RADICALI E RADICI – INTRODUZIONE

I radicali, detti comunemente radici, sono strutture algebriche che identificano l’operazione inversa delle potenze e si indicano con la seguente scrittura:

$$ \large{ \sqrt[n]{x} = y } \\ \ \\ \ \\ \text{$n$ è l’indice del radicale (numero naturale positivo)} \\ \text{$\sqrt{\ \ }$ è il simbolo di radice (operazione)} \\ \text{$x$ è il radicando (elemento sotto la radice)} \\ \text{$y$ è la radice (intesa come valore del radicale)} $$

In particolare se consideriamo una certa potenza ennesima di un numero y che è uguale ad x, allora possiamo affermare che la radice n-esima di x vale y

$$ y^n \to \sqrt[n]{x} $$

Ad esempio se 2 elevato alla seconda  da come risultato 4, allora diciamo che la radice quadrata (con indice 2) di 4 vale 2

$$ 2^2 = 4 \to \sqrt[2]{4} = 2 $$

Oppure se 2 elevato alla terza fa 8, allora diciamo che la radice cubica (con indice 3) di 8 vale 2

$$ 2^3 = 8 \to \sqrt[3]{8} = 2 $$

I radicali o radici sono distinti principalmente in base all’indice che può essere pari oppure dispari.

La principale differenza è che quando l’indice è pari il radicando deve essere positivo affinché la radice esista nei numeri reali.

$$ \sqrt[n]{x} = y \to \begin{cases} \text{$n$ pari} &:& \forall x \ge 0 &\to& \exists y \ge 0 \\ \text{$n$ dispari} &:& \forall x \in \mathbb{R} &\to& \exists y \in \\ \mathbb{R} \end{cases}$$

Per esempio non possiamo riconoscere l’esistenza della radice quadrata di –1, poiché non esiste (nei numeri reali) una quantità  che elevata alla seconda dia come risultato –1.

Consideriamo infatti la seguente equazione di secondo grado:

$$ x^2= 1 $$

La x è quel numero che elevato alla seconda da come risultato –1, dunque possiamo considerarlo come la radice quadrata di –1

$$ x^2= -1 \to x = \sqrt{-1} $$

Tuttavia sappiamo che l’equazione è impossibile, dunque non esiste nessuna x che è radice quadrata di meno uno.

$$ x^2= -1 \to x = \sqrt{-1} \to \text{impossiile} \to \not \exists x \in \mathbb{R} \ x = \sqrt{-1}$$

Questa affermazione è molto importante perché stabilisce delle chiare condizioni di esistenza sui radicali.

(In realtà i matematici riuscirono a superare questa affermazione con la teoria dell’unità immaginaria, che da vita ai numeri complessi)

Possiamo vedere questa differenza anche dal punto di vista grafico nella costruzione della funzione radice:

RADICE COME OPERAZIONE INVERSA ALLA POTENZA

Cominciamo con il considerare una semplice operazione di potenza: tre alla seconda che è uguale a 9.

$$ 3^2= 9 $$

Dietro l’operazione di potenza è presente la moltiplicazione con i fattori che si ripetono tante volte quanto vale l’esponente

$$ 3^2= 3 \cdot 3 = 9 $$

E dietro l’operazione di moltiplicazione vi è una somma di addendi ripetuta:

$$ 3^2= 3 \cdot 3 = 3+3+3 = 9 $$

Dobbiamo sapere che dietro l’operazione di potenza si nasconde anche la sua operazione inversa, ovvero quella di radice.

Questa operazione permette di conoscere la base della potenza quando si conosce il valore del suo esponente.

In particolare nell’esempio che abbiamo appena visto:

$$ 3^2 = 9 $$

Possiamo dire che la base della potenza di valore 9 ed esponente 2  è 3.

In altri termini possiamo dire che 3 è la radice quadrata (con indice 2) di 9.

Se lo scriviamo in termini matematici abbiamo:

$$ 3^2 = 9 \to \sqrt[2]{3} = 3 $$

È come se stiamo guardando la stessa moneta ma da due facce diverse.

