LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI

La scomposizione dei polinomi è una procedura matematica mediante la quale si riscrive un certo polinomio come una moltiplicazione di potenze di polinomi primi tra di loro.

Per polinomi ad una incognita potremmo anche scrivere

$$ P(x) = [p_1 (x)]^{n_1} \cdot [p_2 (x)]^{n_2} \cdot \cdots \cdot [p_k (x)]^{n_k}$$

\begin{array}{l} P(x) \text{ è un qualsiasi polinomio}\\ p_1(x), p_2(x) , \dots , p_k(x) \text{ sono polinomi primi} \\ n_1, n_2 , \dots , n_k \text{ sono esponenti naturali} \end{array}

Tale procedure vie anche detta fattorizzazione polinomiale in fattori primi.

Ne sono esempi:

\begin{array}{c} x^3+2x^2 = x^2(x+1) \\ x^2-4 = (x+2)(x-2) \\ x^2+x-6 = (x+3)(x-2) \end{array}

La scomposizione dei polinomi risulta molto utile per:

• Determinare minimi comuni multipli (mcm) e massimi comuni divisori (MCD) tra polinomi
• Semplificare frazioni algebriche
• Fare la somma di frazioni algebriche

In generale la scomposizione serve ad indagare l’essenza fondamentale di un polinomio, oltre che riscriverlo in forma unificata.

In questo articolo vedremo:

• Cosa si intende per fattore primo
• Quali sono i principali di tipi di scomposizione di polinomi
• Principali utilizzi della procedura

I FATTORI PRIMI

I fattori primi sono gli elementi fondamentali della matematica.

Tutti gli elementi della matematica possono essere riscritti in termini di fattori primi.

Siano essi numeri, monomi, polinomi, radicali, frazioni, o altre strutture matematiche più o meno complesse.

Nell’antica Grecia secondo Socrate e Aristotele, tutta la vita era basata su quattro elementi fondamentali:

 terra, fuoco aria e acqua.

Tutta la realtà può essere vista in funzione di questi elementi essenziali

Successivamente qualcuno ha pensato bene di integrare questa teoria con gli studi astrologici e la religione.

Da qui nasce il moderno oroscopo, il cui scopo è descrivere la realtà, la vita e la sua evoluzione.

Tale impostazione è stata ritenuta valida per millenni dagli alchimisti, con alcune diversità da cultura a cultura.

Se chiedeste ad un chimico moderno di cosa è fatta la realtà e quali sono i suoi elementi essenziali, probabilmente vi risponderebbe mostrandovi le tavole periodiche degli atomi.

Anzi probabilmente aggiungerebbe anche che ogni atomo presente nella tavola può essere scomposto in elementi ancora più essenziali.

Mi riferisco a elettroni, neutroni e protoni.

La teoria sugli atomi si fa risalire al filosofo greco Democrito (460 a.C. – 370 a.C.).

Secondo un altro filosofo precedente a Democrito tutta  la realtà poteva essere ricondotta ad elementi matematici.

Questo matematico era Pitagora di Samo (580 a.C. – 495 a.C.), famosissimo per il Teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli.

Il motto di Pitagora  era “tutto è numero“.

Pitagora era convinto che ogni aspetto del reale potesse essere visto come il rapporto di numeri naturali, quelle che oggi chiamiamo frazioni o numeri razionali.

Nella teoria numerica moderna i fattori primi o numeri primi rappresentano in modo analogo i mattoncini fondamentali della matematica.

Un numero primo è per definizione un numero che può essere diviso solo per se stesso o per 1.

Sotto vi riporto la collocazione dei numeri primi nei primi 100 numeri naturali.

Come si può notare la collocazione di questi numeri non sembra seguire un andamento prevedibile.

Questo lo si capisce meglio quando osserviamo i primi 1.000 o anche i primi 10.000 o 100.000 numeri naturali.

I numeri primi rappresentano ancora oggi uno dei grandi misteri irrisolti della matematica.

E tutta la ricerca sembra confluire attorno ad una strana e misteriosa funzione, la funzione zeta.

Per approfondire questo aspetto vi rimando a questo video di YouTube.

