

Viene indicata con la scrittura

$$ \large y=\tan x$$

Il suo grafico è il seguente

Sotto riportiamo le principali caratteristiche di questa funzione:

IL CONCETTO DI TANGENTE NEL TRIANGOLO RETTANGOLO

Il concetto di tangente nasce dallo studio del triangolo rettangolo.

Si definisce coseno il rapporto tra il cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente

Nel triangolo rettangolo goniometrico con ipotenusa pari a 1 il seno e il coseno dell’angolo coincidono rispettivamente con il cateto opposto e quello adiacente.

La tangente dell’angolo è pari dunque al rapporto tra il seno e il coseno

$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

Nella circonferenza goniometrica con centro nell’origine (0,0) e raggio uguale a 1 la tangente è il segmento tangente alla circonferenza passante per (1,0) che intercetta il prolungamento del lato dell’angolo.

Tale valore coincide con la pendenza, ovvero il coefficiente angolare della retta lato dell’angolo

$$ m=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

TANGENTE DI ANGOLI NOTI 

Sotto mostriamo la tabella dei coseni dei principali angoli noti da 0 gradi a 180 gradi

TRIANGOLI RETTANGOLI SPECIALI

All’interno di tutti i triangoli rettangoli ve ne sono due molto particolari che ricoprono un ruolo veramente importante nella storia dell’uomo:

• Triangolo rettangolo isoscele (la metà di un quadrato) 
• Triangolo rettangolo 30-60-90 (metà di un triangolo equilatero) 

Da questi due triangoli possiamo calcolare il seno degli angoli 30, 45 e 60 gradi.

TRIANGOLO RETTANGOLO ISCOSCELE

Il primo è il triangolo rettangolo isoscele che è la metà di una quadrato.

Se definiamo l il lato del quadrato possiamo calcolare la diagonale d con la formula di Pitagora

$$d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}=\sqrt{2}l$$

Da che possiamo calcolare il valore del lato in funzione della diagonale

$$ d=\sqrt{2}l \to l=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}d$$

Si da il caso che la diagonale risulta l’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele.

I suoi angoli non retti misurano entrambi 45^o.

Dunque la tangente di 45^o vale 1

$$ \tan45^o=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}i}{\frac{\sqrt{2}}{2}i}=1$$

TRIANGOLO RETTANGOLO EMI-EQUILATERO

Il triangolo rettangolo emi-equilatero è la metà di un triangolo equilatero ed i suoi angoli misurano 30-60-90 gradi.

Detto l il lato del triangolo equilatero se tracciamo una altezza questa risulta sia bisettrice che mediana.

Dunque la base che stiamo considerando viene divisa in due parti congruenti di valore l/2.

A questo punto possiamo calcolare il valore dell’altezza h usando il teorema di Pitagora

$$h=\sqrt{l^2-\left(\frac{1}{2}l\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}l^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}l$$

Ora se consideriamo il triangolo rettangolo emi-equilatero con angoli 30-60-90 possiamo definire i l’ipotenusa e c₁ e c₂ i due cateti

L’ipotenusa i sarebbe il lato l del triangolo equilatero, mentre i due cateti misurano:

$$c_1=\frac{1}{2}i\ \text{adiacente a $60^o$}\quad c_2=\frac{\sqrt{3}}{2}i\ \text{adiacente a $30^o$}$$

Dunque per la definizione di tangente di una angolo è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente, dunque

$$ \tan30^o=\frac{c_1}{c_2}=\frac{\frac{1}{2}i}{\frac{\sqrt{3}}{2}i}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \tan60^o=\frac{c_2}{c_1}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{1}{2}i}=\sqrt{3}$$

Ricapitolando possiamo costruire i due triangoli rettangoli goniometriciassociati con ipotenusa pari a 1.

I cateti adiacenti agli angoli risultano pari al valore del coseno degli angoli

Questo due soli triangoli permettono di costruire molti altri triangoli sulla circonferenza goniometrica.

TANGENTE DI ANGOLI PARTICOLARI

Andiamo a riportante sulla circonferenza goniometrica le tangenti degli angoli più utilizzati nella goniometria.

COSTRUZIONE DELLA FUNZIONE TANGENTE

Sulla base dei valori delle tangenti in corrispondenza di ogni angolo che abbiamo rappresentato sulla circonferenza goniometrica possiamo rappresentare la funzione y=tanx

Rappresentiamo sull’asse della x il valore degli angoli mentre sull’asse delle x i valori delle tangenti.

Cominciamo a rappresentarli nell’intervallo (–π/2, +π/2).

PERIODO DELLA FUNZONE TANGENTE DI X

La funzione tangente di x è una funzione periodica, ovvero che si ripete identica in ogni suo periodo.

Il periodo della funzione seno è π.

