La somma per differenza è un particolare prodotto notevole del tipo (A+B)(A–B), in cui abbiamo una somma di elementi che moltiplica la differenza degli stessi.
$$ (A+B)(A-B) $$
Il risultato della somma per differenza è una differenza di quadrati.
$$ (A+B)(A-B) = A^2 – B^2 $$
In particolare otteniamo il quadrato del termine che non cambia meno il quadrato del termine che cambia di segno.
ESEMPI DI SOMMA PER DIFFERENZA
Consideriamo i seguenti esempi :
$$ \begin{array}{ccc} (x+2)(x-2) & (2x+3)(2x-3) & (5x+4)(5x-4) \\ (3a-7b)(3a+7b) & \left( \frac{2}{3}ax -z\right) \left( \frac{2}{3}ax +z\right) & \end{array} $$
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI
Data la semplicità dei calcoli riporto direttamente i risultati
$$ \begin{array}{ccccc} (x+2)(x-2) &=& x^2-2^2 &=& x^2-4 \\ (2x+3)(2x-3) &=& (2x)^2 – 3^2 &=& 4x^2-9 \\ (5x+4)(5x-4) &=& (5x)^2 -4^2 &=& 25x^2 -16 \end{array} $$
Ricordiamo bene che nei numeri reali il prodotto gode della proprietà commutativa, pertanto:
$$ (A+B)(A-B) = (A-B)(A+B) $$
In questi esempi vediamo quanto appena detto:
$$ \begin{array}{ccccc} (3a-7b)(3a+7b) &=& (3a)^2 – (7b)^2 &=& 9a^2 -49 b^2 \\ \left( \frac{2}{3}ax -z\right) \left( \frac{2}{3}ax +z\right) &=& \left( \frac{2}{3}ax \right)^2 -z^2 &=& \frac{4}{9} a^2x^2 -z^2 \end{array} $$
ATTENZIONE ALLA REGOLA DELLA SOMMA PER DIFFERENZA
Attenzione che la regola della somma per differenza ci dice che nei polinomi che si moltiplicano dobbiamo fare:
Il quadrato del termine che non cambia meno il quadrato del termine che cambia (di segno)
Questo indipendentemente dall’ordine che abbiamo.
Sono ancora esempi i seguenti:
ESEMPIO 1
Se guardiamo bene il primo tra i due esempi:
$$ (-3x-y)(-3x+y) $$
Notiamo che il termine che non cambia di segno è –3x
Mentre la y cambia il suo segno:
Dunque applicando la regola abbiamo che:
$$ (-3x)^2 -y^2 = 9x^2 -y^2 $$
ESEMPIO 2
Osserviamo ora il secondo esempio proposto:
$$(5x-3y)(3y+5x)$$
Non lasciamoci ingannare dalla posizione degli elementi, perché questa è una somma per differenza.
Infatti il termine che non cambia di segno è 5x, mentre 3y cambia.
Per la proprietà commutativa della somma possiamo anche riscrivere la seconda parentesi con gli addendi invertiti.
$$ (5x-3y)(5x-3y)$$
Ora non c’è il minimo dubbio su come procedere:
$$ (5x)^2-(3y)^2 = 25x^2 -9y^2 $$
REGOLA DELLA SOMMA PER DIFFERENZA
In principio abbiamo detto che sviluppando una somma per differenza perveniamo ad una differenza di quadrati.
La regola è dunque la seguente
$$(A+B)(A-B)= A^2-B^2 $$
Come facciamo a dimostrare questa regola?
Per farlo è semplicissimo e basta semplicemente fare la moltiplicazione tra i due polinomi:
Moltiplichiamo dunque ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio:
$$ (A+B)(A-B)= \\ A^2-AB+BA-B^2 $$
Ricordiamo che il prodotto è commutativo dunque AB = BA
$$ (A+B)(A-B)= \\ A^2-AB+AB-B^2 $$
Andiamo ora a semplificare i termini uguali e opposti +AB–AB
$$ A^2 \color{red}{-AB+AB}-B^2= A^2-B^2 $$
Otteniamo la regola cercata!
VISUALIZZAZIONE GEOMETRICA DELLA SOMMA PER DIFFERENZA
Possiamo immaginare che la somma per differenza
$$(A+B)(A-B) $$
Sia pari all’area di un rettangolo che ha dimensioni pari a:
$$ (A-B) \quad \text{e} \quad (A+B) $$
Partiamo immaginando due segmenti di lunghezze A e B
Costruiamo poi altri due segmenti: somma (A+B) e differenza (A–B)
Infine andiamo a costruire un rettangolo che ha per dimensioni i segmenti di lunghezza A+B e A–B.
