I PRODOTTI NOTEVOLI

I prodotti notevoli sono dei particolari prodotti polinomiali, che seguono delle regole di risoluzione più semplici.

Per ricavare queste regole andiamo semplicemente a moltiplicare i polinomi tra di loro.

I principali prodotti notevoli che studiamo a scuola sono:

• Somma per differenza
• Quadrato di binomio
• Cubo di binomio
• Potenza di un binomio
• Quadrato di un trinomio
• Potenza di un polinomio
• Binomio per il falso quadrato

SOMMA PER DIFFERENZA

Il primo prodotto notevole che andiamo a presentare e dimostrare è la somma per la differenza.

La regola per risolvere una somma per una differenza è:

$$ (A+B) \cdot (A-B) = A^2 -B^2 $$

DIMOSTRAZIONE

Se consideriamo due generici elementi A e B, la loro somma S è pari a:

$$ S = A+B$$

Mentre la loro differenza D è pari a:

$$ D= A-B $$

Se facciamo la somma per la differenza possiamo scrivere:

$$ S \cdot B = (A+B) \cdot (A-B) $$

Si tratta come vedete di una moltiplicazione tra polinomi, e quindi la risolviamo moltiplicando ogni termine (monomio) del primo per ogni termine del secondo:

$$ A^2-AB+AB-B^2 $$

Come vedete i due termini centrali si semplificano e il risultato ottenuto è pari a:

$$ A^2-B^2 $$

Quindi ora abbiamo la nostra regola valida per la somma per differenza:

$$ (A+B) \cdot (A-B) = A^2 -B^2 $$

Una somma per una differenza da come risultato una differenza di quadrati, tra il termine che non cambia di segno (A) e il termine che cambia di segno (B).

Al quadrato del termine che non cambia di segno associamo il +, mentre al quadrato del termine che cambia di segno associamo il meno (–).

ESEMPI NUMERICI DI SOMMA PER DIFFERENZA

Per comprendere la potenza in ambito numerico di questa regola pensiamo ai seguenti esempi:

$$ 23 \cdot 17 \quad 28 \cdot 32 \quad 74 \cdot 66 $$

Se vi chiedessero di fare al volo una di queste operazioni scommetto che potreste essere presi per un attimo dal panico.

Ma grazie alla somma per differenza queste operazioni possono diventare assai più semplici.

PRIMO ESEMPIO

Consideriamo il primo esempio:

$$ 23 \cdot 17 $$

Potremo ad esempio leggerli come la somma e la differenza dei numeri 20 e 3:

$$ 23 \cdot 17 = (20+3) \cdot (20-3) $$

A questo punto applichiamo la regola

  e otteniamo:

$$ (20+3) \cdot (20-3) = 20^2-3^2 $$

Che diventa di gran lunga più semplice per chi conosce i quadrati basilari:

$$ (20+3) \cdot (20-3) = 20^2-3^2 = 400 -9 = 391$$

SECONDO ESEMPIO

Anche per il secondo esempio:

$$ 28 \cdot 32 $$

Possiamo usare la stessa regola, leggendoli come la somma e la differenza di 30 e 2

$$ 28 \cdot 32 = (30+2)\cdot (30-2) = 30^2 -2^2 = 900 -4 = 896 $$

Semplice no 😉

TERZO ESEMPIO

Seguiamo tutta la stessa procedura per il terzo esempio:

$$ 74 \cdot 66 = (70+4)\cdot (70-4) = 70^2 -4^2 = 4.900 -16 = 4.884 $$

ESEMPI CON I POLINOMI

Facciamo alcuni  esempi anche con i polinomi:

PRIMO ESEMPIO

Partiamo da un caso basilare:

$$ (2a-b) \cdot (2a+b) = $$

Applichiamo ala formula 

$$ (2a)^2 -b^2 = 4a^2 -b^2 $$

SECONDO ESEMPIO

Prendiamo in esame il seguente testo:

$$ \begin{array}{c} (3x-4z)(3x+4z)= \\ (3x)^2-(4z)^2 = \\ 9x^2-16z^2 \end{array}$$

TERZO ESEMPIO

Inseriamo ora anche qualche frazione:

$$ \begin{array}{c} (\frac{3}{5} xy + \frac{7}{11} yz^2)(\frac{3}{5} xy – \frac{7}{11} yz^2)= \\ (\frac{3}{5} xy)^2-(\frac{7}{11} yz^2)^2 = \\ \frac{9}{25} x^2y^2 -\frac{49}{121} y^2z^4 \end{array}$$

QUADRATO DI UN BINOMIO

Il secondo prodotto notevole che andiamo a vedere è il quadrato di un binomio.

