CORSO SULLE PROBABILITA – STATISTICA

PREMESSA

Un percorso completo di statistica si deve basare su tre pilastri fondamentali:

• Statistica descrittiva
• Calcolo delle probabilità
• Inferenza – test di ipotesi

Presentiamo ora il Corso di Statistica dedicato alle probabilità.

LA NASCITA DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA’

Lo studio sulle probabilità si fa risalire al 24 agosto del 1654, con la lettere che il matematico Pascal scrisse all’amico Piere de Fermat.

Il problema in questione noto come il “gioco incompiuto” poneva la seguente questione:

Se una partita a dadi viene interrotta prima della fine, come deve essere ripartita la posta tra i giocatori?

Questo semplice problema di statistica che aveva messo in ginocchio brillanti menti come Niccolò Tartaglia pose le basi ad una nuova conoscenza matematica, noto come “il calcolo delle probabilità”.

STRUTTURA DEL CORSO SULLE PROBABILITA’

Il corso di statistica sulle probabilità prevede:

Gli esercizi verranno svolti sia a mano, sia con l’utilizzo del programma EXCEL

1 – CALCOLO COMBINATORIO: DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI E PERMUTAZIONI

Il percorso delle probabilità parte dal calcolo combinatorio.

Grazie ad un primo esempio molto semplice:

“estraiamo due palline da un’urna contenente tre palline numerate, quante possibilità di estrazione abbiamo?”

ci rendiamo immediatamente conto che la risposta a questa domanda cambia a seconda che:

• conta l’ordine in cui le palline vengono estratte
• vi è la possibilità o meno di estrarre due volte la stessa pallina

per questo motivo creiamo dei concetti matematici che possano rispondere a queste domande:

• disposizioni (conta l’ordine)
• combinazioni (non conta l’ordine)
• permutazioni (utilizziamo tutti gli elementi)

2 – CONCETTO DI PROBABILITA’ ED ESERCIZI

In questa seconda parte andiamo a definire il concetto di probabilità che si basa sui concetti di:

• spazio campionario (tutti i casi possibili)
• sottoinsieme A di uno spazio campionario
• sottoinsieme complementare ad A

In seguito andremo a svolgere tanti esercizi sulle probabilità che riprendono in mano i concetti visti nel calcolo combinatorio: disposizioni e combinazioni

3 – EVENTI COMPATIBILI E INCOMPATIBILI, DIPENDENTI E INDIPENDENTI

Le cose cominciano a diventare più complesse quando all’interno dello stesso spazio campionario selezioniamo due eventi A e B.

In questo caso questi potrebbero essere: compatibili o incompatibili.

Nel caso ultimo in cui sono compatibili potrebbero essere: indipendenti e dipendenti.

Vedremo nei seguenti casi come calcolare le probabilità di unione ed intersezione.

Il caso più ostico (a livello di impostazione e di calcolo) è certamente quello che riguarda gli eventi che sono compatibili ed dipendenti.

Per questa situazione andremo a costruire una teoria generale che si basa sul teorema di Bayes.

4 – VARIABILI CASUALI DISCRETE

Il programma prosegue con le variabili casuali discrete che possono a loro volta essere distinte in: discrete e continue.

In particolare sono discrete quando assumono determinati specifici valori (nella maggior parte dei casi numeri naturali).

In questo caso andiamo a costruire le funzioni di distribuzione di probabilità e di ripartizione.

Vedremo inoltre come poter calcolare la media, la varianza e la deviazione standard della distribuzione.

Casi molto particolari di variabili casuali discrete sono le distribuzioni:

• binomiale
• Poisson

5 – DISTRIBUZIONE BINOMIALE

Il caso particolare sicuramente più semplice e utilizzato di distribuzione discreta è la distribuzione binomiale.

Essa riguarda n estrazioni indipendenti con due possibili esisti: successo e insuccesso: la probabilità di successo è fissata e pari ad un certo valore (pi-greco).