Ogni numero naturale (eccetto 1 e 0) può essere riscritto come il prodotto di potenze che hanno per base numeri primi ed esponenti numeri naturali.

$$ n = p_1 ^{n_1} \cdot p_2 ^{n_2} \cdot \cdots \cdot p_k ^{n_k} $$

\begin{array}{l}n \text{ è un qualsiasi numero} \\ p_1, p_2, \dots , p_k \text{ sono numeri primi} \\ n_1, n_2, \dots , n_k \text{ sono numeri naturali} \end{array}

Questa si definisce scomposizione dei numeri o fattorizzazione dei numeri.

Ne sono esempi:

$$ 6 = 2 \cdot 3 \\ 12 = 2^2 \cdot 3 \\ 300 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 $$

Ovviamente dove non c’è l’esponente significa che questo vale 1.

Queste immagini vi saranno certamente familiari dai tempi delle scuole elementari e medie

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LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI E I FATTORI PRIMI

I polinomi sono strutture più complesse rispetti ai numeri.

Dunque possiamo vedere la scomposizione dei polinomi come un ampliamento della scomposizione numerica.

Lo scopo finale è comunque sempre lo stesso:

Riscrivere un polinomio come il prodotto di polinomi più semplici, detti appunto polinomi primi.

Esempi di polinomi primi sono:

\begin{array}{c} x \quad,\quad x+2 \quad,\quad 3x-1 \quad,\quad x^2+1 \\ a+b \quad,\quad b^2-a \quad,\quad x-y \end{array}

Questi sono paragonabili ai numeri primi.

METODI  DI SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI

Passiamo ora alla domanda principale.

Come si scompone  un polinomio in fattori primi?

Addentriamo ora nella questione più scolastica e vediamo come funziona la scomposizione dei polinomi.

Per scomporre un polinomio esistono dei metodi e li sveleremo partendo dal più semplice via via aumentando il grado difficoltà.

Compliamo un elenco che andremo via via a seguire.

Per cominciare al livello più basso ci sono i raccoglimenti:

• Raccoglimento a fattor comune
• Raccoglimento parziale

A seguire troviamo i prodotti notevoli, tra cui ricordiamo:

• Quadrato di binomio
• Differenza di quadrati
• Trinomio speciale di secondo grado
• Cubo di binomio
• Somma e differenza di cubi

Una sezione a parte potrebbe essere i trinomi speciali di secondo grado.

Anche se molto spesso io stesso li faccio rientrare tra i prodotti notevoli.

Vediamoli uno a uno.

RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE

Il più basilare tipo di scomposizione è il raccoglimento totale o a fattor comune, la cui regola è:

$$ax+ay+az = a(x+y+z)$$

RACCOGLIMENTO A FATTOR PARZIALE

In ordine crescente di difficoltà troviamo il raccoglimento a fattor parziale, con la regola:

$$ ax+ay+bx+by = \\ a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b) $$

QUADRATO DI BINOMIO

Una delle regole certamente più famose in matematica è quella della scomposizione di un quadrato di binomio:

$$ A^2 +2AB+B^2 = (A+B)^2 $$

DIFFERENZA DI QUADRATI

Tra le regole di scomposizione maggiormente ricordate dagli studenti vi è certamente anche la differenza di quadrati.

$$ A^2-B^2 = (A+B)(A-B) $$

ATTENZIONE ALLA SOMMA DI QUADRATI !!!

Mentre è possibile applicare la scomposizione dei polinomi per la differenza di quadrati, questo non risulta possibile per la somma.

Non possiamo trovare nessuna scomposizione per il binomio nella forma:

$$ A^2 +B^2 \quad \color{red}{\text{non scomponibile!!!}} $$

SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI

Abbiamo poi salendo con livello di difficoltà la somma e differenza di cubi:

$$ A^3 +B^3 = (A+B)(A^2 -AB +B^2) $$ $$ A^3 -B^3 = (A-B)(A^2 +AB +B^2) $$

TRINOMIO SPECIALE DI SECONDO GRADO

Una delle pagine più affascinante della scomposizione dei polinomi è quella del trinomio speciale di secondo grado.

$$ x^2 + sx +p = (x+A) (x+B)$$$$ s = \text{ somma } = A+B$$$$ p = \text{ prodotto } = A \cdot B $$

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI???

Se hai qualche domanda scrivila nei commenti

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