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Il test che stiamo per vedere serve a confrontare le medie di due campioni dipendenti.

Il caso tipico è quello dei campioni appaiati.

Per campioni appaiati intendiamo due campioni composti dalle stesse unità statistiche per le quali si verifica l’evoluzione di un qualche fenomeno.

Un esempio di questo tipo di test potrebbe essere la rilevazione su n soggetti i risultati conseguiti in un due compiti di matematica.

Oppure i tempi in una gara di 100 m rilevati in due settimane consecutive.

In pratica ci stiamo chiedendo se i risultati ottenuti nella prima prova sono diversimaggiori o minori rispetto a quelli ottenuti nella prima prova.

Per darvi un orientamento sugli elementi che rendono diverso questo tipo di test dagli altri possiamo elencare le seguenti caratteristiche.

In primo luogo il numero dei soggetti e i soggetti stessi devono essere gli stessi.

Questo è elemento rende certamente dipendenti i due campioni.

In secondo luogo vogliamo rilevare su questi soggetti un’evoluzione di un certo fenomeno, magari in conseguenza ad un fatto avvenuto all’interno di questo periodo di tempo.

Nel caso della gara citato prima potrebbe esserci ad esempio un periodo di allenamento.

In questo caso l’obiettivo del test sarebbe quello di verificare o meno l’efficacia del piano di allenamento.


La terza caratteristica importante è come avrete intuito la dimensione temporale che può assumere un ruolo fondamentale.

ESEMPIO

L’azienda DIETAFLEX dichiara di aver brevettato una pastiglia che risolve il problema del peso causato dal grasso corporeo.

Ingerendo due pastiglie al giorno il peso di un individuo cala di peso nel giro di un mese, a parità di calorie ingerite.

Sei pazienti accettano di sottoporsi a questo trattamento per 30 giorni con i dovuti controlli circa le calorie ingerite.

Riportiamo nella tabella sottostante il peso corporeo dei sei soggetti prima e dopo il trattamento.

Possiamo ritenere vera l’affermazione dell’azienda ad un livello di significatività del 5%?

IMPOSTAZIONE DEL TEST DI IPOTESI

Come avrete notato leggendo il testo si contrappongono due visioni.

Da un lato vi è l’ipotesi nulla che sostiene che il peso degli individui rimane inalterato.

Per contro troviamo proprio l’ipotesi alternativa dell’azienda che sostiene che il peso degli individui è calato:

DIFFERENZA, MEDIA, DEV.ST. E ERRORE ST.

La prima cosa che dobbiamo fare per la verifica del test è costruire il campione-differenza.

Questo può essere ottenuto facendo la differenza di peso per ogni unità statistica:

Ora andiamo a calcolare media e varianza campionaria delle differenze, ottenendo che:

 la media delle differenze è:

 mentre la deviazione standard delle differenze è:

Se usiamo Excel per la media usiamo:

Mentre per la deviazione standard:

L’errore standard (SE) associato al test è ottenuto dal rapporto tra la deviazione standard del campione e la radice quadrata della sua numerosità:

REGIONE DI ACCETTAZIONE E DI RIFIUTO 

Per determinare l’estremo che delimitata la zona di accettazione e di rifiuto usiamo una distribuzione t-student dal momento che la varianza delle differenza della popolazione è ignota.

I gradi di libertà sono pari a n–1 dunque 5 nel nostro caso.

In particolare siccome la regione di rifiuto si trova a sinistra ci interessa il quinto percentile della t-student, che può essere considerato come l’opposto del 95-esimo percentile.

Per cercare questo valore andiamo nella tavole della t-student sulla riga relativa a 5 g.d.l. e la colonna con area a sinistra 0,95 oppure a destra 0,05.

Per calcolarlo con Excel usiamo la formula:

Il valore dell’estremo è dunque:

Siccome la media delle differenze risulta superiore a questo valore (destra) accettiamo l’ipotesi nulla.

Pertanto riteniamo che al livello di significatività del 5% l’azienda stia affermando il falso circa l’efficacia della cura dimagrante.

STATISTICA TEST

Calcoliamo ora la statistica test che coincide con il dato campionario standardizzato.

Per ottenerla dividiamo la media della differenze per l’errore standard SE.

Tale valore, come era logica aspettarci, risulta maggiore del t-student associato all’estremo.

Ora calcoliamo il p-value, ovvero l’area a sinistra della statistica test.

Se usiamo le tavole cerchiamo sulla riga corrispondente ai 5 g.d.l. il valore che più si avvicina a questo numero.

Nel caso ne trovassimo due faremo un’interpolazione.

Ovviamente dobbiamo tenere presente che siccome nella maggior parte delle tavole abbiamo a che fare con valori positivi andiamo a calcolare l’area a destra del t-student positivo.

