MEDIA E VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

---

1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

---

2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

---

1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

---

2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

---

2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

ACQUISTA IL CORSO: STATISTICA

La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

---

2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

ACQUISTA IL CORSO: STATISTICA

La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

---

1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

---

2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

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2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

---

2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

---

2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

---

1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

---

2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

---

2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

ACQUISTA IL CORSO: STATISTICA

La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
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• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

---

3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

---

4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

---

CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

---

CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

---

CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

---

CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

---

Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

Se questo articolo ha stimolato in te qualche domanda scrivila nei commenti.

Con le tue domande puoi aiutare molti altri utenti con le tue stesse difficoltà.

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• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

---

2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

---

3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

---

In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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La Guida Definitiva ai Correttori della Varianza

Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA?

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In questo articolo parliamo della media, della varianza e della deviazione standard campionaria, ovvero che sono calcolate in un campione

ESEMPIO: MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo un esempio molto semplice che riguarda un campione di 5 unità a cui viene chiesto quante sigarette fumano in un giorno.

I risultati sono riportati nella seguente tabella:



MEDIA CAMPIONARIA

Per calcolare la media campionaria facciamo la somma dei dati e dividiamo per il numero degli stessi.

Notiamo che questa procedura è assolutamente identica a quella per calcolare la media di una popolazione.

La formula che utilizziamo è la seguente:

$$ \bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $$

Inserendo i numeri a nostra disposizione scriviamo:

$$ \bar x = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 $$

Con Excel le cose si fanno molto più semplici dal momento che basta che utilizziamo la formula:

$$ = \text{MEDIA (<dati>) } $$



VARIANZA CAMPIONARIA

Per ottenere la varianza campionaria possiamo citare due modi.

Il primo modo è quello di dividere la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la numerosità del campione meno uno.

Cioè dividiamo la devianza delle x per n-1.

$$ s^2= \frac{ DEV(x) }{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo usato la lettera romana esse (s).

Inserendo i dati che conosciamo scriviamo:

$$ s^2= \frac{ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 }{5-1} = 10 $$

Il secondo modo che possiamo utilizzare è il seguente:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

In questo caso scriviamo:

$$ s^2_C = \frac{3^2 + 5^2 +7^2 +9^2 +11^2}{5-1} – 7^2 \cdot \frac{5}{5-1} = 10 $$

Per calcolare la varianza campionaria con Excel risulta tutto molto semplice poiché basta inserire la formula:

$$ = \text{VAR.C ( <dati> ) } $$



VARIANZA DELLA POPOLAZIONE E VARIANZA CAMPIONARIA

Facciamo chiarezza una volte per tutte sulla differenza che intercorre tra il calcolo della varianza riferito ad una popolazione e il calcolo della varianza campionaria.

La varianza intesa in senso classico (varianza della popolazione) è la media dei quadrati degli scarti e si calcola come segue:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} $$

Notiamo bene che per indicarla abbiamo utilizzato la lettera greca sigma (𝜎) elevata alla seconda.

Oppure potrebbe anche essere vista come la media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$ \sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} – (\bar x)^2 $$

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Notiamo pure che per fare una distinzione tra questa e la varianza della popolazione abbiamo usato la lettere greca “σ” in contrapposizione alla lettera romana “s” utilizzata per la varianza campionaria.

Quest’ultima invece viene calcolata nei modi che abbiamo presentato sopra:

$$ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1} $$

Per ottenere la varianza campionaria a partire dalla varianza della popolazione moltiplichiamo quest’ultima per n e la dividiamo per n–1.

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} $$

Facendo questa operazione otteniamo infatti che:

$$ s^2 = \sigma ^2 \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n} \cdot \color{blue}{\frac{n}{n-1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} $$

Che è la nostra varianza campionaria

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PERCHE’ USIAMO UN CALCOLO DIVERSO?

Se abbiamo un modo per calcolare la varianza di una popolazione di dati perché cambiare questa formula quando siamo di fronte ad un campione?

Possiamo trovare la risposta a questa domanda nella più ampia teoria dell’inferenza.

In particolare nella parte che riguarda la correttezza degli stimatori.

