INTEGRALE PER PARTI

La regola dell”integrale per parti  permette di calcolare l’integrale di un prodotto di due funzioni di cui una è la derivata di una certa funzione.

REGOLA DELL’INTEGRALE PER PARTI

La regola ci dice che l’integrale del prodotto tra una funzione f e la derivata di una funzione g’ è pari alla somma tra:

•  il prodotto tra le funzioni non derivate f e g  e
•  .il prodotto tra la derivata di f e la funzione g (integrale di g’) 

$$ \large \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Una volta che abbiamo individuato la funzione f ne calcoliamo la derivata f’.

Dell’altra funzione g’ calcoliamo l’integrale per ottenere la funzione g

UTILITÀ DELLA REGOLA

Questa regola permette di calcolare integrali non con le regole di integrazione tradizionali quando abbiamo a che fare con prodotti tra:

• funzioni xⁿ  e funzioni cicliche in derivazione (esponenziali, seno e coseno) 
• Entrambe funzioni cicliche in derivazione
• In generale funzioni logaritmiche e goniometriche (e la costante 1)

Viene utilizzato anche per derivare logaritmi, arcotangenti che non hanno vere e proprie regole di integrazione

DIMOSTRAZIONE DELLA REGOLA DELL’INTEGRALE PER PARTI

Chissà quante volte ci siamo chiesti: da dove viene questa diabolica regola dell’integrazione per parti?

La risposta è : la regola viene dalla regola della derivata di un prodotto.

Noi sappiamo che la derivata di un prodotto di due funzioni f e g è la somma di due prodotti

• Derivata della funzione f per g
• Funzione f per la derivata di g

$$ \left(f(x)\cdot g(x)\right)’= f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

Integriamo ambo i membri dell’equazione

$$ \int\left(\left(f(x)\cdot g(x)\right)’\right)= \int\left(f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\right)\ dx$$

Sul lato sinistro l’integrale si porta via la derivata e otteniamo semplicemente il prodotto delle funzioni f e g

Mentre sul lato destro possiamo spezzare l’integrale della somma nella somma degli integrali

$$ f(x)\cdot g(x) = \int f'(x)\cdot g(x)\ dx+\int f(x)\cdot g'(x)\ dx$$

Spostando il primo addendo da destra a sinistra otteniamo

$$ f(x)\cdot g(x) – \int f'(x)\cdot g(x)\ dx=\int f(x)\cdot g'(x)\ dx$$

 che letto al contrari è esatta mente la regola dell’integrazione per parti.

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx=f(x)\cdot g(x) – \int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

NOTE DA CHIARIRE SULL’INTEGRAZIONE PER PARTI

L’integrazione per parti non si applica a tutti i prodotti di funzioni!

Ma si applica solamente nella situazione in cui all’interno dell’integrale abbiamo il prodotto tra una funzione e la derivata di un’altra funzione.

Ricordiamo infatti che non esistono regole di integrazioni generali per i prodottidi funzioni!

La seconda nota importante è che non è sempre così evidente quale debba essere la funzione derivata e quella non derivata.

Punto terzo in certi casi questa procedura potrebbe essere ripetuta più volte al fine di risolvere l’integrale

In ultimo diciamo che questa regola nei casi più complicati potrebbe essere “mischiata” con altre regole di integrazione ad esempio:

• Integrazione per sostituzione
• Integrale di funzioni fratte

L’una non esclude l’altra e non esiste un ordine preciso e rigoroso ma può variare da caso a caso.

ESERCIZI SULL’INTEGRAZIONE PER PARTI

Detto questo svolgiamo qualche esercizio in ordine di difficoltà per vedere nella pratica questa regola

ESEMPIO 1 – INTEGRAZIONE PER PARTI

Partiamo con un esempio classico di integrazione per parti

$$ \large \int xe^x\ dx$$

Consideriamo la prima funzione x come f e la seconda funzione esponenziale con g’

$$ \begin{array}{l} f(x)=x &\to& f'(x)=1 \\ g'(x)=e^x &\to& g(x)= \int e^x\ dx=e^x \end{array}$$

Notiamo che nel calcolo dell’integrale (primitiva) di g(x) non abbiamo aggiunto la costante integrativa.

Questa per il momento non è necessaria perché verrà comunque messa alla fine del processo di integrazione.