La regola generale per lo sviluppo di un quadrato di binomio è:

$$ (A+B)^2 = A^2 +2AB+B^2 $$

ATTENZIONE AGLI ERRORI!!!

Uno degli errori più frequenti quando ci si imbatte la prima volta in un oggetto simile è pensare (e scrivere) che si risolve facendo il quadrato del primo più il quadrato del secondo.

$$ (A+B)^2 \color{red}{\ne} A^2+B^2 $$

Evidenziamo il rosso il simbolo di diverso.

Per capire il perché consideriamo il quadrato del numero 5 che siamo tutti d’accordo essere 25.

$$ 5^2 = 25 $$

Il numero 5 può essere letto come la somma di 2 e 3.

$$ 5=2+3$$

Dunque possiamo anche scrivere:

$$ 5^2 = (2+3)^2 $$

Facendo la somma tra il quadrato di 2 e il quadrato di 3 di certo non otteniamo 25, bensì 13.

$$ 5^2 = (2+3)^2 \color{red}{\ne} 2^2 +3^2 = 4+9= 13$$

Risulta quindi necessario aggiungere un ulteriore tassello a questo risultato parziale.

DIMOSTRAZIONE DEL QUADRATO DI BINOMIO

Il quadrato di un binomio può essere letto come (A+B) moltiplicato per se stesso:

$$ (A+B)^2 = (A+B) \cdot (A+B) $$

Facendo la moltiplicazione tra i due polinomi otteniamo:

$$ = A^2 \color{blue}{+AB +BA}+B^2 $$

Ho evidenziato proprio i tasselli mancanti a cui riferivamo prima.

Ora scrivere AB oppure scrivere BA è la stessa cosa, dal momento che il prodotto è commutativo.

Dunque possiamo riscrivere l’espressione come:

$$ = A^2 \color{blue}{+AB +AB}+B^2 $$

I due termini centrali sono simili ed in quanto tali li sommiamo, ottenendo:

$$ = A^2 \color{blue}{+2AB }+B^2 $$

Ed ecco che abbiamo trovato la regola per il quadrato di binomio:

Per fare il quadrato di un binomio facciamo la somma dei quadrati dei termini più il loro doppio prodotto.

ESEMPI NUMERICI PER IL QUADRATO DI BINOMIO

Vediamo qualche esempio numerico per capre l’importanza di questa formula:

$$ 23^2 \quad 48^2 $$

ESEMPIO 1

Se ci trovassimo di fronte alla richiesta di calcolare al volo il quadrato di 23 molti di noi entrerebbero nel pallone

$$ 23^2 $$

Sapendo che il 23 può essere letto come la somma di 20 e 3 le cose cominciano a diventare più semplici:

$$ 23^2 = (20+3)^2 $$

Applicando la regola appena vista, che possiamo scrivere anche come:

$$ (A+B)^2 = A^2+2AB+B^2= A^2+B^2+2AB $$

Procediamo al calcolo:

$$ 23^2 = (20+3)^2 = 20^2+3^2+ 2 \cdot 20 \cdot 3 = 400+9+120 = 529$$

ESEMPIO 2

Possiamo vedere il 48 come la somma di 40 e 8, o meglio ancora come la differenza tra 50 e 2, quindi:

$$ 48^2 = (50-2)^2 = 50^2+2^2+2 \cdot 50 \cdot (-2) = 2.500 +4 -200 = 2.304 $$

ESEMPI POLINOMIALI DI QUADRATO DI BINOMIO

Svolgiamo ora degli esempi con i polinomi:

$$ (2a+b)^2 \quad (3x-4z)^2 \quad (\frac{2}{5} xy – \frac{5}{3} z )^2 $$

PRIMO ESEMPIO

Calcoliamo il seguente quadrato di binomio:

$$ \begin{array}{c} (2a+b)^2 \\= (2a)^2 +b^2 +2 \cdot (2a) \cdot (b) = \\ = 4a^2 +b^2 +4ab \end{array}$$