Per farla breve supponiamo di avere una popolazione di 10 elementi e consideriamo tutti i possibili campioni con ripetizione e ordinati con 3 elementi di questa popolazione.

(cosa non affatto facile da farsi a mano poiché il numero di campioni sarebbe abbastanza alto)

$$ \text{n. campioni} = 10^3 = 1.000 $$

Comunque se calcoliamo la varianza di ogni singolo campione (1000 varianze) e poi andiamo a fare la media delle varianze non troviamo la varianza della popolazione.

Se invece consideriamo le varianze campionarie come intese in questo articolo, ecco che la loro media coincide magicamente con la vera varianza della popolazione.

Svelato questo arcano passiamo al calcolo della deviazione standard campionaria.

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

La deviazione standard campionaria è la radice quadrata della varianza campionaria:

$$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar x)^2}{n-1} } = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2}{n-1} – (\bar x)^2 \cdot \frac{n}{n-1}} $$

Con i nostri dati scriviamo:

$$ s = \sqrt{10} = 3,16 $$

Con il foglio elettronico possiamo scrivere:

$$ = \text{RADQ( <varianza> )} $$

Dove per varianza intendiamo il calcolo di prima.

Oppure se vogliamo selezionare direttamente i dati andiamo a scrivere:

$$ = \text{DEV.ST.C( <dati> )} $$



Perché la Varianza Campionaria è “Timida”?

In risposta al commento di Davide: lo stimatore è non distorto solo se, “facendo la media” di infinite varianze campionarie, otteniamo esattamente la varianza della popolazione.

Il motivo per cui dividere per $n$ fallisce è sottile: la varianza campionaria usa la media campionaria ($\bar{x}$) come punto di riferimento, non la vera media della popolazione ($\mu$). Poiché $\bar{x}$ è calcolata proprio a partire dai dati del campione, essa si posiziona sempre al “centro esatto” di essi, rendendo gli scarti artificialmente più piccoli. È come se i dati si sentissero “troppo a casa” con la loro media, mostrandosi meno variabili di quanto siano realmente.

Vediamolo con i numeri esatti del tuo esempio.

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1. La Popolazione “Vera”

Immaginiamo una popolazione finita: $P = \{1, 2, 3\}$.

• Media della popolazione ($\mu$): $\frac{1+2+3}{3} = \mathbf{2}$
• Varianza della popolazione ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \approx 0.667}$$

---

2. L’Esperimento: Estrazione dei Campioni ($n=2$)

Estraiamo tutti i $3^2 = 9$ campioni possibili (con reinserimento) e calcoliamo per ognuno la varianza “distorta” ($s^2_{\text{dist}}$), ovvero quella che divide per $n$.

Campione	Media (xˉ)	Calcolo Varianza (/n)	sdist2​
(1, 1)	1.0	$[(1-1)^2 + (1-1)^2] / 2$	0
(1, 2)	1.5	$[(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2] / 2$	0.25
(1, 3)	2.0	$[(1-2)^2 + (3-2)^2] / 2$	1.0
(2, 1)	1.5	$[(2-1.5)^2 + (1-1.5)^2] / 2$	0.25
(2, 2)	2.0	$[(2-2)^2 + (2-2)^2] / 2$	0
(2, 3)	2.5	$[(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 1)	2.0	$[(3-2)^2 + (1-2)^2] / 2$	1.0
(3, 2)	2.5	$[(3-2.5)^2 + (2-2.5)^2] / 2$	0.25
(3, 3)	3.0	$[(3-3)^2 + (3-3)^2] / 2$	0
MEDIA		Somma / 9	0.333 ($1/3$)

Il verdetto: La media delle varianze campionarie ($0.333$) è la metà della vera varianza ($0.667$). Dividendo per $n$, abbiamo ottenuto una stima che “sottostima” sistematicamente la realtà.

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3. La Magia della Correzione ($n-1$)

Per correggere questa distorsione, applichiamo la Correzione di Bessel. Invece di dividere per $n=2$, dividiamo per $n-1 = 1$.

Riprendiamo il valore medio ottenuto sopra ($1/3$) e applichiamo il fattore di correzione:

$$\text{Varianza Corretta} = s^2_{\text{dist}} \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$

$$\text{Varianza Corretta} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = \mathbf{\frac{2}{3}}$$

Il risultato ora coincide perfettamente con la vera varianza della popolazione!