Quindi nel nostro caso cerchiamo l’area a destra di 1,82.

Dalle tavole emerge che il valore che stiamo cercando è compreso tra 1,476 e 2,015, pertanto il p-value è compreso tra 0,10 e 0,05.

Ora cerchiamo di fare un’interpolazione lineare prima tra i valori della t-student e successivamente di trasmetterla alle aree.

Impostiamo l’equazione:

 dove x e 1–x esprimono le quote percentuali da attribuire ai due valori di t-student per ottenere la nostra statistica-test.

Risolvendo l’equazione abbiamo:

Pertanto il p-value vale approssimativamente:

Per avere un risultato più preciso utilizziamo Excel scrivendo la formula:

 oppure

 ottenendo come risultato:

Ovviamente essendo il p-value maggiore del 5% siamo portati a ritenere vera l’ipotesi nulla.

Se avessimo fatto il test ad un livello di significatività del 10% avremmo invece ritenuto vera l’affermazione dell’azienda DIETAFLEX.

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31 Comments

  • Elena ha detto:

    Ciao Andrea.
    Sto creando un istogramma ma mi viene un dubbio.

    L’esercizio mi fornisce 10 questi 10 dati.

    20, 24, 27, 28, 31, 31, 36, 38, 41, 46

    E mi chiede di formare un istogramma con classi di ampiezza 5 che vanno da 20 a 50.
    Le classi sono dunque:
    [20, 25], (25, 30], (30, 35], (35, 40], (40, 45], (45, 50].

    Inoltre mi chiede di calcolare la frequenza di ogni classe e di calcolare le altezze.
    Sapresti aiutarmi?
    Grazie

    • Andrea ha detto:

      Ciao Elena, grazie della domanda.
      Per calcolare la numerosità di ogni classe devi semplicemente contare il numero degli elementi che si trovano in una data classe:
      Nella prima classe: [20, 25] trovi i valori 20 e 24, pertanto la numerosità( o frequenza) della prima classe è pari a 2
      Nella seconda classe: (25, 30] trovi i valori 27 e 28, pertanto la numerosità( o frequenza) della prima classe è pari a 2
      Nella prima classe: (30, 35] trovi i valori 31 e 31, pertanto la numerosità( o frequenza) della prima classe è ancora pari a 2.
      Nella prima classe: (35, 40] trovi i valori 36 e 38, pertanto la numerosità( o frequenza) della prima classe è pari a 2
      Nella prima classe: (40, 45] trovi il valore 41, pertanto la numerosità( o frequenza) della prima classe è pari a 1
      Nell’ultima classe (45, 50] trovi il valore 46, pertanto la numerosità( o frequenza) della prima classe è pari a 1.

      Per calcolare l’altezza (assoluta) ad ogni classe basta che dividi la numerosità della classe per la sua numerosità.
      Tutte le classi hanno un ampiezza pari a 5.
      Siccome le prime 4 classi hanno la stessa numerosità allora l’altezza in termini assoluti di queste risulta pari a 2/5.
      Nelle ultime due classi è presente un solo elemento, pertanto l’altezza risulta pari a 1/5.
      Spero di aver risolto il tuo problema 😉

  • Pasquale ha detto:

    Ciao, le volevo chiedere se tale test può essere fatto con variabili espresse in valori percentuali.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Pasquale
      Cosa intendi esattamente?
      Se tutti i punteggi sono espressi in percentuale?
      Riesci a farmi un esempio concreto?

  • Pasquale ha detto:

    Ciao Andrea, l’obiettivo della mia ricerca è analizzare tramite un confronto di indici economico finanziari se vi è stata efficienza nell’utilizzo di particolari tecnologie tra l’anno x(anno in cui tali tecnologie non sono state implementate) e anno x+1(anno di ufficiale implementazione delle tecnologie), pertanto i miei dati sono sostanzialmente costituiti da rapporti tra due grande economico finanziarie.

    • Andrea ha detto:

      di che tipo di indici si tratta?

      • Pasquale ha detto:

        -cost to income
        -ROAA
        -ROE
        -margine di intermediazione/numero dipendenti

        • Andrea ha detto:

          Di certo potresti misurare questi indici per vedere se c’è stato un miglioramento o un peggioramento

          Io problema qui è che se analizzi solamente due anni hai solo due dati per ogni tipologia
          Ti servirebbero in questo caso per fare un test almeno 3/4 anni senza le tecnologie e 3/4 anni con le tecnologie
          In assenza di questi dati hai solo un semplice confronto di due dati.

