FUNZIONE  MODULO O VALORE ASSOLUTO

La funzione valore assoluto o modulo è una relazione o funzione che associa ad ogni numero reale x il suo valore assoluto o modulo.

Si presenta nella forma:

$$ y= |x| $$

Dove le due stanghette verticali che si trovano prima e dopo la x descrivono l’operazione di modulo o valore assoluto.

Ricordiamo che mettere una quantità in modulo o valore assoluto significa descrivere quella quantità positiva, ovvero ne consideriamo solo il lato geometrico”

Ad esempio:

$$ |2|= 2 \quad |-2| =2$$

Questa funzione viene rappresentata graficamente come una sorta di lettera V passante per l’origine:

Possiamo subito notare quattro cose importanti guardando il grafico di questa funzione.

La prima è che è definita per ogni x reale, ovvero che il suo dominio coincide con R.

$$ D:\ \forall x \in \mathbb{R} \quad \text{o} \quad D:\ (-\infty, +\infty ) $$

Questo significa che possiamo calcolare il modulo di qualsiasi numero.

La seconda è che il valore della funzione (misurato sull’asse y) non scende mai al di sottodell’asse delle x.

Questo significa che il modulo di un numero non è mai negativo!

$$|x| \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} $$

Il modulo di x è maggiore o uguale a zero per ogni x reale

$$ \not \exists x \in \mathbb{R} :\ |x|<0 $$

Non esiste x reale tale per cui il modulo di x sia negativo

La terza cosa che notiamo è che la funzione passa per l’origine (0,0)

Questo significa che il modulo di zero vale zero

$$ |0|=0 $$

La quarta cosa impossibile da non notare è la simmetria di questa funzione, rispetto all’asse delle y.

Questo significa che il modulo (o valore assoluto) di un numero è uguale al modulo dell’opposto del numero:

$$ |x| = |-x| $$

VALORE ASSOLUTO E BISETTRICI CARTESIANE

Nella parte di piano dove le x (argomento del modulo) sono maggiori o uguali a zero(x>=0) la funzione modulo viene  rappresentata dalla retta bisettrice del primo e del terzo quadrante:

$$ y = x $$

Detto in termini matematici possiamo anche se scrivere che:

$$ \text{se }\ x\ge 0 \to |x| = x $$

Mentre nella parte di piano dove le x (argomento) sono negative (x<=0) la funzione valore assoluto coincide con la retta:

$$ y = -x $$

 che è la bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

Matematicamente scriviamo che:

$$ \text{se }\ x< 0 \to |x| =- x $$

Possiamo riassumere tutte le scritture che abbiamo detto fino ad ora con questa unica scrittura per la funzione modulo o valore assoluto di x:

$$ y = |x| = \begin{cases} x &\text{se} & x \ge 0 \\ -x &\text{se} & x < 0 \end{cases} $$

Mostriamo graficamente questo che abbiamo appena detto

Per indicare chiaramente che il modulo di zero vale zero, e che quindi questa funzione passa per l’origine (0,0) possiamo utilizzare anche la seguente scrittura:

$$ y = |x| = \begin{cases} -x &\text{se} & x < 0 \\ 0 &\text{se} & x = 0 \\ x &\text{se} & x > 0 \end{cases} $$

COSTRUIRE LA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO O MODULO DI X

Abbiamo visto quali sono le caratteristiche principali della funzione modulo di x, come è rappresentata e come si può analizzarla.

Adesso torniamo al principio e vediamo come costruirla da zero.

La funzione modulo o valore assoluto è una funzione o relazione che associa ad ogni numero il suo valore assoluto o modulo.

$$ y=|x| $$

Dobbiamo quindi avere ben chiaro come funziona l’operazione di valore assoluto.