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In sintesi: Perché proprio $n-1$?

Quando calcoliamo la media campionaria $\bar{x}$, “sprechiamo” un’informazione. I dati non sono più liberi di variare totalmente: se conosciamo la media e $n-1$ valori, l’ultimo valore è già obbligato (determinato).

Abbiamo perso un Grado di Libertà. Dividere per $n-1$ non è altro che il modo matematico per compensare quel “senso di vicinanza” artificiale tra i dati e la loro media campionaria, restituendo alla varianza la sua vera ampiezza.

1. Il punto di partenza: La scomposizione dello scarto

Per capire come la varianza campionaria si “piega” verso la propria media, dobbiamo guardare alla distanza tra ogni dato $X_i$ e la media vera della popolazione $\mu$. Possiamo scrivere questa distanza inserendo artificialmente la media del campione $\bar{X}$:

$$(X_i – \mu) = (X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)$$

Se eleviamo al quadrato entrambi i membri, otteniamo:

$$(X_i – \mu)^2 = [(X_i – \bar{X}) + (\bar{X} – \mu)]^2$$

$$(X_i – \mu)^2 = (X_i – \bar{X})^2 + (\bar{X} – \mu)^2 + 2(X_i – \bar{X})(\bar{X} – \mu)$$

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2. Sommare le visioni: Dalla singola unità al campione

Ora sommiamo per tutte le $n$ unità del campione ($\sum_{i=1}^n$). La somma è un operatore lineare che rivela una struttura profonda:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + \sum (\bar{X} – \mu)^2 + 2(\bar{X} – \mu) \sum (X_i – \bar{X})$$

Qui accade un fatto matematico cruciale: la somma degli scarti dalla propria media campionaria, $\sum (X_i – \bar{X})$, è sempre zero per definizione. Di conseguenza, il terzo termine (il doppio prodotto) svanisce, lasciandoci con:

$$\sum (X_i – \mu)^2 = \sum (X_i – \bar{X})^2 + n(\bar{X} – \mu)^2$$

Possiamo isolare la somma dei quadrati degli scarti che usiamo per la varianza campionaria:

$$\sum (X_i – \bar{X})^2 = \sum (X_i – \mu)^2 – n(\bar{X} – \mu)^2$$

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3. Il Valore Atteso: Verso la Verità Statistica

Per verificare se lo stimatore è corretto, dobbiamo calcolare il suo Valore Atteso $E[\cdot]$. Applichiamo l’operatore $E$ a entrambi i membri dell’equazione precedente:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = E\left[\sum (X_i – \mu)^2\right] – E\left[n(\bar{X} – \mu)^2\right]$$

Per linearità, portiamo la somma fuori dal valore atteso:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i – \mu)^2] – n E[(\bar{X} – \mu)^2]$$

Ora ricordiamo le definizioni fondamentali:

• $E[(X_i – \mu)^2] = \sigma^2$ (è la definizione stessa di varianza della popolazione).
• $E[(\bar{X} – \mu)^2] = Var(\bar{X})$ (è la varianza della media campionaria, che sappiamo essere $\frac{\sigma^2}{n}$).

Sostituiamo questi valori:

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 – n \left( \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = n\sigma^2 – \sigma^2$$

$$E\left[\sum (X_i – \bar{X})^2\right] = (n – 1)\sigma^2$$

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4. La Conclusione: La necessità del Grado di Libertà

La dimostrazione ci urla il risultato finale: se sommiamo i quadrati degli scarti dalla media del campione, in media otteniamo $(n-1)$ volte la varianza vera, non $n$ volte.

Se definissimo la varianza campionaria dividendo per $n$:

$$E\left[ \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n} \right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$$

Otterremmo uno stimatore distorto che “sottostima” sistematicamente la realtà.

Per ottenere uno stimatore non distorto (unbiased), dobbiamo annullare quel termine $(n-1)$. Ecco perché dividiamo per $n-1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 \implies E[s^2] = \frac{1}{n-1} (n-1)\sigma^2 = \mathbf{\sigma^2}$$

In questa sottrazione, $n-1$, risiede la libertà ritrovata dei dati: avendo usato i dati una volta per calcolare la media $\bar{X}$, abbiamo “pagato” un prezzo di un grado di libertà. Dividere per $n-1$ è l’unico modo per riportare lo specchio del campione alla stessa grandezza della realtà della popolazione.