In generale possiamo indicare una generica potenza yⁿ di valore x, da cui possiamo ricavare che la radice ennesima  di x vale y

$$ y^n = x \to \sqrt[n]{x} = y $$

Vediamo altri esempi con radici quadrate e radici cubiche

Partiamo dalle radici quadrate:

$$ \begin{array}{l} 0^2 = 0 \to \sqrt{0} = 0 & 1^2 = 1 \to \sqrt{1} = 1 & 2^2 = 4 \to \sqrt{4} = 2 \\ 3^2 = 9 \to \sqrt{9} = 3 & 4^2 = 16 \to \sqrt{16} = 4 & 5^2 = 25 \to \sqrt{25} = 5 \\ 6^2 = 36 \to \sqrt{36} = 6 & 7^2 = 49 \to \sqrt{49} = 7 & 8^2 = 64 \to \sqrt{64} = 8 \\ 9^2 = 81 \to \sqrt{81} = 9 & 10^2 = 100 \to \sqrt{100} = 10 & 11^2 = 121 \to \sqrt{121} = 11 \end{array} $$

Come è facile osservare nel caso della radice quadrata possiamo anche non mettere l’indice che è uguale a 2.

Poi ci sono le radici cubiche:

$$ \begin{array}{l} 0^2 = 0 \to \sqrt[3]{0} = 0 & 1^3 = 1 \to \sqrt[3]{1} = 1 & 2^3 = 8 \to \sqrt[3]{8} = 2 \\ 3^3 = 27 \to \sqrt[3]{27} = 3 & 4^3 = 64 \to \sqrt[3]{64} = 4 & 5^3 = 125 \to \sqrt[3]{125} = 5 \\ 6^3 = 36 \to \sqrt[3]{198} = 6 & 7^3 = 343 \to \sqrt[3]{343} = 7 & 8^3 = 512 \to \sqrt[3]{512} = 8 \\ 9^3 = 729\to \sqrt[3]{729} = 9 & 10^3 = 1.000 \to \sqrt[3]{1.000} = 10 & 11^3 = 1.331 \to \sqrt[3]{1.331} = 11 \end{array} $$

INDICE PARI E INDICE DISPARI NEI RADICALI

La principale distinzione che facciamo all’interno dei radicali riguarda l’indice, che può essere pari o dispari.

In particolare con i radicali con indice pari vengono definiti radici quadrate.

La caratteristica principale delle radici quadrate è che possono avere radicandi che sono maggiori o uguali a zero.

Quando il radicando è maggiore di zero (positivo) anche la radice è positiva, mentre quando il radicando vale zero (nullo)  anche la radice vale zero.

Se diversamente il radicando è negativo (minore di zero) allora la radice non esiste nei numeri reali.

Scriviamo questa caratteristica in modo matematico.

$$ \sqrt[n]{x} = y \quad \text{con $n$ pari} \to \begin{cases} x>0 &\to& y>0 \\ x=0 &\to& y=0 \\ x<0 &\to& \not \exists y \in \mathbb{R} \end{cases} $$

La ragione di questa caratteristica è molto semplice.

Non esiste nessun numero reale il cui quadrato risulti negativo.

Consideriamo il caso della radice quadrata di –1 e supponiamo di chiamare questo numero x:

$$ \sqrt{-1} = x $$

Se questo valore esistesse allora dovremmo avere che un numero elevato alla seconda valga –1:

$$ \sqrt{-1} = x \to x^2 = -1$$

Ma questo è impossibile nei numeri reali, poche sappiamo che una qualsiasi quantità positiva oppure negativa elevata alla seconda da come risultato un numero positivo.

$$ \sqrt{-1} = x \to x^2 = -1 \to \not \exists x \in \mathbb{R} $$

Dunque non esiste nessuna radice di –1.

Possiamo indicare l’assenza di soluzione con il simbolo ∅ che significa insieme vuoto.

