RENDIMENTO E VARIANZA DI UN PORTAFOGLIO

Per calcolare il rendimento e la varianza di un portafoglio dobbiamo tenere presente i rendimenti, i rischi, le correlazioni e le quote dei titoli presenti nel portafoglio.

RENDIMENTO E VARIANZA DI UN PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Partiamo dal caso più semplice di portafoglio, ovvero quello che contiene due titoli.

Per calcolare il rendimento del portafoglio usiamo la formula:

$$ r_P = r_A \cdot x_A + r_B \cdot x_B \\ r_P = \text{ rendimento del portafoglio P} \\ r_A,r_B = \text{ rendimenti dei due titoli A e B} \\ x_A,x_B = \text{ quote dei due titoli A e B} $$

Mentre per calcolare la varianza possiamo usare la seguente formula:

$$ \sigma^2_P = \sigma^2 _A \cdot x_A + \sigma^2_B \cdot x_B + 2 \cdot \sigma_{AB} \cdot X_A \cdot x_B \\ \sigma^2_P = \text{ varianza del portafoglio P} \\ \sigma^2 _A, \sigma^2_B = \text{ varianze dei titoli A e B} \\ x_A,x_B = \text{ quote dei due titoli A e B} \\ \sigma^2_{AB} = \text{ covarianza tra i titoli A e B} $$

Ricordando il fatto che la covarianza tra i rendimenti dei titoli è data dal prodotto delle deviazioni standard per la correlazione:

$$ \sigma_{AB} = \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot \rho_{AB} \\ \rho_{AB}= \text{ correlazione tra i titoli A e B }$$

Possiamo riscrivere la formula della varianza del portafoglio nel seguente modo:

$$ \sigma^2_P = \sigma^2_A \cdot x_A + \sigma^2_B \cdot x_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot \rho_{AB} \cdot X_A \cdot x_B $$

La volatilità del portafoglio, nota meglio come deviazione standard, è la radice quadrata della varianza.

$$ \sigma_P = \sqrt {\sigma^2_P} $$

ESEMPIO DI RENDIMENTO E VARIANZA DI UN PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Prendiamo in considerazione due titoli con le seguenti caratteristiche:

$$ \text{totolo A: } r_A = 3\% \quad \sigma_A = 2\% \\ \text{totolo B: } r_A = 6\% \quad \sigma_A = 7\% $$

Sappiamo inoltre che la loro correzione è pari a:

$$ \rho_{AB}= 0,65 $$

Vogliamo calcolare il rendimento, la varianza e la deviazione standard del portafoglio con le seguenti quote:

$$ x_A = 0,30 \quad x_B= 0,70$$

Per quanto riguarda il rendimento abbiamo che

$$ r_P = r_A \cdot x_A + r_B \cdot x_B $$

Ovvero:

$$ r_P =3\% \cdot 0,30 + 6\% \cdot 0,70 = 5,1\% $$

Mentre se vogliamo calcolare la varianza del portafoglio usiamo la formula:

$$ \sigma^2_P = \sigma^2_A \cdot x_A + \sigma^2_B \cdot x_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot rho_{AB} \cdot X_A \cdot x_B $$

Inserendo i dati otteniamo:

$$ \sigma^2_P = 0,02^2 \cdot 0,30^2 + 0,07^2 \cdot 0,70^2 + 2 \cdot 0,02 \cdot 0,07 \cdot 0,65 \cdot 0,30 \cdot 0,70 \\ \sigma^2_P = 0,002445$$

A questo punto per calcolare la deviazione standard o rischiosità del portafoglio mettiamo sotto radice quadrata la varianza:

$$ \sigma_P = \sqrt {\sigma^2_P} = \sqrt{0,002445} = 4,944\%$$

PORTAFOGLIO CON PIU’ DI DUE TITOLI

Come generalizzare la situazione quando abbiamo a disposizione più di due titoli.

Andiamo a vedere quindi come calcolare il rendimento, la varianza e la volatilità (deviazione standard) di un portafoglio con n titoli.

Il tasso di rendimento del portafoglio è la media dei rendimenti dei titoli ponderata per le quote presenti nel portafoglio.

$$ r_P = \sum_{i=1}^n r_i \cdot x_i \\ r_i = \text{ rendimenti dei titoli} \\ x_i = \text{ quote dei titoli} $$

Mentre per quanto riguarda la varianza del portafoglio è la media delle varianze ponderata per i quadrati delle quote sommata al doppio del prodotto dei rischi ponderata per le correlazioni e le quote.

$$ \sigma^2_P = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \cdot x_i^2 + 2 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \rho_{ij} \cdot x_i \cdot x_j$$

Consideriamo un portafoglio con tre titoli di cui riportiamo le caratteristiche:

Le correlazioni tra i tre titoli sono inoltre:

$$ \rho_{12}= 0,28 \quad \rho_{13}= -0,30 \quad \rho_{23}= 0,80 $$

Calcoliamo in primo luogo il tasso di rendimento del portafoglio:

$$ r_P = 3\% \cdot 0,25 + 4\% \cdot 0,30 + 6\% \cdot 0,45 = 4,65\%$$

In secondo luogo passiamo alla varianza:

$$ \sigma^2_P = (0,025^2 \cdot 0,25^2 + 0,04^2 \cdot 0,30^2 + 0,07^2 \cdot 0,45^2) +\\+ 2 \cdot (0,025 \cdot 0,04 \cdot 0,28 \cdot 0,25 \cdot 0,30 +0,025 \cdot 0,07 \cdot (-0,30) \cdot 0,25 \cdot 0,45 +\\+0,04 \cdot 0,07 \cdot 0,80 \cdot 0,30 \cdot 0,45) \\ \\ \sigma^2_P = 0,001704 $$

Da cui possiamo facilmente calcolare la deviazione standard o il rischio del titolo, facendo la radice quadrata:

$$ \sigma_P = \sqrt {\sigma^2_P} = \sqrt{0,001704} = 4,128\%$$

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RENDIMENTO E VARIANZA DI UN PORTAFOGLIO CON LE MATRICI

Le matrici offrono un modo certamente singolare per affrontare la questione del rendimento e della varianza di un portafoglio.

RENDIMENTO DI UN PORTAFOGLIO

Per calcolare il rendimento di un portafoglio ci servono il vettore dei rendimenti e il vettore delle quote di portafoglio:

$$ r = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \cdots \\ r_i \\ \cdots \\ r_n \end{pmatrix} \quad x= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_i \\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix} $$

Se andiamo a fare il prodotto scalare tra questi due vettori (riga per colonna) otteniamo proprio il rendimento del portafoglio.

Da notare che se i due vettori sono scritti in riga per rappresentare il primo vettore in riga dobbiamo fare il trasposto:

$$ r_P = x^T \cdot r $$

In questo caso non importa l’ordine con cui facciamo il prodotto.

L’importante è che il primo sia scritto in riga, mentre il secondo in colonna.

$$ r_P = x^T \cdot r = r^T \cdot x$$

Per un rapido ripasso sulle operazioni tra matrici scopri l’articolo correlato.

Per una più ampia visione dell’argomento algebra lineare scopri il corso.

VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD DI UN PORTAFOGLIO

Quando vogliamo calcolare la varianza le cose si fanno un po’ più complicate in quanto dobbiamo utilizzare delle matrici.

La matrice che ci serve per tale opera è quella delle varianze e delle covarianze.

$$ Q=\begin{pmatrix} \sigma^2_1 & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1j} & \cdots & \sigma_{1n} \\ \sigma_{21} & \sigma^2_{2} & \cdots & \sigma_{2j} & \cdots & \sigma_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sigma_{i1} & \sigma_{i2} & \cdots & \sigma^2_{i} & \cdots & \sigma_{in}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \cdots & \sigma_{nj} & \cdots & \sigma^2_{n} \end{pmatrix}$$

ed il vettore x delle quote.

Per ottenere la varianza di un portafoglio andiamo a moltiplicare il vettore trasposto delle quote per la matrice Q delle varianze e covarianze per il vettore delle quote:

MATRICE DELLE VARIANZE

La matrice delle varianze viene calcolata a partire dai rendimenti storici dei titoli:

$$ Q = \frac{1}{m} \cdot(R-\bar R) \cdot (R- \bar R)^T \\ m= \text{ numero di rilevazioni} \\ R= \text{ matrice dei rendimenti $(m \times n)$} \\ \bar R = \text{ matice dei rendimenti medi $(m \times n)$ } \\ R-\bar R = \text{ matrice degli scarti dei rendimenti $(m \times n)$ } $$

Oppure anche come:

$$ Q = \frac{1}{m} \cdot(R \cdot R^T – \bar R \cdot \bar R^T )$$

Tale matrice delle varianze è inoltre collegata alla matrice delle correlazioni, mediante la matrice degli scarti dei titoli.

