La funzione radice, detta anche irrazionale si presenta nella forma:
Essa può essere vista come la funzione inversa della funzione potenza
Esistono due classi principali di funzioni irrazionali a seconda che l’indice n sia pari oppure dispari.
Quando l’indice è pari ci troviamo di fronte ad una radice quadrata.
L’esempio più noto è la radice con indice 2, che noi definiamo proprio radice quadrata.
Da notare che non indichiamo l’indice per una questione di convenzione, anche se potremmo tranquillamente scriverla così:
Rappresentata nel piano cartesiano la vediamo come una mezza parabola rovesciata in orizzontale.
Tale funzione irrazionale è definita solo per le x positive, in quanto possiamo calcolare (nei numeri reali) radici quadrate solo di numeri positivi.
Infatti non possiamo calcolare radici quadrate di numeri negativi poiché non vi è nessun numero che elevato al quadrato sia negativo.
Ad esempio non è possibile calcolare la radice quadrata di –1 poiché non esiste nessun numero reale che elevato alla seconda dia –1.
Scritto in linguaggio matematico diventa:
Siccome x alla seconda uguale a –1 non da soluzione (impossibile) allora ne deriva che non esiste nessun numero reale x che sia la radice quadrata di –1
In contrapposizione alla funzione radice quadrata troviamo la radice cubica, caratterizzata da un indice n dispari.
L’esempio più noto è la funzione radice cubica con indica pari a 3.
La forma di questa funzione irrazionale è pressoché identica a quella della radice quadrata nelle ascisse positive.
La caratteristica quindi che la differenzia in modo netto rispetto alla radice quadrata è la possibilità di calcolare la radice cubica anche di numeri negativi.
Ad esempio la radice cubica di –1 vale –1 poiché il cubo di –1 vale –1.
Scritto matematicamente diciamo che:
Per evitare di confonderci troppo con lo stesso numero riporto anche questo esempio:
La rappresentazione della radice cubica è la seguente:
Per entrambe le funzioni vale la caratteristica della crescenza, nel senso che quando aumenta l’argomento della radice (radicando) aumenta anche il valore della radice.
LA FUNZIONE RADICE QUADRATA
La funzione radice quadrata è una relazione che associa ad ogni numero reale la sua radice quadrata.
La radice quadrata è l’operazione inversa del quadrato
Dunque le radici quadrate più semplici sono calcolate sui quadrati perfetti.
Ad esempio se 2 elevato alla seconda (al quadrato) da come risultato 4, significa che la radice quadrata di 4 vale 2.
Facciamo un elenco di quello che succede nei primi 10 numeri naturali (più lo zero).
RADICI QUADRATE DI QUADRATI PERFETTI
Una radice quadrata è in generale un numero definito irrazionale, ovvero dove non è possibile prevedere in modo razionale l’andamento delle cifre decimali.
Quindi non può essere classificato come un rapporto di numeri interi, che è quello che noi chiamiamo frazione o numero razionale.
Ad esempio se prendiamo la frazione 2/3 essa può essere calcolata come:
Ovvero siamo in grado di prevedere l’andamento delle cifre decimali.
Ma se calcoliamo la radice quadrata di 2, la cosa non risulta possibile:
L’andamento delle cifre decimali appare imprevedibile e non possiamo riscrivere questo numero come un rapporto di numeri naturali.
Andiamo ora costruire la funzione irrazionale radice quadrata, associando ad ogni numero x la sua radice quadrata
Per quanto riguarda le radici quadrate di numeri negativi?
In questo non è possibile calcolarne il valore poiché sappiamo che quadrati di numeri reali (positivi o negativi) danno sempre dei numeri positivi.
Oppure detto in altre parole non esistono numeri reali il cui quadrato è una quantità negativa.
Prendiamo come esempio la radice quadrata di –1.
Se esistesse una tale quantità x dovremmo avere che il quadrato di x sia -1
Ma noi sappiamo che un qualsiasi numero x elevato alla seconda è sempre positivo.
Ad esempio se x=-1
E non -1.
Dunque in definitiva non è possibile calcolare radici quadrate di numeri negativi.