SECONDO ESEMPIO

Procediamo ora con il secondo esempio:

$$ \begin{array}{c} (3x-4z)^2 \\= (3x)^2 +(-4z)^2 +2 \cdot (3x) \cdot (-4z) = \\ = 9x^2 +16z^2 -24xz \end{array}$$

TERZO ESEMPIO

Nel terzo esempio inseriamo anche qualche frazione:

$$ \begin{array}{c} (\frac{2}{5} xy – \frac{5}{3} z )^2 \\= (\frac{2}{5} xy)^2 +(-\frac{5}{3} z)^2 +2 \cdot (\frac{2}{5} xy) \cdot (-\frac{5}{3} z) = \\ = \frac{4}{25} x^2y^2 +\frac{25}{9} z^2 -\frac{4}{3} xyz \end{array}$$

CUBO DI BINOMIO

Passiamo ora al terzo prodotto notevole, il cubo di binomio.

La regola per il su sviluppo è:

$$(A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2 +B^3$$

DIMOSTRAZIONE DEL CUBO DI BINONOMIO

Possiamo vedere il cubo di un binomio in questa forma:

$$ (A+B)^3 $$

Una quantità elevata alla terza altri non è che una quantità elevata alla seconda moltiplicata per la quantità, dunque:

$$(A+B)^3 = (A+B)^2 \cdot (A+B)$$

Applichiamo adesso la regola del quadrato di binomio che abbiamo imparato prima:

$$ (A^2 +2AB +B^2) \cdot (A+B)$$

Andiamo ora a fare la moltiplicazione dei due polinomi:

$$ A^3 +A^2B+2A^2B+2A^2B +2AB^2+2AB^2 +B^3$$

Infine non ci resta che sommare i termini simili:

$$A^3+3A^2B+3AB^2 +B^3$$

Abbiamo ottenuto in questo modo la regola per il cubo di binomio:

$$(A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2 +B^3$$

Per fare il cubo di un binomio andiamo a sommare il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo e il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo.

ESEMPI DI CUBO DI BINOMIO

Facciamo anche qui qualche esempio:

$$ (2a+b)^3 \quad (3x-4z)^3 \quad \left( \frac{2}{5}xy – \frac{5}{3}z \right)^3 $$

PRIMO ESEMPIO:

Vediamo insieme il primo esempio:

$$ \begin{array}{c} (2a+b)^3 = \\ (2a)^3 +3 \cdot (2a)^2 \cdot b + 3 \cdot (2a) \cdot b^2 +b^3 = \end{array} $$

Facciamo lo step intermedio per il calcolo dei quadrati:

$$ 8a^3+12a^4b +6ab^2+b^3 $$

SECONDO ESEMPIO

Procediamo ora con il secondo esempio:

$$ \begin{array}{c} (3x-4z)^3 = \\ (3x)^3 +3 \cdot (3x)^2 \cdot (-4z) + 3 \cdot (3x) \cdot (-4z)^2 +(-4z)^3 =\\ 27x^3 + 3 \cdot 9x^2 \cdot (-4z) +3 \cdot (3x) \cdot \ 6z^2 -64z^3 = \\ 27x^3 -108x^2z +144xz^2 -64z^3 \end{array} $$

TERZO ESEMPIO

Ed ora proponiamo il solito terzo esempio comprensivo di frazioni:

$$\left( \frac{2}{5}xy – \frac{5}{3}z \right)^3 = \\ \left( \frac{2}{5}xy \right)^3 +3 \cdot \left( \frac{2}{5}xy \right)^2 \cdot \left( – \frac{5}{3}z \right)+ 3 \cdot \left( \frac{2}{5}xy \right) \cdot \left( – \frac{5}{3}z \right)^2 + \left( – \frac{5}{3}z \right) ^3 = \\ \frac{8}{125}x^3y^3 + 3 \cdot \left( \frac{4}{25} \right) x^2y^2 \cdot \left( – \frac{5}{3}z \right) + 3 \cdot \left( \frac{2}{5}xy \right) \cdot \left( \frac{25}{9} \right)z^2 – \frac{125}{27}z^3 = \\ \frac{8}{125}x^3y^3 – \frac{4}{5}x^2y^2 z + \frac{10}{3}xyz^2 – \frac{125}{27}z^3 $$

POTENZA DI UN BINOMIO

Abbiamo appena visto come si calcola il quadrato e il cubo di un binomio.

Ora potrebbe essere lecito chiedersi come si risolve in generale una potenza di un binomio.

