PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Un portafoglio con due titoli è un insieme formato da due titoli finanziari (azioni o obbligazioni).

Le caratteristiche fondamentali che ci interessa analizzare di tale portafoglio sono il rischio e il rendimento.

È possibile calcolare tali valori a partire dal tasso di rendimento, dal tasso di rischio dei loro titoli e dalla correlazione esistente tra tali titoli.

È possibile calcolare questi dati primari attraverso un’analisi ex post, oppure un’analisi ex ante.

PORTAGLIO DI TITOLI

Un portafoglio di titoli è un insieme composto da un certo numero di titoli di varia natura (azioni e obbligazioni principalmente).

Ad esempio se noi avessimo a disposizione 1.000 euro potremmo investirne:

• 200 euro in Bund tedeschi
• 300 euro in obbligazioni della Mc Donald’s
• 100 euro in oro
• 150 in azioni Saipem
• 200 euro in Bitcoin
• 50 euro in Ethereum

In questo caso le quote percentuali che sono presenti all’interno del nostro portafoglio titoli sono:

• 20% in Bund tedeschi
• 30% in obbligazioni della Mc Donald’s
• 10% in oro
• 15% in azioni Saipem
• 20% euro in Bitcoin
• 5% euro in Ethereum

Cosa ci interessa sapere di un portafoglio?

Certamente le caratteristiche più importanti da valutare in un portafoglio sono ilrischio e il rendimento.

Che sono anche le caratteristiche di un singolo titolo.

La cosa che rende più complesso il calcolo è il fatto che l’andamento di un titolopresente in un portafoglio può essere influenzato dall’andamento di un altro titolo.

Per questo motivo dobbiamo valutare anche la covarianza e la correlazione presente tra ogni coppia di titoli del portafoglio.

PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Il modo migliore per cominciare a studiare i portafogli è quello di considerare ilportafoglio più semplice.

Ovvero quello composto da due soli titoli.

Immaginiamo di aver già fatto un’analisi (ex ante oppure ex post) che ci permettono di avere le informazioni sul rendimento medio e sulla volatilità (rischio) dei due titoli A e B.

$$ r_A, r_B: \text{ tassi di rendimento dei titoli A e B} \\ \sigma_A, \sigma_B: \text{ volatilità, rischio o deviazione standard dei titoli A e B }$$

E immaginiamo anche di avere a disposizione la covarianza tra i rendimenti dei due titoli:

$$ \sigma_{AB}: \text{ covarianza tra i rendimenti di A e B}$$

Ricordiamo inoltre che la covarianza è data dal prodotto delle deviazioni standard per la correlazione lineare (ρ)

$$ \sigma_{AB} = \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot \rho_{AB} $$

Dunque potremmo anche possedere la correlazione anziché la covarianza.

Se rappresentiamo graficamente questa situazione nel grafico rischio-rendimento abbiamo una rappresentazione di questo tipo:

Per costruire un qualsiasi portafoglio tra questi due titoli servono inoltre le quote percentuali di A e B.

Al variare di tali quote di portafogli cambierà anche il rendimento e la volatilità (rischio) del portafoglio stesso.

$$ x_A, x_B: \text{ quote percentuali dei titoli A e B}

RENDIMENTO E RISCHIO DI UN PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Il tasso di rendimento di un portafoglio con due titoli dipende sai tassi di rendimento e dalle quote del portafoglio.

In particolare può essere calcolato come la media dei rendimenti dei titoli ponderata per le quote.

In formula matematiche possiamo anche scrivere:

$$ r_P = r_A \cdot x_A + r_B \cdot x_B $$

Per quanto riguarda invece la deviazione standard (rischio del portafoglio) in generale non vale la stessa cosa.

La deviazione standard non è la media delle deviazione standard dei titoli ponderata per le quote:

$$ \sigma_P \color{red}{\ne} \sigma_A \cdot x_A + \sigma_B \cdot x_B \quad \color{red}{\text{attenzione!}}$$

Possiamo invece calcolare la deviazione standard come la radice quadrata della varianzadel portafoglio.