Possiamo calcolare la probabilità che x di queste n estrazioni abbiano successo

il numero di estrazioni n e la probabilità pi-greco sono detti i parametri della distribuzione

Vedremo anche che risulta molto semplice sia calcolare il valore medio di questa distribuzione che la sua varianza

6 – DISTRIBUZIONE DI POISSON

Un secondo caso molto studiato di variabile casuale discreta è la distribuzione di Poisson.

Questo tipo di distribuzione si utilizza quando abbiamo in una certa unità spazio-temporale (T) un certo esempio si verifica mediamente lambda volte.

In questo caso lambda rappresenta l’unico parametro della distribuzione che funge contemporaneamente da media e da varianza.

La distribuzione di Poisson permette di calcolare la probabilità P(x) che in quella data unità spazio-temporale l’evento preso in considerazione si verifichi esattamente x volte.

7 – VARIABILI CASUALI CONTINUE

In contrapposizione alle variabili casuali discrete troviamo le variabili causali continue.

In questo caso la variabile x presa in considerazione è un carattere quantitativo continuo e può assumere potenzialmente infiniti valori all’interno di un certo range.

Con le variabili casuali continue costruiamo una funzione di densità di probabilità da cui poi integrando otteniamo la relativa funzione di ripartizione.

Anche per il calcolo di media e varianza della distribuzione dobbiamo ricorrere al calcolo degli integrali.

Le variabili continue che sono maggiormente utilizzate sono le distribuzioni:

• uniforme
• normale

la distribuzione uniforme è molto semplice e si basa semplicemente su due parametri a e b che sono ripetitivamente il valore minimo e massimo della variabile casuale x

8 – LA DISTRIBUZIONE NORMALE

Molte variabili casuali in natura si distribuiscono come una distribuzione normale.

questa funzione fu descritta per la prima volta dal matematico francese Abraham de Moivre, amico di Newton, nel 1773.

La forma che tale funzione assume ricorda molto una campana ed è chiamata anche: campana di Gauss o funzione gaussiana.

Il principe dei matematici Johann Friedrich Carl Gauss abbinò la distribuzione normale alla teoria del moto dei corpi celesti.

La distribuzione normale ci dice che data una certa variabile casuale x che segue questa logica presenta una probabilità via via sempre maggiore di assumere un valore prossimo alla media.

I due parametri su cui la normale si basa sono: media e varianza (in alcuni casi si usa la deviazione standard).

In questa sezione del corso vedremo:

• definizione della distribuzione normale
• distribuzione normale standardizzata
• esercizi sul calcolo del percentili associati ai valori di z
• calcolo della probabilità associati ai valori di z
• diversi esercizi su distribuzione normale

La distribuzione normale rappresenta uno dei perni più importanti della statistica delle probabilità, ma in generale anche di quella inferenziale.

La possiamo collegare a tutte le altre distribuzioni di probabilità (discrete o continue) attraverso il teorema del limite centrale

9 – TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE

Il teorema del limite centrale afferma che la media di un gran numero di variabili aleatorie indipendenti e dotate della stessa distribuzione è approssimativamente normale, indipendentemente dalla distribuzione soggiacente.

La definizione è in se molto difficile da comprendere e se ne possono avere diverse versioni a seconda della finalità che vogliamo raggiungere

Provate ad esempio i seguenti due link:

• Wikipedia – distribuzione normale
• Uni Napoli – distribuzione normale
• Uninsubria – distribuzione normale

Fatto sta che il teorema stabilisce una connessione molto forte tra tutti i tipi di distribuzione e quella normale

Due casi molto interessanti sono le approssimazione alla distribuzione normale del caso binomiale e di quello di Poisson.

CARATTERISTICHE DEL CORSO

il corso comprende 47 lezioni registrate con circa 28 ore di lezioni

I calcoli saranno svolti sia a mano che con l’utilizzo del programma EXCEL

Saranno scaricabili i file in PDF ed EXCEL che sono presenti nelle lezioni (a parte i video a lavagna)

Il linguaggio utilizzato è chiaro e più elementare possibile

La durata del corso è di una anno (360 giorni)