Ci riferiamo quindi ad un’espressione nella forma:

$$ (A+B)^n $$

Certamente i casi più semplici sono quelli che vanno da n che vale zero a n che vale 3, che sono in parte quelli che abbiamo trattato.

Quando n vale zero, sappiamo che un qualsiasi numero (eccetto zero) elevato alla zero fa 1:

$$ (A+B)^0 = 1 $$

Mentre quando eleviamo una quantità alla 1, il risultato è ancora quella quantità, quindi:

$$ (A+B)^1 = A+B $$

I casi di n=2 e n=3 li abbiamo appena trattati:

$$ (A+B)^2 = A^2 +2AB+B^2 \\ (A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2 +B^3 $$

È vero anche che potremmo arrivare al risultato di n=4, facendo il seguente ragionamento:

$$ (A+B)^4 = (A+B)^3 (A+B) $$

Che sviluppando i conti sarebbe:

$$\begin{array}{ccccc}&=&(A^3 +3A^2B+3AB^2 +B^3)(A+B) &=& \\ &=& A^4 +3A^3B+3A^2B^2 +AB^3+A^3B +3A^2B^2+3AB^3 +B^4 &=& \\ &=& A^4+4A^3B + 6A^2B^2 +4AB^3+B^4 \end{array}$$

La risoluzione di questo tipo di potenza può essere ricondotto al triangolo detto triangolo di Tartaglia.

Una procedura ancora più immediata è riconducile a quelli che si definiscono i coefficienti binomiali di Newton.

Dedicheremo comunque ad un blog specifico la questione della potenza di un binomio.

Qui sotto mi limito a riportarne la formula:

$$ (A+B)^n = \sum_{x=0}^n \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} \cdot A^{n-x} \cdot B^x $$

RIPRENDITI LE BASI MATEMATICHE

Comincia il tuo percorso matematico dalle basi!

QUADRATO DI TRINOMIO

Un altro prodotto notevole che vediamo è il quadrato di trinomio , che presenta la seguente formula:

$$(A+B+C)^2= A^2+B^2+C^2 +2AB+2BC+2CA$$

Sommiamo i quadrati dei tre termini a cui aggiungiamo tutti i doppi prodotti possibili:

Per ricavare questa formula basta moltiplicare il trinomio per se stesso:

$$ (A+B+C) \cdot (A+B+C)= \cdots $$

Provate a farlo come esercizio.

ESEMPIO:

Proviamo a sviluppare il quadrato del seguente binomio:

$$ (2x-y+3z)^2= \\ (2x)^2+(-y)^2+(3z)^2 +2 \cdot (2x) \cdot (-y) +2 \cdot (2x) \cdot (3z) +2 \cdot(-y) \cdot(3z) = \\ 4x^2 +y^2 +9z^2 -4xy+12xz-6yz $$

POTENZA DI UN POLINOMIO QUALSIASI

Questa regola riassume tutti i casi possibili di potenza di un generico polinomio 

Tuttavia è abbastanza tortuosa e per chi di voi è alle prime armi con la matematica lasciatela perdere.

Vi riporto solo la regola generale:

Sia:

$$a_1 +a_2 + \cdots +a_h $$

Un polinomio di h termini.

La sua potenza n-esima è:

$$ (a_1 +a_2 + \cdots +a_h)^n $$

E viene calcolata come segue:

$$ (a_1 +a_2 + \cdots +a_h)^n = n! \sum \frac{a_1^{k_1}a_2^{k_2} \cdots a_h^{k_h}}{k_1! k_2! \cdots k_h!} $$

Dove

$$ (k_1, k_2, \dots, k_h) $$

 sono tutte le h-ple composte da numeri interi non negativi tali che:

$$ \sum_{i=1}^h = n $$

In tutto il numero degli addendi della formula (che coincide con il numero delle h-ple) ha un numero di addendi pari a:

$$ \begin{pmatrix} n+h-1 \\ n \end{pmatrix}\ \text{addendi} $

Questa regola può essere applica ad esempio al cubo di un binomio ad esempio:

$$ (a_1+a_2+a_3)^3 =$$

Ci saranno in totale:

