La funzione valore assoluto o modulo è una relazione o funzione che associa ad ogni numero reale x il suo valore assoluto o modulo.
Si presenta nella forma:
Dove le due stanghette verticali che si trovano prima e dopo la x descrivono l’operazione di modulo o valore assoluto.
Ricordiamo che mettere una quantità in modulo o valore assoluto significa descrivere quella quantità positiva, ovvero ne consideriamo solo il lato geometrico”
Ad esempio:
Questa funzione viene rappresentata graficamente come una sorta di lettera V passante per l’origine:
Possiamo subito notare quattro cose importanti guardando il grafico di questa funzione.
La prima è che è definita per ogni x reale, ovvero che il suo dominio coincide con R.
Questo significa che possiamo calcolare il modulo di qualsiasi numero.
La seconda è che il valore della funzione (misurato sull’asse y) non scende mai al di sottodell’asse delle x.
Questo significa che il modulo di un numero non è mai negativo!
La terza cosa che notiamo è che la funzione passa per l’origine (0,0)
Questo significa che il modulo di zero vale zero
La quarta cosa impossibile da non notare è la simmetria di questa funzione, rispetto all’asse delle y.
Questo significa che il modulo (o valore assoluto) di un numero è uguale al modulo dell’opposto del numero:
VALORE ASSOLUTO E BISETTRICI CARTESIANE
Nella parte di piano dove le x (argomento del modulo) sono maggiori o uguali a zero(x>=0) la funzione modulo viene rappresentata dalla retta bisettrice del primo e del terzoquadrante:
Detto in termini matematici possiamo anche se scrivere che:
Mentre nella parte di piano dove le x (argomento) sono negative (x<=0) la funzione valore assoluto coincide con la retta:
che è la bisettrice del secondo e del quarto quadrante.
Matematicamente scriviamo che:
Possiamo riassumere tutte le scritture che abbiamo detto fino ad ora con questa unica scrittura per la funzione modulo o valore assoluto di x:
Mostriamo graficamente questo che abbiamo appena detto
Per indicare chiaramente che il modulo di zero vale zero, e che quindi questa funzione passa per l’origine (0,0) possiamo utilizzare anche la seguente scrittura:
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COSTRUIRE LA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO O MODULO DI X
Abbiamo visto quali sono le caratteristiche principali della funzione modulo di x, come è rappresentata e come si può analizzarla.
Adesso torniamo al principio e vediamo come costruirla da zero.
La funzione modulo o valore assoluto è una funzione o relazione che associa ad ogni numero il suo valore assoluto o modulo.
Dobbiamo quindi avere ben chiaro come funziona l’operazione di valore assoluto.
Andiamo quindi ad applicare tale operazione su alcuni numeri elementari ad esempio dallo 0 al 10:
Riportiamo ora i valori trovati all’interno di una tabella e andiamo a rappresentare sul grafico cartesiano i primi punti della nostra funzione valore assoluto o modulo
Come possiamo facilmente i punto che abbiamo rappresentato si trovano esattamente sulla retta bisettrice del primo e del terzo quadrante:
Adesso continuiamo la compilazione dei punti della funzione calcolando il valore assoluto di quantità negative.
Per comodità consideriamo i valori interi da –1 a –10:
Gli ultimi punti rappresentati in corrispondenza delle ascisse negative sono allineati su una retta decrescente, che è la bisettrice del terzo e del quarto quadrante:
Possiamo dunque riscrivere meglio l’equazione della funzione modulo di x:
Letteralmente potremmo leggere:
L’equazione della funzione modulo di x o valore assoluto di x è:
- y=x quando le x sono maggiori o uguali a zero
- y=–x quando le x sono negative
Se vogliamo meglio specificare il fatto che la funzione passa per l’origine, ovvero che il modulo di zero vale zero possiamo anche scrivere:
CARATTERISTICHE DELLA FUNZONE VALORE ASSOLUTO O MODULO
Come abbiamo visto la funzione modulo o valore assoluto:
non è particolarmente difficile da rappresentare e interpretare.
Adesso andiamo ad elencare alcune tra le principali caratteristiche di questa funzione in termini id studio di funzione:
- Dominio
- Intersezioni
- simmetrie
- Segno (positività) e immagine
- Limiti e continuità
- Derivata prima e derivabilità
DOMINIO DELLA FUNZIONE MODULO O VALORE ASSOLUTO
Il dominio della funzione modulo è tutto R.
Questo significa che scelto un numero reale qualsiasi possiamo calcolare il suo valore assoluto:
INTERSEZIONI CON GLI ASSI
La funzione modulo o valore assoluto interseca contemporaneamente gli assi cartesiani nell’origine (0,0).
Questo fatto ha un chiaro significato.
Dal un lato che il valore della funzione calcolata in zero vale zero e ciò equivale a dire che il modulo di zero vale zero.
Dall’altro lato significa che il valore del modulo nullo corrisponde al fatto che l’argomento deve per forza vare zero
SIMMETRIE DELLA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO O MODULO
Un altro aspetto che salta certamente all’occhio della funzione modulo:
è la sua simmetria rispetto all’asse delle y (retta x=0)
Detto in linguaggio più “matematichese” la funzione è pari ovvero:
Questo significa che se applichiamo il valore assoluto ad un certo numero x otteniamo un risultato identico a quando applichiamo il valore assoluto (modulo) all’opposto del numero:
CONTINUTA’ DELLA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO
La funzione modulo o valore assoluto risulta continua in tutti i punti.