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TANGENTE DI ANGOLI ASSOCIATI 

Un capitolo molto interessante della goniometria riguarda le formule degli angoli associati.

Tali formule permettono di esprimere il coseno di alcuni angoli in funzione del seno o del coseno di altri angoli .

Fissato un generico angolo 𝛼 i suo principali angoli associati sono:

$$ -\alpha \quad \pi \pm \alpha \quad \frac{\pi}{2}\pm\alpha \quad \frac{3}{2}\pi\pm\alpha $$

In particolare abbiamo che:

$$ \begin{array}{l} \tan(-\alpha)=-\tan\alpha & \tan(\pi\pm\alpha)=\pm\tan\alpha \\ \tan\left(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)=\mp\text{cotan}\alpha & \tan\left(\frac{3}{2}\pi\pm\alpha\right)=\mp\text{cotan}\alpha \end{array} $$

FORMULE GONIOMETRICHE CON LA TANGENTE

La teoria della goniometria che riguarda la tangente è veramente molto vasta e tante sono le formule che lo riguardano.

A tal proposito ricordiamo le formule di:

• Addizione e sottrazione
• Duplicazione  e bisezione
• Parametriche

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Le formule di addizione e sottrazione per la tangente sono:

$$ \tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \quad \tan(\alpha-\beta) =\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} $$

FORMULE DI DUPLICAZIONE E BISEZIONE

Le formule di duplicazione e di bisezione per la funzione tangente sono

$$ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$

FORMULE PARAMETRICHE

$$ \tan\alpha= \frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$$

EQUAZIONI ELEMENTARI CON LA TANGENTE

Grazie al concetto di tangente di un angolo possiamo creare delle equazioni che hanno proprio come incognita questo oggetto goniometrico.

Le equazioni elementari in tangente si presentano nella forma:

$$ \tan x=m$$

La cosa veramente interessante è che tali equazioni hanno sempre una soluzione reale del tipo: arcotangente di m più k pigreco

$$ x=\arctan m +k\pi=\tan^{-1}m+k\pi$$

Un’altra forma elementare in cui possono manifestarsi le equazioni che hanno come oggetto la tangente di un angolo sono del tipo:

$$ \tan\left( f(x)\right)=\tan\left( g(x)\right)$$

La soluzione generale di questo tipo di equazioni è del tipo:

$$ f(x)=g(x)+k\pi \quad \text{con $k\in\mathbb{Z}$}$$

LIMITI NOTEVOLI CON LA TANGENTE

La tangente ricopre un ruolo centrale all’interno della teoria dei limiti ed in particolare nei limiti notevoli che riguardano la forma indeterminata zero su zero

La forma indeterminata che riguarda la tangente è

$$ \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$$

DERIVATA PRIMA DELLA FUNZIONE TANGENTE DI X

La derivata prima della tangente di x è il quadrato della secante, ovvero il quadrato del reciproco del coseno

$$ y=\tan x \to y’=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$$

Per la relazione fondamentale della trigonometria possiamo scrivere questo valore come la somma di 1 con il quadrato della tangente stessa, infatti

$$y’=\frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$

La dimostrazione di questa formulazione è da ricercarsi proprio nei limiti notevoli.

Consideriamo la funzione goniometrica tanx :

$$ f(x)=\tan x$$

Applichiamo per il calcolo il limite del rapporto incrementale

$$ \begin{array}{h} f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h}=\frac{0}{0} \end{array}$$

Applichiamo le formule di addizione degli angoli per la tangente:

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\frac{\tan x+\tan h}{1-\tan x \tan h}-\tan x}{h}\right)=$$

Notiamo che quando la h tende a zero il tanh tende a  h

$$ h\to0: \tan h\approx h $$

Dunque riscriviamo il nostro limite come

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\frac{\tan x+h}{1-h\tan x }-\tan x}{h}\right)=$$

Svolgiamo i calcoli al numeratore facendo il denominatore comune

$$ \begin{array}{h} \frac{\tan x +h-\tan x(1-h\tan x)}{1-h\tan x}= \\ \frac{\tan x +h-\tan x+h\tan^2 x}{1-h\tan x}= \frac{h(1+\tan^2 x)}{1-h\tan x} \end{array}$$

Ritorniamo dunque al limite

$$ \begin{array}{l} f'(x)= \lim_{h\to0}\left( \frac{h(1+\tan^2x)}{1-h\tan x} \cdot \frac{1}{x}\right)=\lim_{h\to0}\left(\frac{1+\tan^2x}{1-h\tan x}\right)=1+\tan^2x \\ f'(x)=1+\tan^2x=1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} \end{array}$$

Per la relazione fondamentale della trigonometria possiamo anche scrivere la derivata della tangente come il quadrato della secante:

$$ f'(x)=1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$$

SVILUPPO DI TAYLOR DELLA FUNZIONE TANGENTE

Quando le cose diventano più specifiche i limiti notevoli non riescono ad offrire un grado di precisione sufficiente per calcolare alcune forme indeterminate zero su zero.