(Questa cosa ovviamente non la ribadiremo più nei prossimi esercizi)

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Quindi scriviamo:

$$ \int xe^x\ dx= xe^x-\int 1\cdot e^x\ dx$$

Adesso dobbiamo occuparci dell’integrazione dell’ultima parte che è un integrale elementare: l’integrale della funzione esponenziale è ancora la funzione esponenziale (con base e numero di Nepero):

$$ \int 1\cdot e^x\ dx= \int e^x\ dx= e^x+c$$

Ricapitolando:

$$ \int xe^x\ dx= xe^x- e^x+c dx$$

Per chiudere in bellezza facciamo un raccoglimento a fattor comune

$$ \int xe^x\ dx= (x- 1) e^x+c dx$$

ESEMPIO 2 – INTEGRAZIONE PER PARTI

Consideriamo un altro classico esempio

$$ \large \int x\log x\ dx$$

Consideriamo la prima funzione x come f e la seconda funzione logaritmica con g’

$$ \begin{array}{l} f(x)=x &\to& f'(x)=1 \\ g'(x)=\log x &\to& g(x)= \int\log x\ dx= ???\end{array}$$

ALLERTA !!!

Ci rendiamo subito conto di non aver fatto la scelta corretta.

Infatti a livello elementare non esistono regole di integrazione per il logaritmo!

Non confondiamo l’integrale con il logaritmo!

Del logaritmo sappiamo però che certamente la sua derivata è 1/x, dunque cambiamo le carte in gioco!

Ripartiamo dunque dal testo iniziale:

$$ \int x\log x\ dx$$

Consideriamo la prima funzione x come g’ e la seconda funzione logaritmica con f

$$ \begin{array}{l} f(x)=\log x &\to& f'(x)=\frac{1}{x} \\ g'(x)=x &\to& g(x)= \int x\ dx= \frac{x^2}{2} \end{array}$$

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Dunque scriviamo:

$$ \int x\log x\ dx= \frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{1}{x}\cdot\frac{x^2}{2}\ dx= \frac{x^2}{2}\log x-\frac{1}{2}\int x\ dx $$

Adesso dobbiamo occuparci dell’integrazione dell’ultima parte che è un integrale elementare

$$ \int x\ dx= \frac{x^2}{2}+c$$

Ricapitolando:

$$ \int x\log x\ dx= \frac{x^2}{2}\log x-\frac{1}{2}\frac{x^2}{2}+c$$

Per chiudere in bellezza facciamo un raccoglimento a fattor comune

$$ \int x\log x\ dx= \frac{x^2}{2}\left(\log x -\frac{1}{2}\right)$$

ESEMPIO 3 – 

$$ \large \int x\cos x\ dx$$

Consideriamo la prima funzione x come f e la seconda funzione seno con g’

$$ \begin{array}{l} f(x)=x &\to& f'(x)=1 \\ g'(x)=\cos x &\to& g(x)= \int\cos x\ dx= \sin x\end{array}$$

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Dunque scriviamo:

$$ \int x\cos x\ dx= x\sin x-\int 1\cdot\sin x\ dx=x\sin x-\int \sin x\ dx $$

Adesso dobbiamo occuparci dell’integrazione dell’ultima parte che è un integrale elementare: in particolare l’integrale del seno è l’opposto della funzione coseno:

$$\int\sin x\ dx= -\cos x+c$$

Ricapitolando:

$$ \int x\cos x\ dx= x\sin x-(-\cos x)+c= x\sin x+\cos x+c$$

ESEMPIO 4 – 

$$ \large \int\frac{\log x}{x^2}\ dx$$

Riscriviamo l’integrale come un prodotto in questo modo

$$ \int\frac{\log x}{x^2}\ dx=\int\log x \cdot\frac{1}{x^2} $$

Consideriamo la prima funzione x come g’ e la seconda logaritmica con f

$$ \begin{array}{l} f(x)=\log x &\to& f'(x)=\frac{1}{x} \\ g'(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2} &\to& g(x)= \int x^{-2}\ dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x} \end{array}$$

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Dunque scriviamo:

$$ \int\frac{\log x}{x^2}\ dx=-\frac{1}{x}\log x -\int\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)\ dx= -\frac{1}{x}\log x +\int\frac{1}{x^2}\ dx $$