Dunque possiamo anche scrivere:

$$ \sqrt{-1} = \emptyset $$

Lo stesso ragionamento si estende a tutti i numeri negativi:

$$ \begin{array}{l} \sqrt[]{-2} = \emptyset & \sqrt[]{-3} = \emptyset & \sqrt[]{-5} = \emptyset & \sqrt[]{-7} = \emptyset & \sqrt[]{-11} = \emptyset \\ \sqrt[]{-\frac{2}{3}} = \emptyset & \sqrt[]{-\frac{3}{5}} = \emptyset & \sqrt[]{-1.023,8765} = \emptyset & \sqrt[]{-\pi} = \emptyset & \sqrt[]{-e} = \emptyset \end{array} $$

 e a tutti gli indici pari:

$$ \begin{array}{l} \sqrt[4]{-2} = \emptyset & \sqrt[6]{-3} = \emptyset & \sqrt[8]{-5} = \emptyset & \sqrt[10]{-7} = \emptyset & \sqrt[100]{-11} = \emptyset \\ \sqrt[22]{-\frac{2}{3}} = \emptyset & \sqrt[40]{-\frac{3}{5}} = \emptyset & \sqrt[60]{-1.023,8765} = \emptyset & \sqrt[120]{-\pi} = \emptyset & \sqrt[88]{-e} = \emptyset \end{array} $$

Per quanto riguarda le radici con indice dispari invece non ci sono problemi.

In questo caso il segno della radice coincide con il segno del radicando.

Utilizzando lo stesso schema di prima possiamo scrivere:

$$ \sqrt[n]{x} = y \quad \text{con $n$ dispari} \to \begin{cases} x>0 &\to& y>0 \\ x=0 &\to& y=0 \\ x<0 &\to& y<0\end{cases} $$

Prendiamo ad esempio il caso della radice cubica e cominciamo a vedere che quando l’argomento(radicando) è positivo il valore della radice è positiva:

$$ \sqrt[3]{1} = 1 \quad \sqrt[3]{8} = 2 \quad \sqrt[3]{27} = 3 \quad \sqrt[3]{64} = 4 $$

Quando il radicando è nullo (uguale a zero) la radice è nulla:

$$ \sqrt[3]{0} = 0 $$

Quando infine il radicando è negativo ne consegue che il valore del radicale è negativo:

$$ \sqrt[3]{-1} = -1 \quad \sqrt[3]{-8} =- 2 \quad \sqrt[3]{-27} = -3 \quad \sqrt[3]{-64} = -4 $$

In questo caso non abbiamo problemi di segno poiché un numero negativo elevato alla terza è certamente negativo, ad esempio:

$$ (-2)^3 = -8 $$

Ne consegue che la radice cubica di questo valore deve necessariamente essere negativa.

$$ (-2)^3 = -8 \to \sqrt[3]{-8} = -2$$

Proviamo ad unire i due schemi in uno solo:

$$ \sqrt[n]{x} = y \to \begin{cases} \text{ $n$ pari} &\to& \begin{cases} x>0 &\to& y>0 \\ x=0 &\to& y=0 \\ x<0 &\to& \not \exists y \in \mathbb{R} \end{cases} \\ \ \\ \text{ $n$ dispari} &\to& \begin{cases} x>0 &\to& y>0 \\ x=0 &\to& y=0 \\ x<0 &\to& y<0\end{cases} \end{cases}$$

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CASI PARTICOLARI DI ZERO E UNO

All’interno degli infiniti numeri reali spiccano due numeri molto particolari all’interno della teoria dei radicali che sono: zero e uno.

La radice ennesima questi due numeri coincide con i numeri stessi.

Partiamo dallo zero e notiamo che zero elevato ad un qualsiasi esponente naturale positivo vale zero.

$$ 0 ^ n = 0 \quad \text{con $ n$ \in \mathbb{N} e $n>0$} $$

Ne deriva dunque che la radice ennesima calcolata con un qualsiasi indice naturale positivo vale zero.

$$ 0 ^ n = 0 \ \to \sqrt[n]{0} = 0 \quad \text{con $ n$ \in \mathbb{N} e $n>0$} $$

Vediamo qualche caso specifico:

$$ \begin{array}{l} 0^1 = 0 \to \sqrt[1]{0} = 0 & 0^2 = 0 \to \sqrt[2]{0} = 0 & 0^3 = 0 \to \sqrt[3]{0} = 0 \\ 0^5 = 0 \to \sqrt[5]{0} = 0 & 0^7 = 0 \to \sqrt[7]{0} = 0 & 0^{11} = 0 \to \sqrt[11]{0} = 0 \\ 0^{100} = 0 \to \sqrt[100]{0} = 0 & 0^{1.001} = 0 \to \sqrt[1.001]{0} = 0 & 0^{3.786.345} = 0 \to \sqrt[3.786.345]{0} = 0 \end{array} $$

La stessa cosa vale anche per il numero uno (1).