          Per fare questi confronti potrebbe essere utile un test per campioni appaiati su
          – vendite mensili (o trimestrale)
          – costi mensili (o trimestrali)
          -utili mensili (o trimestrali)
          In questo modo avresti a disposizione più dati per valutare
          E ogni mese / trimestre che passa hai un dato in più a disposizione

  • Pasquale ha detto:

    Ciao Andrea, il problema che la suddetta tecnologia è stata implementata nel 2021, e non ho a disposizione i bilanci dell’anno 2022 visto che per molte società l’anno contabile coincide con l’anno solare.
    Il mio campione è composto da circa 90 aziende, pertanto avrò a disposizione di quel rispettivo indice 90 risultati dell’anno x e x+1 e per tal motivo avevo pensato di applicare il test T per campioni appaiati

  • Pasquale ha detto:

    Grazie mille Andre! sei stato di grande aiuto

  • carol ha detto:

    Ciao!
    Vorrei farle una domanda. Per fare il t-test per campioni appaiati e capire se vi è differenza significativa tra i due campioni devo prima effettuare l’analisi della varianza con test-F? O quest’ultima non è necessaria?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Carolina, grazie per la tua domanda.
      Quando le varianze delle popolazioni si assumono come ignote,
      risulta necessario verificare se possiamo ricondurre i due campioni alla medesima varianza.
      Per tanto bisogna effettuare il test F per la varianza.
      Da questo test dipende infatti il numero di gol che verrà poi applicata alla statistica test
      Spero di essere stato di auto 😉

      • carol ha detto:

        Quindi sia nel caso in cui le varianze tra i due gruppi sono uguali sia se sono diverse, potrò in ogni caso procedere con il t-test per campioni appaiati?
        Grazie mille

        • Andrea ha detto:

          Le varianze non saranno mai uguali
          Comunque se lo sono allora le assumi uguali

        • Andrea ha detto:

          Assolutamente no!
          I campioni appaiati sono costituiti dalle STESSE unità statistiche rilevate in tempi diversi.
          Se la tua indagine riguarda due gruppi distinti di individui.
          Prima fai il test F sulla varianza.
          Nel caso sia la stessa procedi con il test della differenza di medie con t-student e n1+n2-2 gdl
          Se la varianza è diversa c’è una formula particolare per calcolare i gdl

  • Andrea ha detto:

    Ciao Andrea, ho trovato il tuo articolo molto interessante.
    Devo fare un confronto statistico (per un lavoro di tesi) tra la concentrazione di PM2.5 di un’ora del mattino e un’ora del pomeriggio (60 campioni al mattino e 60 campioni al pomeriggio). Considero le due popolazioni dipendenti e mi chiedevo se è corretto usare il test che hai spiegato qua. Inoltre, vorrei sapere se questo tipo di test ha un nome particolare.
    Grazie mille

    • Andrea ha detto:

      Ciao Andrea
      Se parliamo delle STESSE unità statistiche analizzate in due tempi diversi allora devi fare certamente questo tipo di test.
      Importante è che siano proprio le stesse 60.

      Il nome del test è
      TEST PER UNA MEDIA (poiché il nostro scopo sia di valutare una media)
      PER CAMPIONI APPAIATI (DIPENDENDENTI)
      Poiché stiamo facendo un confronto (temporale) tra queste due medie
      Vogliamo sapere cioè se esiste I effettiva differenza tra i due tempi oppure l’orario non incide sulla media (della cosa che vogliamo restare)
      Quindi usiamo una t-student con 59 gdl

      Nada bene l’ipotesi però
      Nell’articolo vi è
      H0: dif medie =0
      H1: diff medie <0

      Potresti anche fare un test dove
      H0: dif medie =0
      H1: diff diverso 0

      • Andrea ha detto:

        Grazie mille per la risposta e per la spiegazione. Tutto molto chiaro.
        E’ possibile usare lo stesso tipo di test anche per confrontare valori di concentrazioni in due posti diversi non troppo distanti tra loro? (sempre avendo lo stesso numero di campioni per entrambi i luoghi)

        • Andrea ha detto:

          Si trattandosi di cose chimiche (immagino)
          Quindi riconducibili ad atomi elementari
          Se prendiamo lo stesso quantitativo
          Possiamo considerare identiche le unità statistiche
          Di conseguenza stiamo vedendo con un gruppo di 60 “soggetti” sta reagendo in diverse condizioni
          In questa ottica possiamo valutare se il cambiamento medio coincide o meno

          • Andrea ha detto:

            Grazie mille. Un’ultima domanda. Leggendo in giro ho trovato informazioni confuse riguardo alla richiesta di indipendenza delle osservazioni. Deve essere verificata per questo test? In tal caso, io non posso assumerla e quindi il test non andrebbe bene?
            Grazie mille

          • Andrea ha detto:

            Questo è un test per campioni NON INDIPENDENTI
            dunque tu stai valutando le STESSE UNITÀ in condizioni diverse
            Questa è già ipotesi di DIPENDENZA.