Se P è la matrice delle correlazioni:

$$ P=\begin{pmatrix} 1 & \rho_{12} & \cdots & \rho_{1j} & \cdots & \rho_{1n} \\ \rho_{21} & 1 & \cdots & \rho_{2j} & \cdots & \rho_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \rho_{i1} & \rho_{i2} & \cdots & 1 & \cdots & \rho_{in}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \rho_{n1} & \rho_{n2} & \cdots & \rho_{nj} & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$

E la matrice S è quella degli scarti o deviazioni standard dei titoli (scritti sulla diagonale principale):

$$ S=\begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_2 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma_i & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & \sigma_n \end{pmatrix}$$

Allora è possibile scrivere la matrice delle varianze Q come:

$$ Q = S \cdot P \cdot S $$

Da cui possiamo anche ricavare la matrice P delle correlazioni come:

$$ P = S^{-1} \cdot Q \cdot S^{-1} $$

Sviluppando la formula della varianza del portafoglio vista in precedenza:

$$ \sigma^2_P = x^T \cdot Q \cdot x $$

 la possiamo riscrivere anche così:

$$ \sigma^2_P = x^T \cdot S \cdot P \cdot S \cdot x $$

ESEMPIO DEL CALCOLO DEL RENDIMENTO DELLA VARIANZA CON LE MATRICI

Consideriamo il portafoglio di tre titoli visto in precedenza.

Riportiamone ancora una colta tutte le caratteristiche:

Sapevamo inoltre che le correlazioni erano:

$$ \rho_{12} =0,28 \quad \rho_{13} =-0,30 \quad \rho_{23} =0,80$$

Da cui possiamo scrivere i vettori dei rendimenti e delle quote.

$$ r = \begin{pmatrix} 0,03 \\ 0,04 \\ 0,06 \end{pmatrix} \quad x= \begin{pmatrix} 0,25 \\ 0,30 \\ 0,45 \end{pmatrix} $$

Il tasso di rendimento del portafoglio può dunque essere calcolato come:

$$ r_P = x^T \cdot r = \begin{pmatrix} 0,25 & 0,30 & 0,45 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,03 \\ 0,04 \\ 0,06 \end{pmatrix} = 0,0465 = 4,65\% $$

Passiamo ora alla volatilità (rischio) del portafoglio.

In questo caso ci servono le seguenti matrici:

•  x: vettore quote (che abbiamo già)
• S: matrice degli scarti
• P: matrice delle correlazioni

$$ S = \begin{pmatrix} 0,025 &0&0 \\ 0&0,04&0 \\ 0&0&0,07 \end{pmatrix} \quad P= \begin{pmatrix} 1 & 0,28 & -0,30 \\ 0,28 & 1 & 0,80 \\ -0,30 & 0,80 & 1 \end{pmatrix} $$

per calcolare la varianza del portafoglio usiamo la formula:

$$ \sigma^2_P = x^T \cdot S \cdot P \cdot S \cdot P $$

$$ \sigma^2_P = \begin{pmatrix} 0,25 & 0,30 & 0,45 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,025 &0&0 \\ 0&0,04&0 \\ 0&0&0,07 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0,28 & -0,30 \\ 0,28 & 1 & 0,80 \\ -0,30 & 0,80 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,025 &0&0 \\ 0&0,04&0 \\ 0&0&0,07 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,25 \\ 0,30 \\ 0,45 \end{pmatrix} \\ \\ \sigma^2_P = 0,001704$$

Ovviamente la deviazione standard o il rischio del titolo è la radice quadrata della varianza

$$ \sigma_P = \sqrt{\sigma^2_P} = \sqrt{0,001704} = 4,128\%$$

CALCOLI DEL RENDIMENTO E DELLA VARIANZA DI PORTAFOGLIO CON EXCEL

Un modo certamente indolore per calcolare rendimento, varianza e rischio è quello di utilizzare Excel.

Ammesso che tutti i vettori siamo scritti in colonna il calcolo del rendimento di portafoglio è:

$$= \text{MATR.PRODOTTO(MATR.TRASPOSTA (< quote>) ; <rendimenti> )}$$

Ricordiamoci di fare Ctrl + Shift + Invio al termine dell’operazione.

Se vogliamo invece calcolare la varianza, dopo aver costruito le matrici dei rischi e delle correlazioni possiamo prima calcolare la matrice delle varianze.

Ricordiamo la formula:

$$ Q = S \cdot P \cdot S $$

Con Excel scriviamo la seguente formula:

$$= \text{MATR.PRODOTTO(MATR.PRODOTTO(< matr. dev.st.> ; < matr. correl.> ) ; < matr. dev.st.> )}$$

Ricordiamoci sempre il  Ctrl + Shift + Invio al termine dell’operazione.

Nel nostro caso la matrice Q risulta:

$$ Q = S \cdot P \cdot S = \begin{pmatrix} 0,000625 & 0,00028 & -0,000525 \\ 0,00028 & 0,0016 & 0,00224\\ -0,000525 & 0,00224 &0,0049 \end{pmatrix} $$

Una volta che abbiamo trovato la matrice Q delle varianze e covarianze possiamo andare a calcolare la varianza del portafoglio mediante la formula:

$$ \sigma^2_P = x^T \cdot Q \cdot x $$

In Excel inseriamo dunque:

$$= \text{MATR.PRODOTTO(MATR.PRODOTTO( MATR.TRASPOSTA ( vet. quote );< matr. dev.st.> ) ; < vett. quote> )}$$

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