Andiamo ora a tracciare i punti che abbiamo trovato in un sistema cartesiano.
Tracciando poi la funzione irrazionale che ne deriva.
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CARATTERISTICHE DELLA FUNZIONE RADICE QUADRATA
Elenchiamo le principali caratteristiche della funzione irrazionale con indice pari (radice quadrata).
DOMINIO
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
La funzione passa per l’origine (0,0)
Infatti la radice quadrata di zero vale zero!
SEGNO DELLA FUNZIONE
La funzione è sempre positiva nel suo dominio eccetto nello zero.
L’intervallo di positività I.P. è dunque:
DERIVATA PRIMA
Dal momento che il denominatore è deve essere diverso da zero la funzione è non derivabile nell’origine.
Siccome la derivata è sempre positiva (dato che è un rapporto di positivi) la funzione risulta sempre crescente.
LA FUNZIONE RADICE E’ L’IVERSA DELLA FUNZIONE QUADRATICA
La radice quadrata è l’operazione inversa del quadrato.
Dunque la funzione radice è la funzione inversa della funzione quadratica.
Prendiamo la funzione irrazionale:
Ricaviamo ora la x in funzione della y e per farlo eleviamo tutto alla seconda.
Ovvero:
Ora scambiamo le variabili al fine di vedere la funzione inversa:
Questa è la funzione quadratica o parabola o di secondo grado.
(ricordiamo che questo vale solo nelle ascisse positive)
Dal punto di vista grafico due funzioni inverse nel sistema cartesiano risultano essere simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
TRASFORMAZIONI NEL PIANO DELLA FUNZIONE IRRAZIONALE
Partendo dalla funzione irrazionale:
Possiamo effettuare delle operazioni di trasformazione nel piano, tra cui ricordiamo:
- Traslazione
- Dilatazione, restrizione o ribaltamento
TRASLAZIONE
La trasformazione più elementare che possiamo fare con una funzione è la traslazione.
Una traslazione avviene quando prendiamo un oggetto e lo spostiamo semplicemente nello spazio.
In questo caso quindi non andiamo ad alterare la forma e le dimensioni dell’oggetto.
Possiamo ottenere una traslazione mediante una operazione di somma (o differenza) di una costante.
Quando la costante viene aggiunta (o tolta) a tutta la funzione si determina una traslazione lungo l’asse delle y.
In particolare se k è positivo la traslazione è di k unità verso l’alto
Mentre se k è negativo la traslazione è di k unità verso il basso
Dal grafico possiamo capire come avviene:
Possiamo spostare la funzione lungo l’asse delle x, se la costante viene addizionata alla x.
In questo caso si giunge ad una scrittura del tipo:
Attenzione che questa volta se la costante h è positiva la traslazione avviene di h unità verso sinistra.
Mentre se la h è negativa la traslazione avviene di h unità a destra.
Vediamolo meglio nel grafico:
Per ottenere una traslazione obliqua si vanno a comporre le due traslazioni orizzontale e verticale, con un’operazione del tipo:
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DILATAZIONE, RESTRIZIONE O RIBALAMENTO
Per trasformazione nel piano di una funzione intendiamo anche operazioni come:
- Dilatazione
- Restrizione
- Ribaltamento
Una dilatazione avviene in generale quando prendiamo un oggetto e modifichiamo le sue dimensioni ma non ne alteriamo la forma.
In questo modo il nostro oggetto risulta più grande.
Mentre con il termine restrizione intendiamo la stessa cosa, ma l’oggetto viene reso più piccolo.
Si verifica un ribaltamento dell’oggetto quando vi è una simmetria rispetto ad una retta.
Più o meno quello che avviene di fronte ad uno specchio
Per ottenere questo tipo di trasformazione sulle funzioni si applicano operazioni di moltiplicazione.
In particolare sulla nostra funzione irrazionale:
Otteniamo questi risultati rispetto all’asse delle x (quindi lungo l’asse y) moltiplicando una costante k a tutta la funzione.