  • Marco ha detto:

    Buongiorno, una domanda.
    Ho 3 popolazioni diverse che fanno 3 trattamenti diversi per una stessa patologia, ciascuna con complicanze diverse (3 medie diverse di complicanze per i 3 gruppi).
    Quale test uso per valutare la differenza statistica?
    Grazie mille

  • Pierluigi ha detto:

    Ciao Andrea,
    ho letto il tuo articolo, il tutto è spiegato veramente bene. Complimenti!
    Ma per sicurezza ti chiedo comunque qualche delucidazione.
    Devo fare una piccola ricerca confrontando la variazione nelle medie dei livelli di autoefficacia in un gruppo di studenti prima e dopo uno specifico intervento psicologico. In pratica ho due campioni dipendenti (stesse persone e stesso numero) nei quali devo valutare l’efficacia dell’intervento psicologico. A tal fine ho raccolto i valori autoefficacia (espressi numericamente) pre intervento (base line) e dopo l’intervento.
    Per effettuare i calcoli uso il programma Spss.
    Dopo avere fatto il calcolo delle medie e delle differenze è corretto applicare il T test per verificare la significatività dei risultati? O meglio un’altro test? (non capisco bene il fatto della varianza conosciuta o non consciuta)
    Il mio campione è di 35 persone, i gdl da impostare sono N-1 (cioè 34)?
    Ed ancora, attraverso un questionario ho raccolto anche altri dati (soprattutto anagrafici e di gradiemnto), secondo te sarebbe utile o necessario effettuare anche altri test tipo quello di correlazione P?
    Grazie.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Pierluigi
      Grazie dei complimenti.
      Cominciamo a sfatare il taboo della varianza nota o ignota
      Nel tuo caso siamo praticamente sicuri che non conosci la varianza della popolazione (a meno che tu non disponga di tutti i dati nazionali e internazionali dellISTAT su questo fenomeno) du questo procediamo con il test t per le medie a campioni dipendenti o appaiati.
      Se il p-value è sotto il 5% (o il livello che stabilisci come riferimento) c’è stato un cambiamento dunque la cura funziona.
      Considera che essendo il numero campionario sopra il 30 (giusto usare i 34 gdl) il p- value sarebbe comunque simile anche se lo calcoli con la normale (assumendo quindi nota la varianza)
      Rispondiamo ora alla seconda domanda
      È utile fare un test di regressione.
      A mio avviso si!
      Ma non andrebbe fatto sui differenziali (dopo-prima) ma considerando
      X= prima
      Y= dopo
      Certamente un modello del tipo
      Y= beta0 + beta1 x
      Potrebbe individuare nel beta 1 una sorta di “coeffiente di trasformazione della cura”
      Ad esempio se il modello stabilisse
      Y= 5+ 1,5 X (modello di miglioramento)
      Potresti dire che (se il modello funziona) se hai un paziente che prima della cura ha un livello X= 20
      Dopo la cura il suo livello potrebbe essere di Y= 5+1,5*20= 35
      Ovviamente la procedura è
      1) faccio un test su R (coefficiente di correlazione)
      Se questo da buon esito (risulta maggiore di 0,5)
      Dobbiamo trovare un o-value basso

      2) Stimo i parametri beta 0 e beta 1
      3)Facciamo un primo test di significatività sui due valori (uguale diverso da zero)
      4)Se il p- value è basso proseguo e faccio un ulteriore test su quelle potrebbe essere il beta ideale

      qui possiamo agire ad esempio con le potenze del test (1-beta)

      Quando siamo certi che il modello può funzionare si continua ad aggiungere i risultati di altri utenti
      Se il modello è confermato è un po’ come il marchio di garanzia e qualità di un prodotto che funziona
      Dunque può essere prodotto su scala di massa

      • Pierluigi ha detto:

        Grazie Andrea!
        Quindi ok per il T test.
        Per la seconda parte effettuo test di correlazione con gli altri parametri che ritengo opportuni.
        Non ho capito bene i punti 3 e 4 , ma provedrò a fare il tutto……
        se incappassi in problemi o incertezze magari ti ricontatto, se non ti disturbo….
        Per adesso procedo così.
        Grazie di nuovo.

  • Giusy Desimini ha detto:

    Ciao Andrea, devo svolgere delle analisi statistiche per una tesi, io dovrei fare il t test in un tempo t0 (le conoscenze su una patologia prima di un intervento di sensibilizzazione su quella patologia ) e t1 sulla stessa popolazione di persone (le conoscenze su quella patologia dopo aver avuto le informazioni).
    Le domande nel questionario sono circa 20, e le persone valutate sono circa 120. Dovrei effettuare un t test su ogni domanda, o su tutte le domande per avere un unico t test valido?
    Ti ringrazio se risponderai

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