In questo articolo vediamo come calcolare l’area racchiusa in un’ellisse.
FORMULA DELL’AREA RACCHIUSA IN UN’ELLISSE
Data un’ellisse nella forma canonica:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
La formula per calcolare l’area racchiusa all’interno è molto semplice.
Ci basta semplicemente moltiplicare per pi-greco (𝜋) il prodotto dei due raggi a e b:
$$ \large A = ab \pi $$
SIMILITUDINE CON L’AREA DELLA CIRCONFERENZA
Questa formula ricorda molto il calcolo dell’area racchiusa in una circonferenza che è:
$$ A = r^2 \pi $$
dove r è il raggio della circonferenza.
Questa formula può essere anche riscritta come:
$$ A = rr \pi$$
Ricordiamo infatti che un’ellisse può essere intesa come una circonferenza con due raggi
AREA RACCHIUSA IN UN’ELLISSE – ESEMPIO UNO
Determina l’area racchiusa nella seguente ellisse:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $$
SVOLGIMENTO
Dall’equazione dell’ellisse
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $$
Ricaviamo subito i valori dei parametri a e b:
$$ \begin{array}{l} a^2 = 9 &\to& a=3 \\ b^2= 4 &\to& b=2 \end{array} $$
Applicando la formula precedentemente vista l’area racchiusa all’interno dell’ellisse risulta pari a :
$$ A =\pi ab = 3 \cdot 2 \cdot \pi = 6 \pi $$
AREA RACCHIUSA IN UN’ELLISSE – ESEMPIO DUE
Determina l’area racchiusa nella seguente ellisse:
$$ \gamma: \quad 4x^2+2x+y^2-1= 0 $$
SVOLGIMENTO
In questo caso si tratta di un’ellisse traslata la cui forma generale è:
$$ \gamma’: \quad \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $$
COMPLETAMENTO DEL QUADRATO
Per ricavare tale forma dobbiamo applicare il metodo del completamento del quadrato.
L’equazione dell’ellisse di partenza è:
$$ \gamma: \quad 4x^2+2x+y^2-1= 0 $$
Per applicare il metodo del completamento del quadrato cominciamo a separare le x dalle y in questo modo:
$$ (4x^2+2x)+y^2-1= 0 $$
Applichiamo quindi il metodo del completamento del quadrato sulle x.
Raccogliamo a fattor comune il termine che moltiplica il quadrato della x:
$$ 4 \left( x^2 + \frac{1}{2} x \right) +y^2-1= 0 $$
Ora volgiamo l’attenzione al polinomio in dentro la parentesi:
$$ 4 \left( \color{green}{x^2 + \frac{1}{2} x} \right) +y^2-1= 0 $$
Dobbiamo trovare quel termine c2 che completa il quadrato di binomio:
$$ x^2 + \frac{1}{2} x + \color{red}{c^2} $$
Se questo trinomio è un quadrato di binomio rileviamo certamente la presenza di due quadrati ed un doppio prodotto:
$$ \begin{array}{l} \text{$x^2$ è il quadrato di $x$} \\ \text{$\color{red}{c^2}$ è il quadrato di $\color{red}{c}$} \\ \text{$\frac{1}{2}x$ è il doppio prodotto tra $x$ e $\color{red}{c}$ } \end{array} $$
In riferimento a questo ultimo possiamo dunque scrivere che:
$$ 2 \color{red}{c}x = \frac{1}{2}x $$
Dividendo entrambi i membri dell’equazione per 2x ottenendo il valore della c:
$$ 2 \color{red}{c}x = \frac{1}{2}x \to c = \frac{1}{4}$$
Da che troviamo il suo quadrato:
$$ 2 \color{red}{c}x = \frac{1}{2}x \to c = \frac{1}{4} \to c^2 = \frac{1}{16}$$
Possiamo quindi sommare il suo valore dentro la parentesi ricordandoci di controbilanciarlo con un valore negativo di tale importo.
Poiché tutta la prima parentesi è moltiplicata per 4 allora dovremo moltiplicare per 4 anche la quantità negativa.
