IMMAGINE DI UN’APPLICAZIONE LINEARE

Ci sono due concetti che rivestono un’importanza strategica all’interno delle applicazioni (funzioni) lineari: il nucleo e l’immagine dell’applicazione lineare

Oggi parliamo dell’immagine che si trova codominio.

Consideriamo una applicazione lineare che va da uno spazio V (dominio) ad uno spazio vettoriale W (codominio) espressa in una forma matriciale

$$ f:\ V \to W \\ f(v)= w= Av $$

L’immagine della applicazione lineare sono tutti i vettori di w di W che sono calcolati come funzione dei vettori di v dello spazio vettoriale V

$$ \text{Im}(f) = \{w \in W | w= f(v) \} $$

Per trovare la dimensione dell’immagine basta calcolare il rango della matrice A associata alla funzione lineare

$$ f(v) Av: \quad \text{Dim} \left( \text{Im} (f) \right) = \rho (A) $$

Dove 𝜌(A) è il rango della matrice A.

Supponiamo che la funzione f trasformi vettori di n componenti V in vettori con m componenti di W.

Se queste componenti sono numeri reali parliamo di funzione che va da V=Rⁿ a W=R^m

In questo caso la matrice A della funzione è una m⨯n

$$f:\ V = R^n \to W = R^m \quad \to \quad A \in M [m \times n] $$

Diremo che la funzione è suriettiva quando la dimensione dell’immagine è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale W di arrivo

$$ \text{Dim} \left( \text{Im} \right) = \rho (A) = \text{Dim}(W) = m \to \text{$f$ è suriettiva} $$

In questo caso una base dell’immagine sono le m colonne della matrice A contenute nel minore di ordine massimo

Quando invece il rango della funzione è minore di m (dimensione di W) allora la funzione non è suriettiva e una base dell’immagine sono le colonne di A contenute nel rango.

ESEMPI – DIMENSIONE DELL’IMMAGINE DI UNA FUNZIONE LINEARE

Vediamo di mettere in chiaro il concetto della dimensione dell’immagine di un’applicazione lineare attraverso una serie di esempi.

ESEMPIO 1 – IMMAGINE DI UN’APPLICAZIONE LINEARE

Cominciamo con una semplice funzione lineare che va da R a R

$$ f:\ R \to R \quad w= 3v $$

La matrice associata alla funzione è:

$$ A= (3) $$

Il suo determinante vale 3 che è diverso da zero, dunque il rango della matrice è pari a 1.

$$ \det A \ne 0 \to \rho (A) = 1 $$

Essendo che la dimensione dello spazio W di arrivo è pari a 1 ne deriva che la funzione è suriettiva.

In altre parole l’immagine della funzione coincide con w

$$ \text{Dim} \left( \text{Im}(f) \right) = m= 1 \to \text{$f$ è suriettiva} $$

Una base dell’immagine della funzione sono le colonne di A.

Siccome dobbiamo generare uno spazio dei numeri reali ci basta un solo numero quindi possiamo usare anche il 3 stesso.

Tutto questo è chiaramente molto semplice poiché ci troviamo nella classica retta.

ESEMPIO 2

Vediamo ora una semplice funzione lineare che va da R² a R²

$$ f:\ R^2 \to R^2 \quad f \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-y \\ x+3y \end{pmatrix} $$

La matrice associata alla base canonica della funzione è:

$$ A = \begin{pmatrix} 2&-1 \\ 1&3 \end{pmatrix} $$

Il suo determinante vale 3 che è diverso da zero, dunque il rango della matrice è pari a 2, infatti:

$$ \left| \begin{array}{c} 2&-1 \\ 1&3 \end{array} \right| = 6+1= 7 \ne 0 \to \rho(A) = 2 $$

Tale rango coincide con la dimensione immagine.

Anche la dimensione dello spazio W di arrivo è pari a 2  dunque  che la funzione è suriettiva.

In altre parole l’immagine della funzione coincide con W

$$ \text{Dim} \left( \text{Im}(f) \right) = \rho(A) = m= 2 \to \text{$f$ è suriettiva} $$

Una base dell’immagine della funzione è costituita dalle due colonne di A.

$$ B_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \right\} $$

Ovviamente avremmo potuto prendere anche una base alternativa come quella canonica

$$ B’_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} $$

ESEMPIO 3

Vediamo ora una funzione lineare che va da R² a R²

$$ f:\ R^2 \to R^2 \quad f \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-4y \\ x+2y \end{pmatrix} $$

La matrice associata alla base canonica della funzione è:

$$ A = \begin{pmatrix} 2&4 \\ 1&2 \end{pmatrix} $$

Il suo determinante vale 0  dunque il rango non può valere 2.

