Il raccoglimento a fattor parziale è una procedura di scomposizione polinomiale che suddivide il testo in parti raccogliendone le parti comuni.
Questa procedura risulta vincente se al termine di questi raccoglimenti emergono parti comuni che andranno infine raccolte.
Questo tipo di scomposizione è il secondo in ordine che va verificato quando è già stato fatto o non è possibile riconoscere nel polinomio un fattore comune.
DINAMICA DEL RACCOGLIMENTO A FATTOR PARZIALE
Vediamo meglio di capire più praticamente come funziona la scomposizione a fattor parziale.
Consideriamo il seguente polinomio:
Tra i primi due termini vi è in comune una a, mentre tra gli ultimi due una b.
Raccogliamo ora a fattor parziale, ovvero la a tra i primi due e la b tra gli ultimi due.
Tale raccoglimento ha prodotto gli effetti desiderati, ovvero ha creato due parti di testo con la stessa parte in comune: (x+y).
Non ci resta ora che raccogliere a fattor comune questa parte:
Chiaramente possiamo anche scrivere:
Dal momento che il prodotto è commutativo.
NUMERO PARI DI TERMINI
Come è possibile intuire il polinomio di partenza deve presentare un numero pari di terminiper poter applicare la scomposizione a fattor parziale.
La cosa quindi può risultare relativamente semplice quando il numero di termini è relativamente basso.
Ricordiamo che il minimo dei termini ammessi è pari a quattro.
ESEMPI DI SCOMPOSIZIONE A FATTOR PARZIALE CON 4 TERMINI
Partiamo con un paio di esempi per la scomposizione a fattor parziale di un polinomio con quattro termini:
ESEMPIO 1 – RACCOGLIMENTO A FATTOR PARZIALE
PRIMA STRATEGIA
Il modo certamente più intuitivo per procedere è separare il testo tra i primi due termini e gli ultimi due.
Tra i primi due termini raccogliamo a fattor comune la x.
Mentre nella seconda coppia raccogliamo 2y.
Attenzione che non resta zero ma uno come secondo numero!!!
Ora non ci resta che raccogliere il fattore comune ai due blocchi di testo: (x+1)
SECONDA STRATEGIA
Per risolvere la scomposizione era possibile agire con una seconda strategia.
SECONDA STRATEGIA
Per risolvere la scomposizione era possibile agire con una seconda strategia.
Rileggiamo un attimo il testo di partenza:
Tra il primo e il terzo termine raccogliamo la x.
Mentre tra il secondo e il quarto (che non hanno niente in comune) un 1.
Ora raccogliamo a fattor comune il fattore (x+2y)
Per la proprietà commutativa del prodotto le due scomposizioni sono identiche.
ESEMPIO 2- RACCOGLIMENTO A FATTOR PARZIALE
STRATEGIA 1
Raccogliamo tra il primo e il secondo termine 2a2
E tra il terzo e il quarto termine –3b2
Ora passiamo al fattore comune creatosi: (x+2y)
STRATEGIA 2
Raccogliamo tra il primo e il terzo termine la x
E tra il secondo e il quarto termine +2y
RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE E A FATTOR PARZIALE
Capita in certi esercizi che siano presenti entrambi i due principali raccoglimenti.
Quello a fattor comune e quello a fattor parziale.
Ovviamente per una questione di ordine meglio sempre procedere con il primo.
Vediamolo con un esempio e consideriamo il polinomio:
Raccogliamo a fattore comune (raccoglimento a fattor totale):
Il testo perciò viene scritto in questo modo:
Ora focalizziamo l’attenzione unicamente in quello che c’è all’interno della parentesi:
Raccogliamo la b tra i primi due termini
E –2c tra gli ultimi due
Ora possiamo scrivere la scomposizione finale del polinomio iniziale:
SCOPRI I CORSI DI MATEMATICA
Se stai preparando l’esame di matematica e vuoi una preparazione completa, scopri i corsi di matematica per completare al meglio la tua conoscenza!
ESEMPI DI SCOMPOSIZIONE A FATTOR PARZIALE CON 6 TERMINI
Vediamo ora un esempio un po’ più complesso di raccoglimento a fattor parziale, che utilizza un polinomio con sei termini (esanomio).
Anche in questo caso vediamo entrambe le strategie.
Consideriamo il seguente polinomio:
STRATEGIA 1
Tra i primi tre termini raccogliamo la a, mentre tra gli ultimi tre il –7b
STRATEGIA 2
Tra il primo e il quarto raccogliamo 2x
tra il secondo e il quinto –3y
Infine tra il terzo e il sesto –5z
CASI ANOMALI DI RACCOGLIMENTO A FATTORI PARZIALE
In matematica esistono delle strutture algebriche sulle quali apparentemente non si possono applicare certe procedure.
Però se riusciamo a formattarle in un certo modo risulta possibile applicarle.
Consideriamo ad esempio i due seguenti trinomi:
Risulta qui evidente l’impossibilità di applicare il metodo del raccoglimento a fattor parziale.
Questo poiché il numero di termini dei polinomi è dispari, e noi abbiamo sempre bisogno di coppie per applicare il metodo.
ESEMPIO 1
Prendiamo in mano il primo dei due trinomi:
Proviamo a riscrivere il termine centrale –x in questo modo
(Badate che abbiamo solo modificato la forma ma non la sostanza)
Ora raccogliamo la x tra i primi due e il +2 tra gli ultimi due
ESEMPIO 2
Riscriviamo anche qui il termine centrale in questo modo:
HAI QUALCHE DOMANDA???
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
SCOPRI I CORSI DI MATEMATICA
Se stai preparando l’esame di matematica e vuoi una preparazione completa, scopri i corsi di matematica per completare al meglio la tua conoscenza!