Adesso dobbiamo occuparci dell’integrazione dell’ultima parte che è un integrale elementare

$$ \int\frac{1}{x^2}\ dx= \int x^{-2}\ dx= \frac{x^{-1}}{-1}+c=-\frac{1}{x} +c$$

Ricapitolando:

$$\int\frac{\log x}{x^2}\ dx=-\frac{1}{x}\log x-\frac{1}{x}+c$$

Per chiudere in bellezza facciamo un raccoglimento a fattor comune

$$\int\frac{\log x}{x^2}\ dx=-\frac{1}{x}(\log x+1)+c$$

ESEMPIO 5 – DOPPIA INTEGRAZIONE PER PARTI

In questo esempio ripetiamo il processo di integrazione per parti due volte

$$\large \int x^2 e^x\ dx$$

Consideriamo la prima funzione x² come f e la seconda esponenziale con g’

$$ \begin{array}{l} f(x)=x^2 &\to& f'(x)=2x \\ g'(x)=e^x &\to& g(x)= \int e^x\ dx=e^x \end{array}$$

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Dunque scriviamo:

$$ \int x^2 e^x\ dx=x^2e^x-\int 2x\cdot e^x\ dx-2\int x\cdot e^x\ dx $$

Integriamo l’ultima parte

$$\int x\cdot e^x\ dx$$

Questo integrale lo abbiamo già svolto nell’esercizio 1 ed il suo risultato è il seguente

$$\int x\cdot e^x\ dx=(x-1)e^x+c$$

Dunque possiamo scrivere infine il valore dell’integrale di partenza

$$ \int x^2 e^x\ dx=x^2e^x-2(x-1)e^x+c $$

Raccogliamo a fattor comune il termine esponenziale

$$ \int x^2 e^x\ dx=(x^2-2x+2)e^x+c $$

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ESEMPIO 6 – DOPPIA INTEGRAZIONE PER PARTI

$$ \large \int x^2\sin x\ dx$$

Consideriamo la prima funzione x² come f e la seconda funzione trigonometrica con g’

$$ \begin{array}{l} f(x)=x^2 &\to& f'(x)=2x \\ g'(x)=\sin x &\to& g(x)= \int \sin x\ dx=-\cos x \end{array}$$

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Dunque scriviamo:

$$\int x^2\sin x\ dx=-x^2\cos x-\int-2x\cdot\cos x\ dx= -x^2\cos x+2\int x\cos x\ dx$$

Andiamo ad integrare l’ultima parte di testo

$$ \int x\cos x\ dx=$$

Questo integrale lo abbiamo già calcolato per parti nell’esercizio 3

$$ \int x\cos x\ dx=x\sin x+\cos x+c$$

Ricapitolando:

$$\int x^2\sin x= -x^2\cos x +2(x\sin x+\cos x)+c$$

ESEMPIO 7 -INTEGRALE DEL LOGARITMO DI X- FATTORE NASCOSTO

Consideriamo questo esempio particolare

$$ \large \int \log x\ dx$$

In questo caso a prima vista riusciamo a riconoscere una sola funzione all’interno dell’integrale.

Dunque la procedura per parti sembrerebbe non funzionare.

In realtà se guardiamo a fondo il testo possiamo riconoscere la presenza di un secondo fattore nascosto: il numero 1

Dunque possiamo riscrivere il testo in questo modo

$$ \int 1 \cdot\log x\ dx$$

Definiamo perciò logx il fattore f da derivare, mentre g il numero 1 che integriamo

$$ \begin{array}{l} f(x)=\log x &\to& f'(x)=\frac{1}{x} \\ g'(x)=1 &\to& g(x)= \int 1\ dx=x \end{array}$$

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Dunque scriviamo:

$$ \int 1 \cdot\log x\ dx=x \log x-\int\frac{1}{x}\cdot x\ dx= x\log x-\int 1\ dx$$

A questo punto siccome l’integrale di 1 è ancora una volta x scriviamo la soluzione

$$ \int 1 \cdot\log x\ dx=x \log x-x+c$$

Raccogliendo a fattor comune otteniamo 

$$ \int\log x\ dx=x(\log x+1)+c$$

ESEMPIO 8 – 

Vediamo un altro esempio assimilabile al precedente

$$ \large \int \log^2x\ dx$$

Anche in questo caso sembrerebbe esservi internamente all’integrale una sola potenza: il quadrato del logaritmo di x.