A questo scopo servono le formule relative al polinomio di Taylor – Mac Laurin

In particolare è possibile approssimare la funzione tangente di x in un intorno molto piccolo di x=0  attraverso un polinomio di grado n di questo tipo:

$$ \tan x = x +\frac{x^3}{3}+\frac{2}{5}x^5+\frac{17}{315}x^7+\frac{62}{2835}x^9+\cdots $$

Questo polinomio sembra in apparenza non seguire una regola così comprensibile come quella che troviamo nella sviluppo di seno e coseno

INTEGRALE DELLA FUNZIONE TANGENTE

L’integrale è un operatore matematico detto anche anti-derivata.

Nel caso particolare della tangente abbiamo che il suo integrale è l’opposto del logaritmo naturale del coseno di x

$$ \int\tan x dx = -\log|\cos x|+c $$

Per dimostrare questa regola in apparenza strana o bizzarra dobbiamo rifarci alle regole di integrazione.

$$ \int\tan x dx $$

La tangente è definita come il rapporto tra il seno e il coseno dunque

$$ \int\tan x dx =\int\frac{\sin x}{\cos x}dx$$

Il numeratore della frazione da integrare è l’opposto della derivata del denominatore.

Moltiplichiamo pertanto per –1 sia all’interno che all’esterno dell’integrale

$$ \int\tan x dx =\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{-\sin x}{\cos x}dx$$

A questo punto applichiamo la regola di integrazione secondo la quale la derivata di una frazione in cui il numeratore è la derivata prima del denominatore è il logaritmo naturale (che qui chiamiamo log) del modulo del denominatore della frazione.

$$ \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|+c$$

Pertanto applicando la regola di integrazione otteniamo che la derivata della tangente è l’opposto del logaritmo naturale del modulo del coseno di x:

$$ \int\tan x dx =\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{-\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{(\cos x)’}{\cos x}dx=-\log|\cos x|+c$$

Sfruttando una proprietà dei logaritmi:

$$ -\log a = \log a^{-1}= \log\frac{1}{a}$$

Possiamo anche scrivere l’integrale della tangente come il come il logaritmo del modulo della secante

$$ \int\tan x = -\log|\cos x|+c= \log\left|\frac{1}{\cos x}\right|+c=\log|\sec x|+c$$

LA FUNZIONE INVERSA DELA TANGENTE DI X

La funzione inversa del coseno di x è arcotangente di x detta anche tan^-1x.

$$ f(x)=\tan x \to f^{-1}(x)=\tan^{-1}x=\arctan x $$

Questa funzione calcola il valore dell’angolo in corrispondenza di ogni valore del coseno.

Il suo dominio va da –∞ a +∞

Mentre il suo codominio va da –π/2 a +π/2 

LA TANGENTE NEI NUMERI COMPLESSI

Verso il 1600 nasce in Europa una nuova affascinante materia, quella dei numeri complessi.

Questa teoria si basa sull’unità immaginaria i il cui quadrato è il numero negativo –1.

Una rivoluzione matematica!

Questa rivoluzione porta alla creazione di numeri complessi z dotati di una parte reale a che viene sommata ad una parte immaginaria ib.

$$ z=a+ib$$

I matematici del tempo connettono la teoria dei numeri complessi con la già affermata teoria della goniometria.

Il coseno e il seno sono utilizzati per rappresentare rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria dei numeri.

$$ z=a+ib=\rho\cos\theta+i\rho\sin\theta$$

La tangente nei numeri complessi serve ad identificare l’angolo 𝜃 che è l’arco la cui tangente è il rapporto tra parte immaginaria e la parte reale del numero.

A tale valore aggiungiamo π quando la parte reale è negativa

$$ \theta=\begin{cases} \tan^{-1}\frac{b}{a}&\text{se}&a>0 \\ \frac{b}{a}&\text{se}&a>0 \\ \frac{b}{a}+\pi&\text{se}&a<0 \end{cases}$$

I numeri immaginari vengono rappresentati come vettori nel piano di Gauss, matematico tedesco vissuto tra il 1777 e il 1855.

$$ z=a+ib=\rho\cos\theta+i\rho\sin\theta\\ \ \\ \begin{array}{l} a=\rho\cos\theta\ \text{ è la parte reale di z} \\ b=\rho\sin\theta\ \text{ è la parte immaginaria di z}\\ \rho=\sqrt{a^2+b^2}\ \text{ è il modulo di z} \\ \theta\ \text{è l’angolo formato dal numero complesso con l’asse dei reali} \end{array} $$

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