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Ciao Davide, per rispondere al tuo dubbio dobbiamo distinguere quattro scenari. In ognuno di essi, la media delle varianze che osservi nel campione ($E[s^2]$) è influenzata da due fattori: la libertà del campione (il fattore $n$) e la struttura dell’universo (il fattore $N$).

Ecco la mappa completa per ritrovare la varianza della popolazione $\sigma^2$ partendo dai campioni.

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CASO 1: Estrazione con Reintegro (Bernoulli) – Ordine conta (o non conta)

Questo è il modello standard della statistica. Ogni estrazione è indipendente. Qui la distinzione tra “ordine conta” e “non conta” svanisce perché le frequenze naturali dei campioni bilanciano perfettamente il calcolo.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$, divisa per $n$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$, divisa per $n-1$):$$\sigma^2 = E[s^2]$$
• Perché: In questo mondo infinito (o con reintegro), il correttore di Bessel ($n-1$) è l’unica chiave necessaria per sbloccare la verità.

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CASO 2: Estrazione senza Reintegro – L’ordine conta (Disposizioni)

In questo mondo finito, l’universo si rimpicciolisce a ogni estrazione. I dati sono legati da una “parentela” (covarianza negativa) perché non possono ripetersi.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N-1}{N} \right)$$
• Perché: Qui il campione tende a sovrastimare la varianza della popolazione perché cerca di colpire la quasi-varianza ($S^2$). Dobbiamo “sgonfiare” il risultato con il fattore $(N-1)/N$ per tornare alla scala della popolazione finita.

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CASO 3: Estrazione senza Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni)

È il caso che hai sollevato tu: solo 3 campioni $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$.

• Le Formule: Sono identiche al Caso 2.
• Perché: Anche se i campioni sono numericamente meno (3 invece di 6), ogni campione “senza ordine” pesa esattamente quanto la somma dei suoi corrispettivi “ordinati”. La media non cambia. La scomposizione algebrica non risente della cronologia delle estrazioni, ma solo della loro composizione.

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CASO 4: Estrazione con Reintegro – L’ordine NON conta (Combinazioni con ripetizione)

Questo è il “mondo artificiale”. Qui estraiamo con ripetizione ma decidiamo che $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ siano lo stesso evento, e che $\{1,1\}$ abbia lo stesso peso di $\{1,2\}$. È un caso raro nella pratica, ma matematicamente affascinante.

• Relazione con la varianza non corretta ($s^2_{dist}$):$$\sigma^2 = E[s^2_{dist}] \cdot \left( \frac{2(N+1)}{N} \right) \quad (\text{per } n=2)$$
• Relazione con la varianza corretta ($s^2$):$$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \left( \frac{N+1}{N} \right)$$
• Perché: In questo scenario, dando lo stesso peso ai doppi (come $\{1,1\}$) che hanno varianza zero, la media campionaria della varianza crolla drasticamente ($0.5$ nel nostro esempio). Il fattore di correzione deve essere molto più “aggressivo” ($(N+1)/N$) per compensare l’eccesso di peso dato agli elementi statici.

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Sintesi Finale per Davide

Caso	Relazione tra σ2 e Media Varianze Corrette (E[s2])
Con Reintegro (Standard)	$\sigma^2 = E[s^2]$
Senza Reintegro (Tutti i casi)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N-1}{N}$
Con Reintegro (Senza Ordine)	$\sigma^2 = E[s^2] \cdot \frac{N+1}{N}$

Conclusione:

Davide, come vedi, la formula della varianza non è un dogma assoluto, ma un organismo che reagisce al modo in cui interroghi la realtà. Se il tuo universo è “aperto” (reintegro), la varianza campionaria corretta è la verità. Se il tuo universo è “chiuso” (senza reintegro), quella stessa varianza è solo un gradino che ti porta alla quasi-varianza, e devi fare un piccolo passo indietro per ritrovare la varianza descrittiva della popolazione.

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