Ancora una volta usiamo il trucco del fattore nascosto 1

Dunque possiamo riscrivere il testo in questo modo

$$ \int 1\cdot \log^2x\ dx$$

Definiamo il quadrato di logx il fattore f da derivare, mentre g il numero 1 che integriamo

$$ \begin{array}{l} f(x)=\log^2 x &\to& f'(x)=2\log x\frac{1}{x} \\ g'(x)=1 &\to& g(x)= \int 1\ dx=x \end{array}$$

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Quindi scriviamo:

$$ \int 1\cdot \log^2x\ dx= x\log^2x-\int 2\log x\frac{1}{x}\cdot x\ dx= x\log x-2\int\log x\ dx $$

Non ci resta dunque che integrare il logaritmo di x, che è esattamente quello che abbiamo fatto nell’esercizio precedente (numero 8)

$$ \int\log x\ dx=x(\log x+1)+c$$

Dunque possiamo riscrivere la soluzione finale

$$ \int \log^2x\ dx= x\log^2x-2x(\log x-1)+c$$

Raccogliamo la x a fattor comune

$$ \int \log^2x\ dx= x(\log^2x-2x\log x+2x)+c$$

ESEMPIO 9 – INTEGRALE DELL’ARCOTANGENTE DI X

Il trucchetto del fattore 1 nascosto è comodo per sbrogliare molte situazioni tra cui queste dei prossimi due esempi.

Vediamo di calcolare l’integrale della funzione arcotangente di x

$$ \large \int\tan^{-1}x\ dx$$

Riscriviamo il testo con il fattore 1

$$ \int 1\cdot\tan^{-1}x\ dx$$

Applichiamo la derivata dell’arcotangente e l’integrale di 1

$$ \begin{array}{l} f(x)=\tan^{-1}x &\to& f'(x)=\frac{1}{1+x^2} \\ g'(x)=1 &\to& g(x)= \int 1\ dx=x \end{array}$$

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Quindi scriviamo:

$$ \int 1\cdot\tan^{-1}x\ dx= x\tan^{-1}x-\int\frac{x}{1+x^2}\ dx$$

L’ultimo calcolo che dobbiamo fare è

$$ \int\frac{x}{1+x^2}\ dx $$

Ci accorgiamo osservandolo bene che se moltiplichiamo il numeratore per 2 otteniamo esattamente la derivata del denominatore.

Perciò moltiplichiamo per 2 internamente all’integrale e dividiamo per 2 (moltiplichiamo per 1/2) all’esterno

$$ \int\frac{x}{1+x^2}\ dx = \color{blue}{\frac{1}{2}}\int \frac{\color{blue}{2}x}{1+x^2}\ dx$$

Di questo modo possiamo giungere alla regola del logaritmo secondo cui l’integrale di una frazione in cui il numeratore è la derivata del denominatore è il logaritmo naturale del modulo del denominatore

$$ \int\frac{f'(x)}{f(x)}\ dx= \log\left|f(x)\right|+c$$

Dunque:

$$ \int \frac{2x}{1+x^2}\ dx= \log|1+x^2|+c$$

A questo punto scriviamo il nostro risultato finale (non dimentichiamoci 1/2) 

$$ \int \tan^{-1}x\ dx= x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\log|1+x^2|+c$$

Se vogliamo essere più eleganti possiamo togliere al modulo nel logaritmo (dal momento che 1+x2 è sempre positivo) e metterlo sotto radice togliendo 1/2

$$ \int \tan^{-1}x\ dx= x\tan^{-1}x-\log\sqrt{1+x^2}+c$$

ESEMPIO 10 – INTEGRALE DELL’ARCOSENO DI X

Vediamo di calcolare l’integrale della funzione arcoseno di x

$$ \large \int\sin^{-1}\ dx$$

Riscriviamo il testo con il fattore 1

$$ \int 1\cdot\sin^{-1}\ dx$$

Applichiamo la derivata dell’arcotangente e l’integrale di 1

$$ \begin{array}{l} f(x)=\sin^{-1}x &\to& f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ g'(x)=1 &\to& g(x)= \int 1\ dx=x \end{array}$$

Applicando dunque la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

scriviamo:

$$ \int 1\cdot\sin^{-1}x\ dx= x\sin^{-1}x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx$$

L’integrale residuo da calcolare è dunque:

$$ \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx$$

Possiamo riscrivere la radice quadrata al denominatore come una potenza di esponente -1/2

$$ \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx= \int x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\ dx$$

Perciò moltiplichiamo per –2 internamente di modo da ottenere –2x che è la derivata prima dell’argomento della potenza e dividiamo all’esterno per –2 (moltiplichiamo per –1/2 

$$ \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\color{blue}{-\frac{1}{2}}\int \color{blue}{-2} x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\ dx$$