In particolare se:
Osserviamo meglio cosa succede nel grafico cartesiano:
Se invece vogliamo ottenere questi risultati rispetto alla asse delle y (quindi lungo l’asse x) andiamo a moltiplicare la x per una costante h
In particolare se:
QUALCHE CENNO STORICO
La storia della funzione irrazionale è legata in modo indissolubile alla nascita del concetto di radice e alla sua evoluzione nei secoli.
RADICE COME NUMERO IRRAZIONALE
Il concetto di radice quadrata intesa come numero irrazionale nasce nell’antichità ad opera di uno dei discepoli di Pitagora di Samo (570 a.C. – 490 a.C.).
Questo discepolo si chiamava Ippaso di Metaponto ( 530 a.C. – 450 a.C.)
Ippaso stava osservando un triangolo rettangolo isoscele, o se preferite la meta di un quadrato tagliato da una diagonale.
I cateti di questo triangolo valevano 1 e l’ipotenusa veniva calcolata applicando il teorema del suo maestro.
Il suo valore era radice quadrata di 2
Ippaso di Metaponto aveva dimostrato l’incommensurabilità di questa quantità.
Ovvero non era possibile scrivere la radice quadrata di 2 come un rapporto di numeri naturali (una frazione).
Nella scrittura matematica moderna scriviamo così:
Radice di 2 è diverso da un rapporto tra due numeri m e n che sono numeri naturali.
La scoperta non deve essere stata molto gradita al maestro Pitagora e leggenda narra che il corpo di Ippaso fu trovato privo di vita sotto una scogliera.
Dovete pensare che Pitagora credeva che tutta la realtà potesse essere descritta come rapporti di numeri naturali, le frazioni.
Questa scoperta avrebbe minato alle basi di tutta la sua filosofia, tutto il lavoro di una vita intera.
SIMBOLO DI RADICE QUADRATA
Il concetto di radice quadrata è collegato inizialmente alla geometria.
Il modo più semplice di immaginarlo è pensarla come il lato di un quadrato con una certa area.
Ad esempio la lunghezza di un quadrato con area 25 è pari a 5.
Gli antichi latini indicavano la radice semplicemente come latus.
Il filosofo latino S. Boemo (480-524) coniò per la prima volta il termine radix, intendendo con questo termine fonte o origine.
Venne poi la volta di due italiani : Leonardo Fibonacci (1170-1242) e Luca Pacioli (1445-1517)
Inizialmente venne utilizzata la lettera R (iniziale di radix) che poi per deformazione si trasformò nel simbolo odierno.
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LE DUE RADICI QUADRATE DI UNO
Nel sedicesimo secolo un altro matematico italiano dovette affrontare un’altra questione matematica.
Questo matematico era Rafael Bombelli (1526-1572).
Oggi come allora sappiamo che la radice quadrata di 1 vale 1.
Questo poiché il quadrato di 1 vale 1.
Ma esiste un altro numero il cui quadrato vale 1.
Questo numero è il –1.
Allora seguendo lo stesso ragionamento anche –1 dovrebbe essere una radice quadrata di 1.
Detto in altre parole Rafael era convinto che 1 avesse due radici quadrate: +1 e –1.
A questo punto il matematico Cartesio (1596-1650) avrebbe disegnato così nel sistema cartesiano il grafico della funzione irrazionale radice quadrata di x
Questa visione probabilmente non passò alla storia come vincitrice.
Ciò era dovuto alla creazione nel mondo matematico di un nuovo concetto: la funzione.
La funzione era definita come una relazione che associava ad un certo elemento uno ed un solo altro elemento.
Quindi riferendoci alla funzione irrazionale, se individuiamo il numero 1, possiamo associare una ed una sola radice quadrata, ovvero 1
RADICE QUADRATA DI MENO UNO E LA TEORIA DEI NUMERI COMPLESSI
Il ragionamento di Rafael Bombelli continuò anche su un’altra questione.
Quanto valeva la radice quadrata di –1 ?
Nella teoria ormai consolidata non era possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo.
Tutti i numeri che venivano elevati alla seconda davano sempre come risultato un positivo.
Bombelli creò allora una unità detta unità immaginaria il cui quadrato vale proprio –1.
In questo modo la stessa unità immaginaria poteva essere la radice quadrata di –1
Questo ragionamento diede vita alla teoria dei numeri complessi
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