Andiamo quindi ad applicare tale operazione su alcuni numeri elementari ad esempio dallo 0 al 10:

$$ |1|=1 \quad |2|=2 \quad |3|=3 \quad |4|=4 \quad |5|=5 \\ |6|=6 \quad |7|=7 \quad |8|=8 \quad |9|=9 \quad |10|=10 $$

Riportiamo ora i valori trovati all’interno di una tabella e andiamo a rappresentare sul grafico cartesiano i primi punti della nostra funzione valore assoluto o modulo

Come possiamo facilmente i punto che abbiamo rappresentato si trovano esattamente sulla retta bisettrice del primo e del terzo quadrante:

$$ y=x $$

Adesso continuiamo la compilazione dei punti della funzione calcolando il valore assoluto di quantità negative.

Per comodità consideriamo i valori interi da –1 a –10:

$$ |-1|=1 \quad |-2|=2 \quad |-3|=3 \quad |-4|=4 \quad |-5|=5 \\ |-6|=6 \quad |-7|=7 \quad |-8|=8 \quad |-9|=9 \quad |-10|=10 $$

Gli ultimi punti rappresentati in corrispondenza delle ascisse negative sono allineati su una retta decrescente, che è la bisettrice del terzo e del quarto quadrante:

$$ y= -x $$

Possiamo dunque riscrivere meglio l’equazione della funzione modulo di x:

$$ y = |x| = \begin{cases} x &\text{se} & x \ge 0 \\ -x &\text{se} & x < 0 \end{cases} $$

Letteralmente potremmo leggere:

L’equazione della funzione modulo di x o valore assoluto di x è:

•  y=x quando le x sono maggiori o uguali a zero
•  y=–x quando le x sono negative

Se vogliamo meglio specificare il fatto che la funzione passa per l’origine, ovvero che il modulo di zero vale zero possiamo anche scrivere:

$$ y = |x| = \begin{cases} -x &\text{se} & x < 0 \\ 0 &\text{se} & x = 0 \\ x &\text{se} & x > 0 \end{cases} $$

CARATTERISTICHE DELLA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO O MODULO

Come abbiamo visto la funzione modulo o valore assoluto:

$$ y = |x| $$

 non è particolarmente difficile da rappresentare e interpretare.

Adesso andiamo ad elencare alcune tra le principali caratteristiche di questa funzione in termini id studio di funzione:

• Dominio
• Intersezioni 
• simmetrie
• Segno (positività) e immagine
• Limiti e continuità
• Derivata prima e derivabilità

DOMINIO DELLA FUNZIONE MODULO O VALORE ASSOLUTO

Il dominio della funzione modulo è tutto R.

$$ D:\ \forall x \in \mathbb{R} \quad \text{o} \quad D:\ (-\infty, +\infty ) $$

Questo significa che scelto un numero reale qualsiasi possiamo calcolare il suo valore assoluto:

INTERSEZIONI CON GLI ASSI 

La funzione modulo o valore assoluto interseca contemporaneamente gli assi cartesiani nell’origine (0,0).

Questo fatto ha un chiaro significato.

Dal un lato che il valore della funzione calcolata in zero vale zero e ciò equivale a dire che il modulo di zero vale zero.

$$ |0| = 0 $$

Dall’altro lato significa che il valore del modulo nullo corrisponde al fatto che l’argomento deve per forza vare zero

$$ |x|=0 \leftrightarrow x= 0 $$

SIMMETRIE DELLA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO O MODULO

Un altro aspetto che salta certamente all’occhio della funzione modulo:

$$ y = |x| $$

è la sua simmetria rispetto all’asse delle y (retta x=0)

Detto in linguaggio più “matematichese” la funzione è pari ovvero:

$$ f(x) = f(-x) $$

Questo significa che se applichiamo il valore assoluto ad un certo numero x otteniamo un risultato identico a quando applichiamo il valore assoluto (modulo) all’opposto del numero:

$$ |x| = |-x| $$

CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO

La funzione modulo o valore assoluto risulta continua in tutti  i punti.

