In questo articolo vediamo la dimostrazione per arrivare alla forma canonica dell’ellisse.
Prima di farlo vediamo in sintesi le caratteristiche della conica
ELLISSE DEFINIZIONE ED EQUAZIONE
L’ellisse è una conica data dall‘intersezione di un cono con un piano.
Nel piano essa è definita come il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai fuochi è costante.
La sua equazione canonica nel piano cartesiano è:
$$ \large{ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1} \\ \text{$a$ è il semiasse orizzontale} \\ \text{$b$ è il semiasse verticale} $$
Le coordinate dei fuochi sono:
$$ ( \pm c , 0)\ \text{ se i fuochi sono sull’asse x} \\ ( 0 , \pm c)\ \text{ se i fuochi sono sull’asse y} $$
ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE X
Esiste una relazione pitagorica tra i parametri a,b e c
Quando i fuochi appartengono all’asse delle x la relazione è:
$$ a> b \to \quad a^2= b^2+c^2 $$
In questo caso l’asse orizzontale di valore 2a diventa asse focale poiché passa per i fuochi.
L’eccentricità dell’ellisse in questo caso è data da:
$$ e = \frac{c}{a} = \frac{\text{semi-distanza focale}}{\text{semi-asse focale}} $$
ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE Y
Mentre quando i fuochi appartengono all’asse delle y la relazione pitagorica tra i parametri a,b e c diventa:
$$ b> a \to \quad b^2= a^2+c^2 $$
In questo caso l’asse verticale di valore 2b diventa asse focale poiché passa per i fuochi.
L’eccentricità dell’ellisse in questo caso è data da:
$$ e = \frac{b}{a} = \frac{\text{semi-distanza focale}}{\text{semi-asse focale}} $$
DIMOSTRAZIONE DELLA FORMA CANONICA DELL’ELLISSE
Cominciamo con il fissare i fuochi sull’asse delle x equidistanti dal centro:
$$ F_1 (-c, 0 ) \quad F_2 (c, 0) $$
Consideriamo ora un punto P di coordinate generiche (x,y) che appartiene alla nostra ellisse che chiamiamo 𝛾
$$ P(x,y) \in \gamma $$
Imponiamo ora che la somma delle distanze dai fuochi risulti costante e pari a 2a.
$$ \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a $$
Applicando la definizione di distanza tra due punti possiamo perciò scrivere:
$$ \sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a $$
Sviluppando i calcoli arriviamo all’equazione generica dell’ellisse:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{ con $b^2= a^2-c^2 $}$$
CALCOLI MATEMATICI DELLA DIMOSTRAZIONE – ELLISSE
Mostriamo i calcoli della dimostrazione per arrivare all’equazione canonica dell’ellisse
Partendo dall’equazione iniziale:
$$ \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a \\ \ \\ \sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a $$
Isoliamo una radice sul lato sinistro e spostiamo l’altra a destra con segno invertito
$$ \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a – \sqrt{(x-c)^2+y^2}$$
Eleviamo ora alla seconda entrambi i termini dell’equazione.
A sinistra scompare la radice mentre a destra sviluppiamo un quadrato di binomio per cui ci resta ancora una radice
$$ \begin{array}{l} (x+c)^2+y^2 = 4a^2+(x-c)^2 +y^2 -4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ x^2 +2xc+c^2+y^2 = 4a^2 +x^2-2cx+c^2+y^2-4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{array} $$
Eliminiamo i termini simili a sinistra e a destra dell’uguale e isoliamo la radice sul lato di sinistra
$$ \begin{array}{l} \color{red}{x^2} +2xc \color{blue}{+c^2} \color{red}{+y^2} = 4a^2 \color{red}{+x^2}-2cx \color{blue}{+c^2} \color{red}{+y^2}-4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2}= 4a^2-4cx \end{array} $$
Possiamo ora dividere entrambi i termini dell’equazione per 4
$$ a \sqrt{(x-c)^2+y^2}= a^2-cx $$
Eleviamo ulteriormente entrambi i membri dell’equazione di modo che a sinistra scompare la radice mentre a destra sviluppiamo un altro quadrato di binomio
$$ a^2 (x^2-2cx+c^2+y^2) = a^4 -2a^2cx +c^2x^2 $$
Svolgiamo i conti ed eliminiamo i termini simili da entrambi i lati
$$ a^2x^2 \color{green}{-2a^2cx} +a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 \color{green}{-2a^2cx} +c^2x^2 $$
Cerchiamo ora di spostare i quadrato della x e della y a sinistra eventualmente raccogliendo a fattor comune, mentre a destra lasciamo tutto il resto
$$ \begin{array}{l} (a^2-c^2) x^2 +a^2y^2 = a^4 -a^2c^2 \\ (a^2-c^2) x^2 +a^2y^2 =a^2 (a^2-c^2) $$
Introduciamo dunque una nuova variabile la b, tale per cui tra a,b e c valga la seguente relazione pitagorica:
$$ a^2-c^2 = b^2 $$
In questo modo possiamo riscrivere il testo così:
$$ b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 $$
Dividiamo entrambi i termini dell’equazione per il prodotto tra il quadrato di a e il quadrato di b.
$$ \frac{b^2 x^2}{a^2b^2} + \frac{a^2 y^2}{a^2b^2} = \frac{a^2 b^2}{a^2b^2} $$
Ecco che siamo giunti all’equazione dell’ellisse nella forma canonica:
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
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