Anche uno  elevato ad un qualsiasi esponente naturale positivo vale uno.

$$ 1^n = 1 \quad \text{con $ n$ \in \mathbb{N} e $n>0$} $$

Ne deriva dunque che la radice ennesima calcolata con un qualsiasi indice naturale positivo vale zero.

$$ 1 ^ n = 1 \ \to \sqrt[n]{1} = 1 \quad \text{con $ n$ \in \mathbb{N} e $n>0$} $$

Vediamo qualche caso specifico:

$$ \begin{array}{l} 1^1 = 1 \to \sqrt[1]{1} = 1 & 1^2 = 0 \to \sqrt[2]{1} = 1 & 1^3 = 1 \to \sqrt[3]{1} = 1 \\ 1^5 = 1 \to \sqrt[5]{1} = 1 & 1^7 = 0 \to \sqrt[7]{1} = 1 & 1^{11} = 1 \to \sqrt[11]{1} = 1 \\ 1^{100} = 1 \to \sqrt[100]{1} = 1 & 1^{1.001} = 1 \to \sqrt[1.001]{1} = 1 & 0^{3.786.345} = 1 \to \sqrt[3.786.345]{1} = 1 \end{array} $$

SIMBOLO DI RADICE E NTERPRETAZIONE GEOMETRICA

 RADICE COME NUMERO IRRAZIONALE

Il concetto di radice quadrata intesa come numero irrazionale nasce nell’antichità ad opera di uno dei discepoli di Pitagora di Samo (570 a.C. – 490 a.C.).

Questo discepolo si chiamava Ippaso di Metaponto ( 530 a.C. – 450 a.C.)

Ippaso stava osservando un triangolo rettangolo isoscele, o se preferite la meta di un quadrato tagliato da una diagonale.

I cateti di questo triangolo valevano 1 e l’ipotenusa veniva calcolata applicando il teorema del suo maestro.

Il suo valore era radice quadrata di 2

$$ \sqrt{2} $$

Ippaso di Metaponto aveva dimostrato l’incommensurabilità di questa quantità.

Ovvero non era possibile scrivere la radice quadrata di 2 come un rapporto di numeri naturali (una frazione).

Nella scrittura matematica moderna scriviamo così:

$$ \sqrt{2} \ne \frac{m}{n} \quad \text{con }\ m,n \in \mathbb{R} $$

Radice di 2 è diverso da un rapporto tra due numeri m e n che sono numeri naturali.

La scoperta non deve essere stata molto gradita al maestro Pitagora e leggenda narra che il corpo di  Ippaso fu trovato privo di vita sotto una scogliera.

Dovete pensare che Pitagora credeva che tutta la realtà potesse essere descritta come rapporti di numeri naturali, le frazioni.

Questa scoperta avrebbe minato alle basi di tutta la sua filosofia, tutto il lavoro di una vita intera.

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA RADICE 

Il concetto di radice quadrata è collegato inizialmente alla geometria.

Il modo più semplice di immaginarlo è pensarla come il lato di un quadrato con una certa area.

Ad esempio la lunghezza di un quadrato con area 25 è pari a 5.

$$ 5 = \sqrt{25} $$

Gli antichi latini indicavano la radice semplicemente come latus.

Identicamente possiamo immaginare la radice cubica come il lato di un cubo

SIMBOLO DELLA RADICE

Il filosofo latino S. Boemo (480-524) coniò per la prima volta il termine radix, intendendo con questo termine fonte o origine. 

Venne poi la volta di due italiani : Leonardo Fibonacci (1170-1242) e Luca Pacioli (1445-1517)

Inizialmente venne utilizzata la lettera R (iniziale di radix) che poi per deformazione si trasformò nel simbolo odierno.