Questo significa che in ogni punto il limite destro e quello sinistro coincidono con il valore della funzione:
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LIMITI DELLA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO (MODULO)
Abbiamo detto che il dominio della funzione valore assoluto è tutto R, ovvero:
Dunque i limiti che ci interessando calcolare sono verso il meno infinito e il più infinito:
Essendo che la x sta tendendo al meno infinito possiamo anche scrivere la funzione come:
Dunque possiamo anche scrivere così:
Allo stesso modo possiamo calcolare il limite per x tendente a più infinito, ricordando che la funzione modulo di x diventa per le x positive:
Quello che notiamo è che il valore del limite è determinato e da lo stesso valore: più infinito
Se vogliamo usare una scrittura più estesa possiamo anche scrivere così:
DERIVATA PRIMA DELLA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO
Qual è la derivata prima della funzione valore assoluto ?
Un modo certamente intelligente per analizzare il problema è riscrivere la funzione modulo in questo modo:
Applichiamo dunque il processo di derivazione con le regole in ognuno dei tre intervalli:
Infatti la modulo di x è rappresentata dalla bisettrice del secondo e quarto quadrante nelle x negative dove il coefficiente angolare è costante e pari a –1.
Mentre per le ascisse positive troviamo la bisettrice del primo e terzo quadrante dove il coefficiente è pari a +1
La derivata del valore assoluto è detta anche funzione segno di x.
Se ci pensiamo bene quando parliamo di un numero negativo il suo segno è meno (–).
È come se stessimo moltiplicando il valore assoluto di quel numero quel numero per (–1).
Ecco perché la funzione segno di x vale –1 quando il valore del numero x che stiamo considerando è negativo.
Potremmo fare lo stesso ragionamento al contrario per i valori positivi.
Un altro simpatico modo che viene utilizzato per descrivere la derivata della funzione modulo e quindi la funzione segno di x è leggerla come il rapporto tra la funzione modulo di x e x:
Rappresentiamo il grafico di questa funzione particolare:
DERIVABILITA’ DELLA FUNZIONE ODULO O VALORE ASSOLUTO
Come si può facilmente notare dal grafico del valore assoluto la funzione non è derivabile in tutto R.
Risulta infatti evidente la presenza di un punto angoloso nell’origine.
In particolare l’angolo che viene formato dai due rami di rette è pari a 90 gradi (angolo retto).
EQUAZIONI ELEMENTARI IN VALORE ASSOLUTO
Un modo certamente interessante per utilizzare la funzione modulo o valore assoluto è all’interno di equazioni elementari in valore assoluto:
Queste equazioni si presentano nella forma generale:
Dove il modulo di x viene eguagliato ad una costante:
Intuitivamente la soluzione a questa equazione esiste solo se la costante è positiva o uguale a zero.
Ad esempio se scriviamo:
Stiamo cercando quel valore di x per cui il so modulo sia par a 1.
In questo caso esistono due valori di x che sono il +1 e il –1.
Infatti:
Dunque l’equazione può essere scritta e risolta così:
Per fare un elenco più completo possiamo scrivere:
Quando invece la costante è negativa la soluzione è impossibile!
Ad esempio:
Possiamo riassumere quanto detto in questo modo:
Dal punto di vista grafico risolvere l’equazione in valore assoluto:
significa intersecare la funzione modulo o valore assoluto:
Con la retta orizzontale:
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DAL MODULO DI NUMERI REALI AL MODULO DI VETTORI
Fino ad ora abbiamo trattato del modulo di quantità reali.
Dobbiamo sapere che un numero reale può essere inteso come un vettore con una componente.
Una cosa che non abbiamo detto è che il modulo di un numero può essere calcolato come la radice quadrata del numero elevato alla seconda:
Ora diamo uno sguardo più allargato della questione e muoviamoci verso l’algebra lineare e i vettori.
Consideriamo un generico vettore v con due componenti x e y.
Il modulo di questo vettore |v| può essere visto come la radice quadrata della soma dei quadrati delle componenti:
Rappresentiamo ora questo vettore v in un sistema ortogonale con x e y rispettivamente componenti orizzontale e verticale del vettore v.
Possiamo concepire il modulo del vettore come la sua lunghezza.
Il vettore si trova una circonferenza di centro (0,0) e raggio pari a |v|
Possiamo anche tentare di dare una rappresentazione alla funzione modulo del vettore (x,y) attraverso una funzione a due variabili.
Vi riporto un grafico rappresentato con l’applicazione di Youmath:
Come si può notare si forma un cono rovesciato con apotema inclinato a 45 gradi rispetto al piano orizzontale.
Se consideriamo un generico vettore v con tre componenti x, y e z, possiamo ragionare in maniera analoga
Il modulo di questo vettore |v| può essere visto come la radice quadrata della soma dei quadrati delle componenti:
Anche in questo caso possiamo immaginare il modulo di vettore come la sua lunghezzacalcolata nello spazio:
In generale quando prendiamo un vettore con n componenti, che chiameremo in generale x1, x2, …, xn, il ragionamento appena fatta non fa una piega:
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