Questo significa che in ogni punto il limite destro e quello sinistro coincidono con il valore della funzione:

$$ \lim_{ h \to 0} |x+h| = |x| $$

LIMITI DELLA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO (MODULO)

Abbiamo detto che il dominio della funzione valore assoluto è tutto R, ovvero:

$$ D_{|x|} = (-\infty, + \infty ) $$

Dunque i limiti che ci interessando calcolare sono verso il meno infinito e il più infinito.

$$ \lim _{x \to -\infty} |x| = \qquad \lim _{x \to + \infty} |x| = $$

Partiamo dal limite per x che tende a meno infinito del modulo di x:

$$ \lim _{x \to -\infty} |x| =| -\infty | = +\infty $$

Essendo che la x sta tendendo al meno infinito possiamo anche scrivere la funzione come:

$$ y = -x$$

Dunque possiamo anche scrivere il limite in questo modo:

$$ \lim _{x \to -\infty} |x| =\lim _{x \to -\infty} (-x) = – (-\infty) = +\infty $$

Allo stesso modo possiamo calcolare il limite per x tendente a più infinito, ricordando che la funzione modulo di x diventa per le x positive:

$$ \lim _{x \to +\infty} |x| =\lim _{x \to -\infty} (x) = (+ \infty) = +\infty $$

Quello che notiamo è che il valore del limite è determinato e da lo stesso valore: più infinito

$$ \lim_{x \to \pm \infty} |x| = | \pm \infty | = + \infty $$

Se vogliamo usare una scrittura più estesa possiamo anche scrivere così:

$$ \lim_{x \to \infty} |x| = \begin{cases} +\infty &\text{se} & x \to +\infty \\ -\infty &\text{se} & x \to -\infty \end{cases} $$

DERIVATA PRIMA DELLA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO

Qual è la derivata prima della funzione valore assoluto ? 

Un modo certamente intelligente per analizzare il problema è riscrivere la funzione modulo in questo modo:

$$ y = |x| = \begin{cases} x &\text{se} & x > 0 \\ 0 &\text{se} & x = 0 \\ -x &\text{se} & x < 0 \end{cases} $$

Applichiamo dunque il processo di derivazione con le regole in ognuno dei tre intervalli:

$$ y’ = |x|’ = \frac{\mathrm{d}|x|}{\mathrm{d}x}  = \begin{cases} -1 &\text{se} & x < 0 \\ 0 &\text{se} & x = 0 \\ -1 &\text{se} & x > 0 \end{cases} $$

Infatti la  modulo di x è rappresentata dalla bisettrice del secondo e quarto quadrante nelle x negative dove il coefficiente angolare è costante e pari a –1.

Mentre per le ascisse positive troviamo la bisettrice del primo e terzo quadrante dove il coefficiente è pari a +1

La derivata del valore assoluto è detta anche funzione segno di x.

$$ y =\mathrm{sgn} |x| = \begin{cases} -1 &\text{se} & x < 0 \\ 0 &\text{se} & x = 0 \\ 1 &\text{se} & x > 0 \end{cases} $$

Se ci pensiamo bene quando parliamo di un numero negativo il suo segno è meno (–).

È come se stessimo moltiplicando il valore assoluto di quel numero quel numero per (–1).

Ecco perché la funzione segno di x vale –1 quando il valore del numero x che stiamo considerando è negativo.

Potremmo fare lo stesso ragionamento al contrario per i valori positivi. 

Un altro simpatico modo che viene utilizzato per descrivere la derivata della funzione modulo e quindi la funzione segno di x è leggerla come il rapporto tra la funzione modulo di x e x:

$$ |x|’ = \frac{\mathrm{d}|x|}{\mathrm{d}x} = \mathrm{sgn} x = \frac{|x|}{x} $$

Rappresentiamo il grafico di questa funzione particolare:

DERIVABILITA’ DELLA FUNZIONE ODULO O VALORE ASSOLUTO

Come si può facilmente notare dal grafico del valore assoluto la funzione non è derivabile in tutto R.

Risulta infatti evidente la presenza di un punto angoloso nell’origine.

In particolare l’angolo che viene formato dai due rami di rette è pari a 90 gradi (angolo retto).

EQUAZIONI ELEMENTARI IN VALORE ASSOLUTO

Un modo certamente interessante per utilizzare la funzione modulo o valore assoluto è all’interno di equazioni elementari in valore assoluto:

Queste equazioni si presentano nella forma generale:

$$ |x| = k \quad \text{con }\ k \in \mathbb{R} $$

Dove il modulo di x viene eguagliato ad una costante:

Intuitivamente la soluzione a questa equazione esiste solo se la costante è positiva o uguale a zero.