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CONDIZIONI DI ESISTENZA DEI RADICALI

La condizione di esistenza viene imposta sui radicali quando l’indice è pari.

In questa situazione dobbiamo verificare il fatto che il radicando debba essere maggiore o uguale a zero.

In generale possiamo quindi scrivere:

$$ \text{CE} : \quad \text{se $n$ pari} \to x \ge 0 $$

Vediamo di calcolare le condizioni di esistenza sui seguenti radicali:

$$ \begin{array}{l} \sqrt{x^2-x} & \sqrt{x^2-x-6} & \sqrt{x^2+4x+4} \\ \sqrt{x^3+3x^2+3x+1} & \sqrt{\frac{x^2-4}{x^3-1}} \end{array} $$

ESEMPIO 1 – CONDIZIONI DI ESISTENZA

$$ \sqrt{x^2-x} $$

Trattandosi di un radicale con indice pari (2) studiamo la condizione di esistenza imponendo che l’argomento (radicando) sia maggiore o uguale a zero:

$$ x^2-x \ge 0 $$

Si tratta di una disequazione di secondo grado spuria, quindi raccogliamo a fattor comune la x

$$ x(x-1) \ge 0 $$

Studiamo ora i segni dei singoli fattori e rappresentiamo la tabella dei segno che ci darà la seguente soluzione:

$$ \text{CE}: \quad x \le 0 \lor x \ge 1 $$

ESEMPIO 2 – CONDIZIONI DI ESISTENZA DEI RADICALI

$$ \sqrt{x^2-x-6} $$

Trattandosi di un radicale con indice pari (2) studiamo la condizione di esistenza imponendo che l’argomento (radicando) sia maggiore o uguale a zero:

$$ x^2-x-6 \ge 0 $$

Si tratta di una disequazione di secondo grado.

Possiamo risolverla con la formula oppure tramite la scomposizione di un trinomio speciale di secondo grado:

$$ (x-3)(x+2) \ge 0 $$

Studiamo ora i segni dei singoli fattori e rappresentiamo la tabella dei segno che ci darà la seguente soluzione:

$$ \text{CE}: \quad x \le -2 \lor x \ge 3 $$

ESEMPIO 3 – CONDIZIONI DI ESISTENZA DEI RADICALI

$$ \sqrt{x^2+4x+4} $$

Trattandosi di un radicale con indice pari (2) studiamo la condizione di esistenza imponendo che l’argomento (radicando) sia maggiore o uguale a zero:

$$ x^2+4x+4 \ge 0 $$

Si tratta di una disequazione di secondo grado.

Riconosciamo sulla sinistra un quadrato di binomio:

$$ (x+2)^2 \ge 0 $$

Ricordiamo che un quadrato è sempre una quantità non negativa (quindi maggiore o uguale a zero).

Dunque la disequazione è sempre verificata.

$$ \text{CE}: \quad \forall x \in \mathbb{R} $$

Possiamo immaginare il quadrato di binomio come una parabola con concavità verso l’alto il cui delta vale zero, dunque con un solo punto di intersezione con l’asse delle x

ESEMPIO 4 – CONDIZIONI DI ESISTENZA DEI RADICALI

$$ \sqrt{x^3+3x^2+3x+1} $$

Trattandosi di un radicale con indice pari (2) studiamo la condizione di esistenza imponendo che l’argomento (radicando) sia maggiore o uguale a zero:

$$ x^3+3x^2+3x+1 \ge 0 $$

Si tratta di una disequazione di terzo grado.

Scomponiamo il termine di sinistra come un cubo di binomio:

$$ (x+1)^3 \ge 0 $$

Un cubo è positivo se la base del cubo è positiva, dunque risaliamo alla disequazione di primo grado:

$$ x+1 \ge 0 $$

Da cui abbiamo la nostra soluzione:

$$ \text{CE}: \quad x \ge -1 $$

ESEMPIO 5 – CONDIZIONI DI ESISTENZA DEI RADICALI

$$ \sqrt{\frac{x^2-4}{x^3-1}} $$

Trattandosi di un radicale con indice pari (2) studiamo la condizione di esistenzaimponendo che l’argomento (radicando) sia maggiore o uguale a zero:

$$ \frac{x^2-4}{x^3-1} \ge 0 $$

Si tratta di una disequazione fratta nella forma base.