$$ \begin{pmatrix} 3+3-1 \\ 3 \end{pmatrix}=10\ \text{addendi} $$

$$ 3! \cdot \left( \frac{a_1^0 \cdot a_2^0 \cdot a_3^3}{0!0!3!} + \frac{a_1^0 \cdot a_2^1 \cdot a_3^2}{0!1!2!} + \frac{a_1^0 \cdot a_2^2 \cdot a_3^1}{0!2!1!} + \frac{a_1^0 \cdot a_2^3 \cdot a_3^0}{0!3!0!} + \frac{a_1^1 \cdot a_2^0 \cdot a_3^2}{1!0!2!} + \\ + \frac{a_1^1 \cdot a_2^1 \cdot a_3^1}{1!1!1!} + \frac{a_1^1 \cdot a_2^2 \cdot a_3^0}{1!2!0!} + \frac{a_1^2 \cdot a_2^0 \cdot a_3^1}{2!0!1!} + \frac{a_1^2 \cdot a_2^1 \cdot a_3^0}{2!1!0!} + \frac{a_3^0 \cdot a_2^0 \cdot a_3^0}{3!0!0!} \right) = $$

Sviluppando i conti otteniamo:

$$ a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 + 3 \cdot (a_1 a_2^2 + a_1^2 a_2 + a_1 a_3^2 + a_1^2 a_3 + a_2 a_3^2 + a_2^2 a_3 ) + 6 a_1 a_2 a_3 $$

Semplice no?.

BINOMIO PER FALSO QUADRATO

L’ultima avventura di questo blog è rivolta ad un altro prodotto notevole: il binomio per il suo falso quadrato.

$$ (A+B)\cdot (A^2 -AB +B^2) = A^3 +B^3 $$

Di sicuro a molti di noi sfugge il concetto di falso quadrato.

DIMOSTRAZIONE

Se consideriamo un generico binomio:

$$ A+B $$

Sappiamo che il suo quadrato è pari a:

$$ A^2 +2AB +B^2 $$

Il suo falso quadrato è invece:

$$ A^2 \color{blue}{-AB} +B^2 $$

Come potete notare in posizione centrale, anziché il doppio prodotto è presente l’anti-prodotto.

Questo non è altro che l’opposto del prodotto dei due termini.

Ora se moltiplichiamo il binomio per il suo falso quadrato:

$$ (A+B)\cdot (A^2 -AB +B^2)$$

Otteniamo:

$$ A^3 -A^2B+AB^2 +A^2B-AB^2+B^3 = A^3 +B^3 $$

Moltiplicando un binomio per il suo falso quadrato otteniamo una somma di cubi.

ESEMPI DI BINOMIO PER FALSO QUADRATO

Vediamo un pio di esempi:

ESEMPIO 1

$$ (2x+y) \cdot (4x^2-2xy+y^2) $$

Riconosciamo immediatamente che si tratta di un binomio:

$$2x+y$$

Per il suo falso quadrato:

$$ 4x^2-2xy+y^2$$

In quanto quest’ultimo presenta la somma dei quadrati dei due termini del binomio:

$$ (2x)^2 +y^2 = 4x^2+y^2$$

 e dell’anti prodotto tra i termini:

$$ -(2x) \cdot y = -2xy $$

Dunque otteniamo la somma dei cubi dei termini del binomio:

$$ (2x+y) \cdot (4x^2-2xy+y^2)= \\(2x)^3+y^3 = 8x^3+y^3 $$

ESEMPIO 2

$$ \left( \frac{1}{3}a-3b \right) \cdot \left ( \frac{1}{9} a^2 +ab +9b^2 \right) $$

Riconosciamo immediatamente che si tratta di un binomio:

$$ \frac{1}{3}a-3b $$

Per il suo falso quadrato:

$$ \frac{1}{9} a^2 +ab +9b^2 $$

In quanto quest’ultimo presenta la somma dei quadrati dei due termini del binomio:

$$ \left( \frac{1}{3} a \right)^2 + (-3b)^2 = \frac{1}{9} a^2 +9b^2 $$

 e dell’anti prodotto tra i termini:

$$ – \left( \frac{1}{3} a \right) \cdot (-3b) = +ab $

Dunque otteniamo la somma dei cubi dei termini del binomio:

$$ \left( \frac{1}{3}a-3b \right) \cdot \left ( \frac{1}{9} a^2 +ab +9b^2 \right)= \\ \left( \frac{1}{3} a \right)^3 + (-3b)^3 = \frac{1}{27}a^3 -27b^3 $$

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda scrivila sotto nei commenti.

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