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1-Dai concetti base alle prime equazioni

MOLTIPLICAZIONE TRA POLINOMI

By 15 Marzo 2022Gennaio 10th, 2024No Comments

Per fare la moltiplicazione tra polinomi andiamo a moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio

MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO

L’esempio più semplice di la moltiplicazione polinomiale è quello che riguarda la moltiplicazione tra un monomio e un polinomio.

Per fare questa operazione moltiplichiamo il monomio per ogni termine del polinomio.

Per indicare in maniera molto semplice questa operazione possiamo usare la scrittura:

 dove A indica il monomio, mentre (B+C-D) indica il polinomio

PRIMO ESEMPIO

Consideriamo il monomio:

 e il polinomio:

Andiamo ora a fare il monomio per il polinomio:

Moltiplichiamo adesso il monomio per ogni termine del polinomio:

Data la semplicità dei conti in gioco possiamo anche direttamente scrivere:

GRADO DEL POLINOMIO RISULTANTE

In questo esempio siamo andati a moltiplicare un monomio di grado 1:

Per un polinomio di grado 3:

Il grado del polinomio risultante:

 risulta pari a 4, ovvero alla somma dei gradi dei due fattori.

In generale se abbiamo due polinomi, il primo dei quali con grado n ed il secondo con grado m

Dove:

Il prodotto tra i due polinomi ha grado pari a n+m.

con

IL PRODOTTO È COMMUTATIVO

Ritornando al primo esempio di prodotto tra:

Possiamo anche fare il prodotto:

 e il risultato è sempre lo stesso poiché moltiplichiamo ogni termine del polinomio per il monomio:

PRODOTTO TRA DUE POLINOMI

Per fare il prodotto di due polinomi andiamo a moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.

Possiamo indicare questa operazione con questa scrittura molto semplice e comprensibile:

SECONDO ESEMPIO

Prendiamo i seguenti due polinomi:

Facciamo ora il prodotto dei due polinomi:

Per fare il prodotto moltiplichiamo ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio:

Abbiamo evidenziato con colori diversi i termini del primo polinomio di modo che poniate attenzione a questi.

Possiamo riassumere questa procedura come una sorta di filastrocca:

Prendiamo il primo termine del primo polinomio e lo moltiplichiamo per tutti i termini del secondo polinomio.

Più

Prendiamo il secondo termine del primo polinomio e lo moltiplichiamo per tutti i terminidel secondo polinomio

Più

Prendiamo il terzo termine del primo polinomio e lo moltiplichiamo per tutti i termini del secondo polinomio

Per fare un esempio temporale immaginate che il primo polinomio rappresenti le ore, mentre il secondo polinomio i minuti.

Dobbiamo associare ogni ora ad ogni minuto se vogliamo descrivere tutti tempi possibili.

Ovviamente data che il prodotto è commutativo potete decidere di focalizzare l’attenzione sui termini del secondo polinomio:

La filastrocca che descrive la procedura in questo caso diventa:

Prendiamo tutti i termini del primo polinomio e lo moltiplichiamo per il primo termine del secondo polinomio.

Più

Prendiamo tutti i termini del primo polinomio e lo moltiplichiamo per il secondo terminedel secondo polinomio.

Più

Prendiamo tutti i termini del primo polinomio e lo moltiplichiamo per il terzo termine del secondo polinomio.

E così via…

TERZO ESEMPIO

Andiamo ora a moltiplicare un binomio per un trinomio:

Consideriamo i seguenti due polinomi:

Impostiamo il loro prodotto:

Moltiplichiamo ora ogni termine del primo per ogni termine del secondo:

Ora andiamo a fare la somma algebrica dei termini simili:

Riordinando rispetto alla lettera a e a parità di grado rispetto al grado complessivo.

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QUARTO ESEMPIO

Vediamo ora il caso di un trinomio per un trinomio e scriviamolo direttamente:

Come al solito andiamo a moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo.

Ora sommiamo i termini simili riordinando il polinomio dal grado maggiore:

Ora non ci resta che fare le somme nelle parentesi e scrivere il nostro risultato:

NUMERO DI TERMINI DEL PRODOTTO

Per fare il prodotto dobbiamo moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.

Il numero di elementi che abbiamo in seguito a tale operazione è pari al prodotto tra gli elementi del primo per gli elementi del secondo.

Se quindi moltiplichiamo un polinomio con n elementi per un polinomio con m elementi il al termine dell’operazione di prodotto avremo nxm elementi.

Ovviamente poi di questi andremo a sommare quelli simili.

QUINTO ESEMPIO

Vediamo ora cosa succede quando moltiplichiamo tre polinomi:

Scriviamo il seguente prodotto di polinomi:

Sappiamo che il prodotto gode della proprietà associativa, dunque se abbiamo tre termini generici A, B e C che si moltiplicano possiamo associare il prodotto dei primi due e moltiplicarlo per il terzo.

Ritornando al caso che stiamo analizzando, scriviamo:

Svolgiamo dunque il prodotto dei primi due fattori:

Quindi ora possiamo moltiplicare questo polinomio per il terzo polinomio:

La proprietà associativa funziona anche se associamo il secondo e il terzo fattore:

In questo caso avremo scritto:

Occupiamoci dunque del prodotto tra il secondo e il terzo polinomio:

Ormai la procedura la sappiamo a memoria:

Anche se non ci sono termini simili è sempre meglio ordinarli

A questo punto non ci resta che moltiplicare il primo termine del prodotto originario per questo polinomio:

Sommando i termini similiannullandoli in questo caso in quanto opposti otteniamo lo stesso risultato:

LE ALTRE OPERAZIONI CON I POLINOMI

Con i polinomi si possono fare molte altre operazioni:

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