Siccome la matrice della funzione lineare ha almeno un elemento non nullo il rango vale 1

$$ \left| \begin{array}{c} 2&4 \\ 1&2 \end{array} \right| = 4-4=0 \to \rho(A) \ne 2 \to \rho(A) = 1$$

Tale rango coincide con la dimensione immagine.

Essendo la dimensione dello spazio W di arrivo è pari a 2  dunque  che la funzione è non è suriettiva.

$$ \text{Dim} \left( \text{Im}(f) \right) = \rho(A)= 1 < m= 2 \to \text{$f$ non è suriettiva} $$

Una base dell’immagine della funzione è costituita da una delle due colonne di A ad esempio

$$ B_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$

ESEMPIO 4 – IMMAGINE DI UN’APPLICAZIONE LINEARE

Proseguiamo con la seguente applicazione lineare che va da R² a R³

$$ f:\ R^2 \to R^3 \quad f \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ y \\ 3x-y \end{pmatrix} $$

La matrice associata alla base canonica della funzione è:

$$ A = \begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \\ 3&-1 \end{pmatrix} $$

Il rango della matrice A è certamente pari a 2 poiché il vettori colonna sono linearmente indipendenti (non sono multipli)

Tale rango coincide con la dimensione immagine.

Dal momento che la dimensione dello spazio W di arrivo è pari a 3  ne deriva che la funzione non è suriettiva.

$$ \text{Dim} \left( \text{Im}(f) \right) = \rho(A)= 2 < m= 3 \to \text{$f$ non è suriettiva} $$

Una base dell’immagine della funzione è costituita delle due colonne di A ad esempio

$$ B_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ w_1, w_2 \right\} $$

In alternativa possiamo considerare come base due tra le infinite combinazioni lineare tra questi due vettori ad esempio

$$ B’_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix} \right\} = \left\{ w_1+w_2, w_1-w_2 \right\} $$

ESEMPIO 5

Continuiamo con una applicazione lineare che va da R³ a R²

$$ f:\ R^3 \to R^2 \quad f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+4y-3z \\ y+2z \end{pmatrix} $$

La matrice associata alla base canonica della funzione è:

$$ A = \begin{pmatrix} 1&4&-3 \\ 0&1&2 \end{pmatrix} $$

Le due righe della matrice sono linearmente indipendenti, dunque il rango della matrice vale 2

Il rango di A coincide con la dimensione immagine.

Dal momento che la dimensione dello spazio W di arrivo è pari a 2  ne deriva che la funzione è suriettiva.

$$ \text{Dim} \left( \text{Im}(f) \right) = \rho(A) = m= 2 \to \text{$f$ è suriettiva} $$

Una base dell’immagine della funzione è costituita da due delle tre colonne di A ad esempio la prima e la seconda

$$ B_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ w_1, w_2 \right\} $$

Oppure la prima e la terza

$$ B^{(1)}_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ w_1, w_3 \right\} $$

O anche la seconda e la terza

$$ B^{(2)}_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ w_2, w_3 \right\} $$

Alternativamente possiamo considerare una coppia di vettori data da una combinazione lineare dei tre vettori tale che i vettori finali non risultino multipli tra di loro, ad esempio:

$$ B^{(3)}_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -9 \\ 4 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ w_1+w_2, w_1-w_2+2w_3 \right\} $$

In questo caso siccome i vettori hanno due componenti possiamo anche scegliere una qualsiasi base di R2 come la base canonica:

$$ B^{(4)}_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ e_1, e_2\right\} $$

ESEMPIO 6

Consideriamo la funzione lineare che va da R³ a R²

$$ f:\ R^3 \to R^2 \quad f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y-2z \\ 2x+2y-4z \end{pmatrix} $$

La matrice associata alla base canonica della funzione è:

$$ A = \begin{pmatrix} 1&1&-2 \\ 2&2&-4 \end{pmatrix} $$

Le due righe della matrice sono multiple dunque il rango vale 1

(potremo alternativamente dire che tutte e tre le colonne sono multiple dunque il rango vale 1)

Tale rango coincide con la dimensione immagine.

Essendo la dimensione dello spazio W di arrivo è pari a 2  dunque  che la funzione non è suriettiva.

$$ \text{Dim} \left( \text{Im}(f) \right) = \rho(A)= 1 < m= 2 \to \text{$f$ non è suriettiva} $$

Una base dell’immagine della funzione è costituita da una delle tre colonne di A ad esempio

$$ B_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$$

ESEMPIO 7 – IMMAGINE DI UN’APPLICAZIONE LINEARE

Consideriamo la seguente applicazione lineare che va da R³ a R³

$$ f:\ R^3 \to R^3 \quad f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y-2z \\ x+2y \\ 3x+z \end{pmatrix} $$

La matrice associata alla base canonica della funzione è:

$$ A = \begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 1&0&2 \\ 3&0&1 \end{pmatrix} $$

Il rango della matrice A è certamente pari a 3 poiché il determinante della matrice A è diverso da zero.