Tale varianza è data dalla sommatoria delle varianze dei titoli ponderata per i quadrati delle quote cui si aggiunge il doppio prodotto della covarianza per le quote.

$$ \sigma^2_P = \sigma^2_A \cdot x^2_A + \sigma^2_B \cdot x^2_B + 2 \cdot \sigma_{AB} \cdot x_A \cdot x_B$$

Ricordando la relazione che lega la covarianza alla correlazione:

$$ \sigma_{AB} = \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot \rho_{AB} $$

Possiamo riscrivere la varianza anche come:

$$ \sigma_P =\sqrt{ \sigma^2_A \cdot x^2_A + \sigma^2_B \cdot x^2_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot \rho_{AB} \cdot x_A \cdot x_B} $$

Dunque la deviazione standard o rischio del portafoglio è:

$$ \sigma_P =\sqrt{\sigma_P^2}= \sqrt{\sigma^2_A \cdot x^2_A + \sigma^2_B \cdot x^2_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot \rho_{AB} \cdot x_A \cdot x_B} $$

In un portafoglio in cui sono presenti solamente due titoli deve per forza valere la relazione per cui la somma delle quote percentuali sia pari al 100% ovvero 1:

$$ x_A +x_B = 1$$

Quindi possiamo anche leggere la quota del titolo B come:

$$ x_B ^=1-x_A$$

In tal caso la formula del rendimento medio diventa:

$$ r_P = r_A \cdot x_A + r_B \cdot x_B $$

Mentre la formula della deviazione standard:

$$ \sigma_P = \sqrt{\sigma^2_A \cdot x^2_A + \sigma^2_B \cdot x^2_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot \rho_{AB} \cdot x_A \cdot x_B} $$

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ESEMPIO DI COSTRUZIONE DI UN PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Vogliamo costruire un portafoglio con due titolo A e B che contenga il 70% del titolo A.

A tal proposito riportiamo le informazioni riguardo all’andamento degli ultimi 12 mesi:

Grazie all’analisi ex-post è possibile calcolare il rendimento medio e la volatilità dei due titoli.

In particolare i rendimenti medi sono pari a:

$$ r_A = 5,24\% \quad r_B = 2,81\%$$

Mentre la volatilità risulta:

$$ \sigma_A = 10,58\% \quad \sigma_B = 4,52\%$$

Per quanto riguarda la correlazione tra i due titoli, calcolata come:

$$ \rho_{AB} = \frac{\sigma_{AB}}{\sigma_A \cdot \sigma_B} \\ = \frac{\frac{\sum r_{At} \cdot r_{Bt}}{n-1} – r_A \cdot r_B \cdot \frac{n}{n-1}}{\sqrt {\frac{\sum r^2_{At} }{n-1} – r^2_A \cdot \frac{n}{n-1} } \cdot \sqrt{ \frac{\sum r^2_{Bt} }{n-1} – r^2_B \cdot \frac{n}{n-1} }}$$

Applicando la formula troviamo:

$$ \rho_{AB} = 0,1482$$

A questo punto vogliamo costruire un portafoglio che contenga il 70% di quote del titolo A.

Quindi possiamo dire che le quote dei titoli sono:

$$ x_A = 0,70 \quad x_B = 0,30 $$

Per calcolare il tasso di rendimento atteso del portafoglio usiamo la formula

$$ r_P = r_A \cdot x_A + r_B \cdot x_B $$

Inserendo i dati otteniamo:

$$ r_P = 5,23\% \cdot 0,70 + 2,81\% \cdot 0,30 = 4,50\% $$

Per quanto riguarda la volatilità usiamo la formula:

$$ \sigma_P = \sqrt{\sigma^2_A \cdot x^2_A + \sigma^2_B \cdot x^2_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot \rho_{AB} \cdot x_A \cdot x_B} $$

Inseriamo i dati:

$$ \sigma_P =\sqrt{0,1058^2 \cdot 0,70^2 + 00452^2 \cdot 0,30^2 + 2 \cdot 0,1058 \cdot 0,0452 \cdot 0,1482 \cdot 0,70 \cdot 0,30} =\\ = 0,0773 = 7,73\%$$

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Possiamo rappresentare questa situazione nel grafico rischio-rendimento.

Se modifichiamo le quote del portafoglio possiamo ottenere quella che si chiama la frontiera dei portafoglio.

Ipotizzando dunque gli stessi dati di partenza, ovvero:

$$ \text{titolo A:} \quad r_A= 5,23\% \quad \sigma_A = 10,58\% \\ \text{titolo B:} \quad r_B=2,81\% \quad \sigma_A = 4,52\% $$

Vediamo cosa succede quando la quota di portafoglio del titolo A, varia assumendo i valori:

$$ 0\% \quad 10\% \quad 20\% \quad 30\% \quad \dots \quad 90\% \quad 100\% $$

Riportiamo i dati relativi ai calcoli.

È possibile visualizzare questo insieme di portafogli come una frontiera di portafogli.

La forma di questa frontiera assomiglia molto ad una parabola rovesciata.

In realtà andremo a mostrare nell’articolo sulla frontiera che la sua forma dipende dalla correlazione esistente tra i titoli.

HAI QUALCHE DOMANDA SUL PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI?

Se hai qualche domanda sui portafogli con due titoli scrivila nei commenti.

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