CREARE UN ISTOGRAMMA

In questo articolo vediamo come si crea un istogramma.

ISTOGRAMMA – DEFINIZIONE

L’istogramma è il tipico grafico che viene utilizzato per rappresentare i caratteri quantitativi continui raggruppati in classi.

ISTOGRAMMA IN TERMINI ASSOLUTI E RELATIVI

A seconda delle frequenze utilizzate per costruire l’istogramma possiamo trovare due tipologie di istogramma.

L’istogramma in termini assoluti e quello in termini relativi.

Quando utilizziamo le frequenze assolute ni allora parliamo di istogramma in termini assoluti.

Mentre se utilizziamo le frequenze relative parliamo di istogramma in termini relativi.

ISTOGRAMMA CON LE FREQUENZE ASSOLUTE

Vediamo per primo come si costruisce un istogramma in termini assoluti.

ESEMPIO 

Prendiamo in esame la seguente situazione.

Intervistiamo 100 automobilisti circa la spesa mensile misurata in euro di gasolio/ benzina:

La prima colonna rappresenta le classi di spesa. 

Quando utilizziamo la parentesi quadra [] intendiamo prendere il valore, mentre con la parentesi tonda () lo rifiutiamo.

Nella seconda  sono rispettivamente  le frequenze assolute ni, che rappresentano il numero di unità statistiche appartenenti alla classe.

La terza colonna rappresenta le frequenze relative  fi che sono ottenute dividendo la relativa frequenza assoluta per N totale: 

$$ f_{ij} = \frac{n_i}{n} \ \ \text{dove} \ n= \sum n_i $$

L’ultima colonna , rappresenta l’ampiezza di classe ai data dalla differenza tra l’estremo massimo e quello minimo di ogni classe:

$$ a_i = x_{{MAX}_i}- x_{{MIN}_i} $$

Ad esempio la prima classe di spesava da 0 a 50 euro , perciò la sua ampiezza è pari a 50.

La quarta classe di spesa va dai 150 ai 250 euro, quindi la sua ampiezza è pari a 100 euro.

RAPPRESENTIAMO LE CLASSI SULL’ASSE X

Come prima bozza di istogramma rappresentiamo un grafico cartesiano dove sull’asse delle x rappresentiamo la dimensione della spesa.

È molto importante in questo caso la proporzione corretta dei dati.

Perciò “tacchettiamo” l’asse delle x come in un righello.

In questo caso è stata una mia scelta fare le “tacchette” lunghe 50.

TROVIAMO LE ALTEZZE ASSOLUTE DELL’ISTOGRAMMA

In secondo luogo andiamo a calcolarci le altezze assolute dell’istogramma.

Queste si ottengono dividendo le frequenze assolute per l’ampiezza della classe.

$$ h_i \ \text{ass} = \frac{n_i}{a_i} $$

Ad esempio per calcolare l’altezza assolute della prima classe [0; 50) dividiamo la numerosità (frequenza assoluta) della prima classe 14 per l’ampiezza della prima classe 50 ottenendo 0,28.

$$ h_1 \ \text{ass} = \frac{n_1}{a_1}= \frac{14}{50}= 0,28 $$

Analogamente per ottenere l’altezza assoluta della quarta classe [150; 250) dividiamo la frequenza di classe 17 per l’ampiezza della classe 100 ottenendo 0,17.

$$ h_4 \ \text{ass} = \frac{n_4}{a_4}= \frac{17}{100}= 0,17 $$

RAPPRESENTAZIONE DELL’ISTOGRAMMA IN TERMINI ASSOLUTI

Ora andiamo a tacchettare anche l’asse delle y in riferimento ai valori delle altezze assolute che abbiamo calcolato.

Come si può vedere nella tabella il valore più alto delle altezze trovate è 0,74 relativo alla classe [100; 150).

Dai qui la decisione (personale) di suddividere in “tacchette” lunghe 0,10.

Adesso vasta che stiamo attenti a dare una rappresentazione veritiera che tenga conto della base e dell’altezza dei rettangoli dell’istogramma.

AREE DEI RETTANGOLI = FREQUENZE ASSOLUTE

Come si può facilmente notare l‘area dei rettangoli presenti nel grafico è pari alla frequenza assoluta.

Proprio da questo coniamo l’espressione “istogramma in termini assoluti“.

Ad esempio l’area del primo rettangolo ha come base l’ampiezza della prima classe 50 e come altezza 0,28 è pari alla frequenza assoluta 14.

$$ A_1 = a_1 \cdot h_1 \ \text{ass} = 50 \cdot 0,28 = 14 = n_1 $$

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ISTOGRAMMA CON LE FREQUENZE RELATIVE

L’asse delle x rimane invariato e rappresenta la spesa.

TROVIAMO LE ALTEZZE RELATIVE DELL’ISTOGRAMMA

In secondo luogo andiamo a calcolarci le altezze assolute dell’istogramma.

Queste si ottengono dividendo le frequenze relative per l’ampiezza della classe.

$$ h_i \ \text{rel} = \frac{f_i}{a_i} $$

Ad esempio per calcolare l’altezza assolute della prima classe [0; 50) dividiamo la frequenza relativa  della prima classe 0,14 per l’ampiezza della prima classe 50 ottenendo 0,028.

$$ h_1 \ \text{rel} = \frac{f_1}{a_1} = \frac{0,14}{50} = 0,0028 $$

Analogamente per ottenere l’altezza relativa della quarta classe [150; 250) dividiamo la frequenza relativa di classe 0,17 per l’ampiezza della classe 100 ottenendo 0,0017.

$$ h_4 \ tex{rel} = \frac{f_4}{a_4} = \frac{0,17}{100} = 0,0017 $$

RAPPRESENTAZIONE DELL’ISTOGRAMMA IN TERMINI RELATIVI

Ora andiamo a tacchettare anche l’asse delle y in riferimento ai valori delle altezze relative che abbiamo calcolato.

Come si può vedere nella tabella il valore più alto delle altezze trovate è 0,0074 relativo alla classe [100; 150).

Dai qui la decisione (personale) di suddividere in “tacchette” lunghe 0,0010.

Adesso basta che stiamo attenti a dare una rappresentazione veritiera che tenga conto della base e dell’altezza dei rettangoli dell’istogramma.

AREE DEI RETTANGOLI = FREQUENZE RELATIVE

Anche in questo caso si può facilmente notare l‘area dei rettangoli presenti nel grafico è pari alla frequenza relativa.

Proprio da questo coniamo l’espressione “istogramma in termini relativi“.

Ad esempio l’area del primo rettangolo ha come base l’ampiezza della prima classe 50 e come altezza 0,0028 è pari alla frequenza relativa 0,14.

$$ A_1 = a_1 \cdot h_1 \ \text{rel} = 50 \cdot 0,0028 = 0,14 = f_1 $$

DOMANDE SUGGERITE

È possibile sintetizzare maggiormente il grafico riportato?

Come possiamo calcolare mediane e quartili partendo da una distribuzione di classe

Come possiamo calcolare media e varianza con una distribuzione di classe?

È possibile studiare l’asimmetria del grafico?

VIDEO SULL’ISTOGRAMMA – ALTRO ESEMPIO

In questo video è mostrato un ulteriore esempio su come costruire un istogramma

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