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forma canonica dell'ellisse, dimostrazione

In questo articolo vediamo la dimostrazione per arrivare alla forma canonica dell’ellisse.

Prima di farlo vediamo in sintesi le caratteristiche della conica

ELLISSE DEFINIZIONE ED EQUAZIONE

L’ellisse è una conica data dall‘intersezione di un cono con un piano.

Nel piano essa è definita come il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai fuochi è costante.

La sua equazione canonica nel piano cartesiano è:

Le coordinate dei fuochi sono:

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ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE X

Esiste una relazione pitagorica tra i parametri a,b e c

Quando i fuochi appartengono all’asse delle x la relazione è:

In questo caso l’asse orizzontale di valore 2a diventa asse focale poiché passa per i fuochi.

L’eccentricità dell’ellisse in questo caso è data da:

forma canonica dell'ellisse, dimostrazione

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ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE Y

Mentre quando i fuochi appartengono all’asse delle y la relazione pitagorica tra i parametri a,b e diventa:

In questo caso l’asse verticale di valore 2b diventa asse focale poiché passa per i fuochi.

L’eccentricità dell’ellisse in questo caso è data da:

forma canonica dell'ellisse, dimostrazione

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMA CANONICA DELL’ELLISSE

Cominciamo con il fissare i fuochi sull’asse delle x equidistanti dal centro:

Consideriamo ora un punto P di coordinate generiche (x,y) che appartiene alla nostra ellisse che chiamiamo 𝛾

Imponiamo ora che la somma delle distanze dai fuochi risulti costante e pari a 2a.

Applicando la definizione di distanza tra due punti possiamo perciò scrivere:

Sviluppando i calcoli arriviamo all’equazione generica dell’ellisse:

forma canonica dell'ellisse, dimostrazione

CALCOLI MATEMATICI DELLA DIMOSTRAZIONE – ELLISSE

Mostriamo i calcoli della dimostrazione per arrivare all’equazione canonica dell’ellisse

Partendo dall’equazione iniziale:

Isoliamo una radice sul lato sinistro e spostiamo l’altra a destra con segno invertito

Eleviamo ora alla seconda entrambi i termini dell’equazione.

A sinistra scompare la radice mentre a destra sviluppiamo un quadrato di binomio per cui ci resta ancora una radice

Eliminiamo i termini simili a sinistra e a destra dell’uguale e isoliamo la radice sul lato di sinistra

Possiamo ora dividere entrambi i termini dell’equazione per 4

Eleviamo ulteriormente entrambi i membri dell’equazione di modo che a sinistra scompare la radice mentre a destra sviluppiamo un altro quadrato di binomio

Svolgiamo i conti ed eliminiamo i termini simili da entrambi i lati

Cerchiamo ora di spostare i quadrato della x e della y a sinistra eventualmente raccogliendo a fattor comune, mentre a destra lasciamo tutto il resto

Introduciamo dunque una nuova variabile la b, tale per cui tra a,b e c valga la seguente relazione pitagorica:

In questo modo possiamo riscrivere il testo così:

Dividiamo entrambi i termini dell’equazione per il prodotto tra il quadrato di a e il quadrato di b.

Ecco che siamo giunti all’equazione dell’ellisse nella forma canonica:

forma canonica dell'ellisse, dimostrazione
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