Cominciamo con il fattorizzare il numeratore come una differenza di quadrati:

$$ x^2-4 = (x+2)(x-2) $$

 e i denominatore come una differenza di cubi:

$$ x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) $$

A questo punto possiamo riscrivere la disequazione come segue:

$$ \frac{(x+2)(x-2) }{(x-1)(x^2+x+1)} \ge 0 $$

Ricordiamo che il falso quadrato presente nella scomposizione al denominatore:

$$ x^2+x+1 >0 \to \forall x \in \mathbb{R} $$

 è un elemento sempre positivo e pertanto possiamo eliminarlo dal denominatore, dal momento che non ne influenza il suo segno.

A questo punto la soluzione alla nostra disequazione dipende da tre fattori di primo grado:

$$ \frac{(x+2)(x-2) }{(x-1)} \ge 0 $$

Studiamo il segno di ogni fattore (maggiore o uguale a zero per i fattori presenti al numeratore):

$$ \begin{array}{l} x+2 \ge 0 &\to& x \ge -2 \\ x-2 \ge 0 &\to& x \ge 2 \\ x-1 > 0 &\to& x > 1 \end{array} $$

 ottenendo che la condizione di esistenza è:

$$ \text{CE}: \quad -2 \le x <1 \lor x \ge 2 $$

CONDIZIONE DI ESISTENZA E SISTEMI DI DISEQUAZIONE

Se il nostro testo è composto da più radicali con indice pari dobbiamo mettere a sistema le condizioni di esistenza di ogni radicale:

Consideriamo i seguenti due esempi:

ESEMPIO 1   –  CE E SISTEMI

$$ \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} $$

In questo testo abbiamo una differenza tra due radicali con indice pari (2) quindi mettiamo a sistema le condizioni di esistenza delle due radicandi:

$$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} $$

Risolviamo le due disequazioni di primo grado

$$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 1 \end{cases} $$

e troviamo che il sistema è verificato per:

$$ \text{CE}: \quad x \ge 1 $$

ESEMPIO 2  – CE E SISTEMI

$$ \sqrt{2x^2-x-1} + \sqrt{x^3-6x^2+11x-6} $$

In questo testo abbiamo una differenza tra due radicali con indice pari (2) quindi mettiamo a sistema le condizioni di esistenza delle due radicandi:

$$ \begin{cases} 2x^2-x-1 \ge 0 \\ x^3-6x^2+11x-6 \ge 0 \end{cases} $$

Partiamo dalla prima disequazione:

$$ 2x^2-x-1 \ge 0 $$

Scomponiamo il polinomio di secondo grado con il metodo prodotto (–2) e somma(–1)

$$ 2x^2-x-1 \ge 0 \\ 2x(x+1) -3(x+1) \ge 0 \\ (x+1)(2x-3) \ge 0 $$

Risolviamo la disequazione fattorizzata studiando i fattori maggiori o uguali a zero e con la tabella dei segni e arriviamo alla soluzione:

$$ x \le -1 \lor x \ge \frac{3}{2} $$

Passiamo ora alla seconda disequazione:

$$ x^3-6x^2+11x-6 \ge 0 $$

Scomponendo utilizzando il metodo Ruffini arriviamo alla seguente disequazione fattorizzata:

$$ (x-1)(x-2)(x-3) \ge 0 $$

Puoi trovare questa scomposizione nel penultimo esercizio dell’articolo dedicato alla scomposizione con Ruffini.

Ora non ci resta che studiare il segno dei fattori e giungere alla seconda condizione di esistenza:

A questo punto possiamo mettere a sistema le due condizioni di esistenza:

$$ \text{CE}: \quad \begin{cases} x \le -1 &\lor& x \ge \frac{3}{2} \\ 1 \le x \le 2 &\lor& x \ge 3 \end{cases} \to \frac{3}{2} \le x \le 2 \lor x \ge 3 $$

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