ESERCIZI DI MATEMATICA -tratti da Licei scientifici con temi di UNIBG

PREMESSA IMPORTANTE

Il seguente corso di matematica è un ESERCIZIARIO dedicato ad esercizi pratici circa i principali argomenti di MATEMATICA Con la finalità di aiutare lo studente universitario a svolgere il proprio esame di matematica.

In particolare nel corso sono affrontati esercizi di matematica svolti nei licei e all’università

STRUTTURA DEL CORSO

Il corso ESERCIZI DI MATEMATICA è strutturato secondo i seguenti argomenti:

• 00 – Equazioni e disequazioni di vario tipo
• 01 – esercizi sugli insiemi
• 03 – Limiti
• 04 – continuità, discontinuità e asintoti
• 05 – rapporti incrementali
• 06 – derivate
• 07 – rette tangenti
• 08 – punti di non derivabilità, massimi e minimi, concavità e flessi
• 09 – Rolle, Lagrange e Cauchy
• 10 – Hospital
• 12 – Studi di funzione
• 15 – Integrali
• 20 – vettori, matrici e spazi vettoriali
• 30 – funzioni a due variabili

00 – EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI VARIO TIPO

In questa sezione troviamo esercizi vari su tutti i tipi principali equazioni e disequazioni

• equazioni di primo grado e disequazioni di primo grado
• sistemi di disequazioni
• equazioni fratte e fattorizzate
• radicali, argomento ampio
• equazioni di secondo grado e disequazioni di secondo grado
• equazioni irrazionali e disequazioni irrazionali
• equazioni esponenziali e disequazioni esponenziali
• logaritmi e proprietà dei logaritmi
• equazioni logaritmiche e disequazioni logaritmiche

01 – ESERCIZI SUGLI INSIEMI

Qui troviamo un paio di sezioni relative ad esercizi su insiemi numerici che riguardano principalmente i concetti di:

• maggiorante, minorante, estremi, massimi e minimi
• punti interni, esterni, di frontiera e isolati

STUDIO DI FUNZIONI AD UNA VARIABILE REALE

Le sezioni che vanno da 00 a 15 sono dedicate allo studio di funzioni ad una variabile reale

03 – ESERCIZI SUI LIMITI

Negli esercizi sui limiti svolgeremo principalmente:

• limiti forme determinate
• limiti forme indeterminate 0/0
• scala degli infiniti
• forme indeterminate infinito-infinito e infinito su infinito

04 – CONTINUITA’, DISCONTINUITA’ E ASINTOTI

In questa sezione sfruttiamo le conoscenze sui limiti per studiare

• continuità di una funzione
• punti di discontinuità
• asintoti rettilinei

05 – RAPPORTI INCREMENTALI

Nella sezione rapporti incrementali andiamo a volgere esercizi sul calcolo del rapporto incrementale di funzioni ad una variabile reale

nella fase finale vedremo anche come calcolare la derivata partendo dal rapporto incrementale

06 – DERIVATE

le derivate rappresentano il perno attorno al quale è stato costruito il moderno ragionamento scientifico.

In questa sezione svolgiamo esercizi per il calcolo delle derivate applicando le regole di derivazione, in particolare vedremo:

• derivate di funzioni elementali
• derivata di una somma
• derivate di un prodotto
• derivata di una frazione
• derivate di funzioni composte

07 – RETTA TANGENTE AD UNA FUNZIONE

Grazie al concetto di derivata risulta possibile andare a calcolare l’equazione della retta tangente alla funzione in un suo punto

08 – PUNTI DI NON DERIVABILITA’, MASSIMI E MININI, FLESSI E CONCAVITA’

Quando studiamo una la derivata prima di una funzione possiamo individiduare:

• punti di non derivabilità
• crescenza e decrescenza della funzione
• massimi e minimi
• concavità e flessi

09 – ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY

Sempre legati alla derivata prima di una funzione risultano gli esercizi relativi ai teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy.

10 – TEOREMA DI HOSPITAL

Le derivate permettono inoltre di risolvere le forme indeterminate dei limiti: infinito su infinito e zero su zero.

Tutta questa teoria è formalizzata nel teorema di Hospital di cui andremo a svolgere esercizi pratici.

12 – STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO

Qui andiamo ad applicare tutte le nozioni acquisite per effettuare studi di funzioni completo su vari tipi di funzione: polinomiale, fratta, irrazionale, esponenziale e logaritmica

15 – CALCOLO DEGLI INTEGRALI

Successivamente allo studio di funzione viene la parte dedicata agli integrali.

Qui vedremo esercizi su:

• integrazione di funzioni elementari
• integrali di “funzioni composte”
• integrali di funzioni fratte
• integrale per sostituzione
• Integrali per parti

VETTORI MATRICI E SISTEMI LINEARI

Le sezioni da 20 a 22 sono dedicate agli esercizi su vettori, matrici spazi vettoriali e sistemi lineari.

Per quanto riguarda i vettori vedremo

• le principali operazioni
• combinazioni lineari
• vettori linearmente dipendenti e indipendenti

per la parte delle matrici

• Operazioni con le matrici
• Determinante
• Rango
• matrice inversa con i determinanti e con il metodo gauss
• https://andreailmatematico.it/matematica/algebra-lineare/soluzioni-di-un-sistema-lineare-con-le-matrici-quadrate/riduzione a scala di un matrice

Nella parte dei sistemi lineari

• teorema di Rouche-Capelli
• risoluzione con il metodo Cramer
• Metodo della matrice inversa

Questa parte andrebbe integrata con le informazioni del corso ALGEBRA LINEARE

FUNZIONI A DUE VARIABILI

l’ultima parte del corso (sezione 30) si occupa delle funzioni a due variabili.

Gli esercizi su cui si pone maggiormente l’attenzione sono relativi a:

• derivate parziali
• vettore gradiente
• matrice hessiana e calcolo dell’hessiano
• classificazione di massimi, mini e punti di sella
• calcolo del piano tangente

questa parte andrebbe integrata con il corso relativo a FUNZIONI A DUE VARIABILI

LEZIONI CON ASTERISCO*

Le lezioni con i titoli contrassegnati da asterisco sono presenti anche nel corso completo di matematica

NOTE FINALI

Il corso eserciziario di matematica consiste circa di un centinaio di lezioni di durata compresa tra i 20 e i 40 minuti.

Questi corsi saranno aggiornati nel corso del tempo con nuovi temi d’esame e nuove lezioni.

Il corso sarà vostro per circa 1 anno (360 giorni)

Tutti i materiali sono tranquillamente scaricabili in PDF o in EXCEL

Buon divertimento 😉