In questo articolo vediamo due esempi di come possiamo studiare alcune tipologie di funzioni irrazionali mediante la rappresentazione dell’ellisse.
Andiamo così ad unire la classica teoria del sistema cartesiano con la più ampia materia delle funzioni.
In questo articolo vediamo alcuni esempi di funzioni irrazionali che possono essere ricondotti alla figura dell’ellisse
INDICE
FUNZIONI IRRAZIONALI – ELLISSE – ESEMPIO UNO
Traccia il grafico della seguente funzione irrazionale:
$$ \large y= \sqrt{4-9x^2} $$
CONDIZIONI DI ESISTENZA E SUL SEGNO
La funzione irrazionale che dobbiamo studiare è:
$$ y= \sqrt{4-9x^2} $$
Per prima cosa notiamo che sul lato destro è presente una radice quadrata.
Una radice quadrata esiste quando il suo radicando o argomento è maggiore o uguale a zero.
Scriviamo dunque le condizioni di esistenza imponendo il polinomio di secondo grado risulti maggiore o uguale a zero:
$$ \text{CE}: \quad 4-9x^2 \ge 0 $$
Questa è una disequazione di secondo grado che può essere risolta studiando i fattori oppure applicando la regola della parabola.
$$ \text{CE}: \quad 4-9x^2 \ge 0 \to 9x^2 \le 4 \to x^2 \le \frac{4}{9} $$
Il risultato della disequazione è valido per i valori interni alle soluzioni, quindi:
$$ \text{CE}: \quad – \frac{2}{3} \le x \le \frac{2}{3} $$
La y che è presente a sinistra è uguale ad una radice quadrata.
Questa radice quando sono soddisfatte le condizioni di esistenza assume solamente valori non negativi nei numeri reali perciò:
$$ \text{CS}: \quad y \ge 0 $$
Chiamiamo questa la condizione sul segno (CS)
Mettiamo le due condizioni a sistema ottenendo
$$ \begin{cases} 4-9x^2 \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} – \frac{2}{3} \le x \le \frac{2}{3} \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}
Rappresentiamo ora le due condizioni nel sistema cartesiano colorando le zone escluse.
ELEVAMENTO AL QUADRATO E RAPPRESENTAZIONE
Ora che abbiamo imposto le condizioni di esistenza e sul segno possiamo elevare entrambi i termini della funzione iniziale alla seconda
$$ y= \sqrt{4-x^2 } \overset{(\dots)^2}{\longrightarrow} y^2= 4-x^2 $$
Spostiamo il quadrato della x a sinistra e dividiamo per 4
$$ 9x^2+y^2= 4 \to \frac{9}{4}x^2 + \frac{y^2}{4} = 1 $$
ed aggiustiamo in modo da pervenire all’equazione dell’ellisse nella sua forma canonica
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{\frac{9}{4}} + \frac{y^2}{4} = 1 $$
Dall’equazione possiamo facilmente ricavare i valori dei raggi a e b.
$$ \begin{array}{l} a^2 = \frac{4}{9} &\to& a= \frac{2}{3} \\ b^2 = 4 &\to& b= 2 \end{array} $$
Disegniamo l’ellisse nel sistema cartesiano.
Se vogliamo visualizzare il grafico della funzione
$$ y= \sqrt{4-x^2 } $$
consideriamo la semi-ellisse superiore ovvero quella interna alla zona bianca.
SCOPRI LA GEOMETRIA CARTESIANA
Impara tutti i segreti della geometria cartesiana (analitica) in un percorso che parte dalla retta, passando per la parabola, l’ellisse e l’iperbole
FUNZIONE IRRAZIONALE – ELLISSE – ESEMPIO DUE
Traccia il grafico della seguente funzione irrazionale:
$$ \large y= 3 \sqrt{1-x^2} +1$$
CONDIZIONI DI ESISTENZA E SUL SEGNO
La funzione irrazionale che dobbiamo studiare è:
$$ y= 3 \sqrt{1-x^2} +1$$
Per prima cosa isoliamo la radice sul lato destro
$$ y-1 = 3 \sqrt{1-x^2} $$
Questa radice quadrata esiste quando il suo radicando o argomento è maggiore o uguale a zero.
Scriviamo dunque le condizioni di esistenza imponendo il polinomio di secondo grado risulti maggiore o uguale a zero:
$$ \text{CE}: \quad 1-x^2 \ge 0 $$
Questa è una disequazione di secondo grado che può essere risolta studiando i fattori oppure applicando la regola della parabola.
$$ \text{CE}: \quad 1-x^2 \ge 0 \to x \le 1$$
Il risultato della disequazione è valido per i valori interni alle soluzioni, quindi:
$$ \text{CE}: \quad -1 \le x \le 1 $$
Il binomio y–1 che è presente a sinistra è uguale ad una radice quadrata.
Questa radice quando sono soddisfatte le condizioni di esistenza assume solamente valori non negativi nei numeri reali perciò:
$$ \text{CS}: \quad y-1 \ge 0 \to y \ge 1 $$
Chiamiamo questa la condizione sul segno.
Mettiamo le due condizioni a sistema ottenendo
$$ \begin{cases} 1-x^2 \ge 0 \\ y-1 \ge 0 \end{cases} \to \begin{cases} – 1 \le x \le 1 \ge 0 \\ y \ge 1 \end{cases}
Rappresentiamo ora le due condizioni nel sistema cartesiano colorando le zone escluse.
ELEVAMENTO AL QUADRATO E RAPPRESENTAZIONE
Ora che abbiamo imposto le condizioni di esistenza e sul segno possiamo elevare entrambi i termini della funzione iniziale alla seconda
$$ y-1 = 3 \sqrt{1-x^2} \overset{(\dots)^2}{\longrightarrow} (y-1)^2= 9(1-x^2) $$
Dividiamo entrambi i termini per 9 e spostiamo a sinistra il quadrato della x
$$ \gamma: \quad x^2 + \frac{(y-1)^2}{9}= 1 $$
Ecco che siamo giunti alla forma canonica dell’ellisse.
Dall’equazione possiamo facilmente ricavare i valori dei raggi a e b.
$$ \begin{array}{l} a^2 = 1 &\to& a= 1 \\ b^2 = 9 &\to& b= 3 \end{array} $$
Disegniamo l’ellisse nel sistema cartesiano.
Se vogliamo visualizzare il grafico della funzione
$$ y= 3 \sqrt{1-x^2} +1$$
consideriamo la semi-ellisse superiore ovvero quella interna alla zona bianca.
ARTCOLI CORRELATI
- l’ellisse e le coniche
- la funzione radice
- funzioni irrazionali e parabola
- disequazioni di secondo grado
HAI QUALCHE DOMANDA ?
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti.
SCOPRI IL CORSO DI GEOMETRIA CARTESIANA
Apprendi le cose più importanti della geometria cartesiana (o geometria analitica)
Un percorso increbile che parte dal piano cartesiano e le rette, e prosegue nell’avvincente mondo delle parabole, le ellissi e le iperboli.
L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?
Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale
Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica
Visita il canale YouTube!