Ad esempio se scriviamo:

$$ |x| = 1 $$

Stiamo cercando quel valore di x per cui il so modulo sia par a 1.

In questo caso esistono due valori di x che sono il +1 e il –1.

Infatti:

$$|-1| = |1| = 1 $$

Dunque l’equazione può essere scritta e risolta così:

$$ |x| = 1 $$

Facciamo altri esempi:

$$ |x|= 0 \to x= \pm 0 = 0 \quad |x|= 1 \to x= \pm 1 \quad |x|= 2 \to x= \pm 2 $$

Quando invece la costante è negativa la soluzione è impossibile!

Ad esempio:

$$ |x|= -1 \to \not \exists x \in \mathbb{R} \quad |x|= -2 \to \not \exists x \in \mathbb{R} \\ |x|= -3 \to \not \exists x \in \mathbb{R} $$

Possiamo riassumere quanto detto in questo modo:

$$ |x| = k \to \begin{cases} x= \pm k & \text{se} & k>0 \\ x= 0 & \text{se} & k=0 \\ \not \exists x \in \mathbb{R} & \text{se} & k<0 \end{cases} $$

Dal punto di vista grafico risolvere l’equazione in valore assoluto:

$$ |x| = k \quad \text{con }\ k \in \mathbb{R} $$

significa intersecare la funzione modulo o valore assoluto:

$$ y = |x| $$

Con la retta orizzontale:

$$ y =k $$

DAL MODULO DI  NUMERI REALI AL MODULO DI VETTORI

Fino ad ora abbiamo trattato del modulo di quantità reali.

$$ y=|x| $$

Dobbiamo sapere che un numero reale può essere inteso come un vettore con una componente.

Una cosa che non abbiamo detto è che  il modulo di un numero può essere calcolato come la radice quadrata del numero elevato alla seconda:

$$ y = |x| = \sqrt{x^2} $$

Ora diamo uno sguardo più allargato della questione e muoviamoci verso l’algebra lineare e i vettori.

Consideriamo un generico vettore v con due componenti x e y.

$$ v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \quad \text{con}\ x,y \in \mathbb{R} $$

Il modulo di questo vettore |v| può essere visto come la radice quadrata della soma dei quadrati delle componenti:

$$ |v| = \sqrt{x^2+y^2} $$

Rappresentiamo ora questo vettore v in un sistema ortogonale con x e y rispettivamente componenti orizzontale e verticale del vettore v.

Possiamo concepire il modulo del vettore come la sua lunghezza.

Il vettore si trova una circonferenza di centro (0,0) e raggio pari a |v|

Possiamo anche tentare di dare una rappresentazione alla funzione modulo del vettore (x,y) attraverso una funzione a due variabili.

Vi riporto un grafico rappresentato con l’applicazione di Youmath:

Come si può notare si forma un cono rovesciato con apotema inclinato a 45 gradi rispetto al piano orizzontale.

Se consideriamo un generico vettore v con tre componenti x, y e z, possiamo ragionare in maniera analoga

$$ v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \text{con}\ x,y,z \in \mathbb{R} $$

Il modulo di questo vettore |v| può essere visto come la radice quadrata della soma dei quadrati delle componenti:

$$ |v| = \sqrt{x^2+y^2 +z^2} $$

Anche in questo caso possiamo immaginare il modulo di vettore come la sua lunghezzacalcolata nello spazio:

In generale quando prendiamo un vettore con n componenti, che chiameremo in generale x1, x2, …, xn, il ragionamento appena fatta non fa una piega:

$$ v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_i \\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix} \quad \text{con}\ x_1,x_2, \dots , x_n \in \mathbb{R} \\ |v| = \sqrt{x_1^2+x_2^2 + \cdots + x_n^2} = \sqrt{ \sum x_i^2 }$$

HAI QUALCHE DOMANDA???

Se hai qualche domanda scrivila nei commenti

L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?

Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale

Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica

Visita il canale YouTube!