Applichiamo infatti il metodo di Laplace sulla seconda colonna:

$$ \begin{array}{l} \det A = \left| \begin{array}{c} 1&1&-1 \\ 1&0&2 \\ 3&0&1 \end{array} \right| = -1 \cdot \left| \begin{array}{c} 1&2 \\ 3&1 \end{array} \right| = -1 \cdot (1-6) = 5 \\ \det A \ne 0 \to \rho(A) = 3 \end{array} $$

Tale rango coincide con la dimensione immagine.

Essendo la dimensione dello spazio W di arrivo è pari a 3  dunque  che la funzione  è suriettiva.

$$ \text{Dim} \left( \text{Im}(f) \right) = \rho(A) = m= 3 \to \text{$f$ è suriettiva} $$

Una base dell’immagine della funzione è costituita delle tre colonne di A ad esempio

$$ B^{(1)}_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$

Alternativamente avremmo potuto prendere una qualsiasi base di R3 ad esempio la base canonica

$$ B^{(2)}_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$

ESEMPIO 8

Consideriamo la seguente applicazione lineare che va da R³ a R³

$$ f:\ R^3 \to R^3 \quad f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y+2z \\ 2x+2z \\ 3x+y+4z \end{pmatrix} $$

La matrice associata alla base canonica della funzione è:

$$ A = \begin{pmatrix} 1&1&2 \\ 2&0&2 \\ 3&1&4 \end{pmatrix} $$

Il rango della matrice A è certamente pari a 2 poiché il determinante della matrice A  vele zero ma esiste almeno un minore 2×2 con determinante non nullo

Applichiamo infatti il metodo di Laplace sulla seconda colonna:

$$ \begin{array}{l} \det A = \left| \begin{array}{c} 1&1&2 \\ 2&0&2 \\ 3&1&4 \end{array} \right| = -1 \cdot \left| \begin{array}{c} 2&2 \\ 3&4 \end{array} \right|-1 \cdot \left| \begin{array}{c} 1&2 \\ 2&2 \end{array} \right| = -2+2 = 0 \\ \det A = 0 \to \rho(A) <3 \end{array} $$

Un determinante di una (2×2) non nullo è:

$$ \left| \begin{array}{c} 2&2 \\ 3&4 \end{array} \right| = 8-6 \ne 0 \to \rho(A) = 2 $$

Il rango di A coincide con la dimensione immagine.

Essendo la dimensione dello spazio W di arrivo è pari a 3  dunque  che la funzione  non è suriettiva.

$$ \text{Dim} \left( \text{Im}(f) \right) = \rho(A)= 2 < m= 3 \to \text{$f$ non è suriettiva} $$

Una base dell’immagine della funzione è costituita da due delle tre colonne di A ad esempio la prima e la seconda

$$ B^{(1)}_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ w_1, w_2 \right\} $$

Oppure avremmo potuto prendere la prima e la terza colonna di A

$$ B^{(2)}_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ w_1, w_3 \right\} $$

O ancora la seconda e la terza

$$ B^{(3)}_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ w_2, w_3 \right\} $$

In alternativa possiamo usare una combinazione lineare delle tre colonne di modo che i vettori della base risultino linearmente indipendenti e non nulli

$$ B^{(4)}_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 17 \end{pmatrix} \right\} = \left\{w_1+ w_2 -2w_3 ,2w_1-w_2+3w_3 \right\} $$

ESEMPIO 9

Prendiamo  la seguente funzione lineare che va da R³ a R³

$$ f:\ R^3 \to R^3 \quad f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y+2z \\ 2x-2y+4z \\ 3x-3y+6z \end{pmatrix} $$

La matrice associata alla base canonica della funzione è:

$$ A = \begin{pmatrix} 1&-1&2 \\ 2&-2&4 \\ 3&-3&6 \end{pmatrix} $$

Il rango della matrice A è certamente pari a 1 poiché le tre colonne sono multiple.

(equivalentemente possiamo dire che le tre righe sono multiple)

Il rango di A coincide con la dimensione immagine.

Essendo la dimensione dello spazio W di arrivo è pari a 3  dunque  che la funzione  non è suriettiva.

$$ \text{Dim} \left( \text{Im}(f) \right) = \rho(A)= 1 < m= 3 \to \text{$f$ non è suriettiva} $$

Una base dell’immagine della funzione è costituita semplicemente da una delle tre colonne

$$ B_{\text{Im}(f)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right\} $$

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