L’equazione a questo punto diventa:
$$ 4 \left( x^2 + \frac{1}{2} x \color{red}{+ \frac{1}{16}} \right) +y^2-1 \color{red}{- \frac{1}{4}}= 0 $$
EQUAZIONE CANONICA
Ora ripartiamo dall’equazione appena ricavata per portarla progressivamente verso la forma esplicita dell’ellisse traslata.
$$ 4 \left( x^2 + \frac{1}{2} x \color{red}{+ \frac{1}{16}} \right) +y^2-1 \color{red}{- \frac{1}{4}}= 0 $$
Spostiamo a destra le costanti dopo averle sommate:
$$ \begin{array}{l} 4 \left( x + \frac{1}{4} \right)^2+y^2 – \frac{5}{4} = 0 \\ 4 \left( x + \frac{1}{4} \right)^2+y^2 = \frac{5}{4} \end{array} $$
Dividiamo a destra e sinistra per 5/4 o equivalentemente moltiplichiamo per 4/5 di modo da lasciare a destra 1:
$$ \frac{16}{5} \left( x + \frac{1}{4} \right)^2+\frac{4}{5} y^2 =1 $$
Aggiustiamo infine in questo modo sfruttando la regola della frazione reciproca:
$$\gamma: \quad \frac{ \left( x + \frac{1}{4} \right)^2}{\frac{5}{16}} + \frac{y^2}{\frac{5}{4}} = 1 $$
CALCOLO AREA
Da questa equazione ricaviamo in maniera semplice i parametri a e b:
$$ \begin{array}{l} a^2 = \frac{5}{16} &\to& a=\frac{\sqrt{5}}{4} \\ b^2= \frac{5}{4} &\to& b=\frac{\sqrt{5}}{2} \end{array} $$
L’area racchiusa nell’ellisse risulta dunque:
$$ A = ab \pi = \frac{\sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \pi = \frac{5}{8} \pi $$
AREA RACCHIUSA IN UN’ELLISSE – ESEMPIO TRE
Calcola l’area racchiusa in un ellisse con centro nell’origine, i fuochi sull’esse x e di cui conosciamo l’eccentricità (e) ed il passaggio per un punto P:
$$ e= \frac{\sqrt{3}}{2} \quad P(2,3) $$
SVOLGIMENTO
Per ricavare l’area ricerca dobbiamo applicare la formula:
$$ A = ab \pi $$
Dunque ci servono i parametri dell’equazione canonica dell’ellisse che non conosciamo:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
I dati che ci fornisce il testo sono l’eccentricità e un punto P che appartiene all’ellisse
$$ e= \frac{\sqrt{3}}{2} \quad P(2,3) $$
Dal momento che sappiamo che i fuochi si trovano sull’asse x ne deriva che il valore di a (raggio orizzontale) è maggiore del valore di b (raggio verticale)
La relazione pitagorica tra a, b e c è :
$$ a^2=b^2+c^2 $$
E l’eccentricità sarà dunque:
$$ e = \frac{c}{a} $$
Riassumendo il tutto scriviamo:
$$ a>b \to \begin{cases} a^2=b^2+c^2 \\ e = \frac{c}{a} \end{cases} $$
Dalla condizione che riguarda l’eccentricità possiamo dunque stabilire una relazione tra la a e la c o meglio tra i loro quadrati
$$ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \to \frac{c^2}{a^2} = \frac{3}{4} \to c^2 = \frac{3}{4} a^2 $$
Inserendo il tutto nella seconda equazione possiamo ricavare il quadrato di b in funzione del quadrato di a:
$$ b^2= a^2-c^2 = a^2 – \frac{3}{4} a^2 = \frac{1}{4} a^2 $$
A questo punto l’ellisse che stiamo cercando ha la forma:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\frac{1}{4} a^2} = 1 $$
Che possiamo meglio riscrivere nei seguenti passaggi:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{4y^2}{ a^2} = 1 \to x^2+4y^2= a^2$$
Ora sfruttiamo il passaggio per il punto P per ricavare il valore del quadrato di a:
$$ P(2,3) \to a^2= 4+4 \cdot 9 = 40 $$
Da cui poi ricaviamo il quadrato di b:
$$ b^2 = \frac{1}{4} a^2 = \frac{1}{4} \cdot 40 = 10 $$
AREA RACCHIUSA NELL’ELLISSE
L’equazione della nostra ellisse è dunque:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{40} + \frac{y^2}{10} = 1 $$
Per calcolare l’area sveliamo i valori dei parametri a e b ricavati dai rispettivi quadrati:
$$ \begin{array}{l} a^2 = 40 &\to& a=\sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \\ b^2= 10 &\to& b=\sqrt{10} \end{array} $$
Non ci resta ora che applicare la formula per il calcolo dell’area racchiusa in un’ellisse
$$ A = ab \pi = 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \pi = 20 \pi $$
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