Come è possibile che l’area di questo rettangolo sia pari a
$$A^2-B^2 $$
Questa ultima la possiamo immaginare come l’area della differenza di due quadrati, uno con lato A e l’altro con lato B
L’area contornata di giallo mostrata nella figura sotto
Scomponiamo ora l’area gialla in tre rettangoli che avranno aree pari a:
$$ B(A-B) \quad (A-B)B \quad (A-B)^2 $$
Che per comodità chiamiamo:
$$ R_1 \quad R_2 \quad R_3 $$
Ruotiamo ora il triangolo R2 di 90 gradi e affianchiamolo perfettamente al triangolo R3.
Ecco che abbiamo trovato un rettangolo che ha per dimensioni proprio (A+B) e (A–B)
Risulta verificata quindi l’uguaglianza:
$$(A+B)(A-B) = A^2-B^2$$
LA SOMMA PER DIFFERENZA APPLICATA AI NUMERI
Ma siamo davvero sicuri che la regola per la somma per differenza sia esatta ?
Per quelli più scettici di noi possiamo prendere delle moltiplicazioni numeriche per testare la regola.
Cominciamo da tre operazioni di moltiplicazioni molto semplici:
$$ 3 \cdot 1 \quad 7 \cdot 3 \quad 10 \cdot 1 $$
PRIMO ESEMPIO
Partiamo dal primo caso:
$$ 3 \cdot 1 = 3 $$
E su questo non ci piove!
Possiamo rileggere questa operazione come:
$$ (2+1)(2-1)$$
Applicando la regola della composizione, otteniamo il quadrato di 2 meno il quadrato di 1, che ci da proprio 3.
$$ (2+1)(2-1) = 2^2 -1^2 = 4-1 = 3$$
Adesso che abbiamo capito il meccanismo vediamo anche gli altri due esempi.
SECONDO ESEMPIO
Per il secondo esempio abbiamo che:
$$ 7 \cdot 3 = 21 $$
Possiamo riscrivere il prodotto in questo modo:
$$ (5+2)(5-2) = 5^2 -2^2 = 25-4 = 21$$
TERZO ESEMPIO
Mentre per il terzo esempio:
$$ 10 \cdot 2 = 20 $$
Possiamo riscrivere il prodotto in questo modo:
$$ (6+4)(6-4) = 6^2-4^2 = 36-16 = 20 $$
Quando conosciamo che una regola funziona la possiamo anche applicare a casi più complicati:
$$ \begin{array}{ccccccc} 17 \cdot 23 &=& (20-3)(20+3) &=& 20^2 -3^2 &=& 400-9 = 391 \\ 94 \cdot 106 &=& (100-6)(100+6) = 100^2 -6^2 = 10.000 -36 = 9.964 \\ 213 \cdot 187 = (200+13)(200-13) = 200^2 -13^2 = 40.000-169 = 39.831 \end{array}$$
SOMMA PER DIFFERENZA CON I POLINOMI
La regola della somma per differenza:
$$ (A+B)(A-B)= A^2 -B^2 $$
Può essere applicata anche con i polinomi:
Prendiamo in esami il seguente caso di moltiplicazione polinomiale:
$$ (2a-b+3c-d)(2a-b+3c-d) $$
Ricordiamo che la regola ci dice:
Quadrato del termine che non cambia meno quadrato del termine che cambia (di segno).
Dunque separiamo i termini che non cambiano da quelli che cambiano:
$$ (\color{red}{2a} \color{blue}{-b+3c} \color{red}{-d})(\color{red}{2a} \color{blue}{-b+3c} \color{red}{-d}) = \\ ( \color{red} {2a-3d} )^2 – ( \color{blue}{b-3c})^2 = $$$$
Per ultimo non ci resta che calcolare i due quadrati di binomio
$$ (4a^2-12ad+9d^2) – (b^2-6bc +9c^2) $$
Ovviamente possiamo rimuovere le parentesi (con cambi eventuali di segno).
SCOMPOSIZIONE DELLA DIFFERENZA DI QUADRATI IN UNA SOMMA PER DIFFERENZA
Dalla regola per lo sviluppo :
$$ (A+B)(A-B) = A^2-B^2 $$
Possiamo ricavare la regola per la scomposizione della differenza di quadrati, semplicemente leggendo al contrario la formula:
$$ A^2 – B^2 = (A+B)(A-B) $$
Se un testo presenta una differenza tra due quadrati possiamo riscriverlo come la somma per la differenza delle radici dei quadrati
Ad esempio se abbiamo:
$$ 4x^2 -9 $$
Notiamo che:
$$ \text{$4x^2$ è il quadrato di $2x$} \\ \text{$9$ è il quadrato di $3$} $$
Dunque:
$$ 4x^2-9 = \\ (2x)^2-3^2 = \\ (2x+3)(2x-3) $$
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