Di questo modo possiamo giungere alla regola dell’integrale della potenza

$$ \int\left(f(x)\right)^\alpha\ dx= \frac{\left(f(x)\right)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$$

Dunque:

$$\int -2x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\ dx= \frac{(1-x^2)^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+c=2\sqrt{1-x^2}+c$$

A questo punto scriviamo il nostro risultato finale (non dimentichiamoci –1/2) 

$$ \int 1\cdot\sin^{-1}x\ dx= x\sin^{-1}x-\frac{1}{2}2\sqrt{1-x^2}+c= x\sin^{-1}x-\sqrt{1-x^2}+c$$

ESEMPIO 11 – INTEGRALE DI E ALLA X PER SENO DI X (CICLICO)

Vediamo ora un esercizio molto particolare in cui ripetiamo la procedura di integrazione per parti due volte con un sorprendente finale

$$\large \int e^x\sin x\ dx$$

Scegliamo come funzione f da derivare e^x e come funzione g’ da integrare sinx

$$ \begin{array}{l} f(x)=e^x &\to& f'(x)=e^x \\ g'(x)=\sin x &\to& g(x)= \int \sin x\ dx=-\cos x \end{array}$$

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Perciò scriviamo:

$$ \int e^x\sin x\ dx= -e^x\cos x-\int-e^x\cos x\ dx=-e^x\cos x+\int e^x\cos x\ dx= $$

La parte residua da integrare è

$$ \int e^x\cos x\ dx= $$

A questo punto continuiamo ad integrare per parti

Scegliamo ancora come funzione f da derivare ex mentre la funzione g’ da integrale è cosx

$$ \begin{array}{l} f(x)=e^x &\to& f'(x)=e^x \\ g'(x)=\cos x &\to& g(x)= \int \cos x\ dx=\cos x \end{array}$$

Procediamo con la regola per parti

$$ \int e^x\cos x\ dx= e^x\sin x-\int e^x\sin x\ dx$$

Ora riscriviamo tutto fino a qui

$$ \int e^x\sin x\ dx= -e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x\sin x\ dx $$

Spostiamo sulla sinistra l’ultimo integrale e lo sommiamo con quello iniziale mettendo un +c a destra (costante integrativa) 

$$ 2\int e^x\sin x\ dx= -e^x\cos x+e^x\sin x+c$$

Per determinare il risultato finale dobbiamo solamente dividere per 2 il lato detro dove raccogliamo il fattore esponenziale

$$\int e^x\sin x\ dx=\frac{e^x}{2}(-\cos x+\sin x)+c$$

(da notare che sul lato dentro non abbiamo diviso anche la costante c poiché la metà di una costante è sua volta una costante) 

ESEMPIO 12 – INTEGRALE DEL SENO DEL LOGARITMO DI X (CICLICO)

Chiudiamo la trattazione con un super esempio 

$$\large \int\sin(\log x)\ dx$$

Usiamo il trucchetto del fattore 1

$$ \int\sin(\log x)\ dx= \int 1\cdot\sin(\log x)\ dx$$

Scegliamo dunque la funzione composta come la nostra f da derivare, e la costante 1 come la funzione g’ da integrare:

$$ \begin{array}{l} f(x)=\sin(\log x) &\to& f'(x)=\cos(\log x)\cdot\frac{1}{x} \\ g'(x)=1 &\to& g(x)= \int 1\ dx=x \end{array}$$

Applichiamo la regola dell’integrazione per parti

$$ \int f(x)\cdot g'(x)\ dx= f(x) \cdot g(x) -\int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$

Da cui scriviamo:

$$ \int 1\cdot\sin(\log x)\ dx= x\sin(\log x)-\int\cos(\log x)\cdot \frac{1}{x}\cdot x\ dx \\ \ \\ \int \sin(\log x)\ dx= x\sin(\log x)-\int\cos(\log x)\ dx $$

Ora ci rimane da integrare

$$ \int\cos(\log x)\ dx $$

A questo punto continuiamo ad integrare per parti ancora una volta con il trucco del fattore 1

$$ \int\cos(\log x)\ dx = \int 1\cdot \cos(\log x)\ dx$$

Scegliamo ancora come funzione f da derivare ex mentre la funzione g’ da integrale è cosx

$$ \begin{array}{l} f(x)=\cos(\log x) &\to& f'(x)=-\sin(\log x)\cdot\frac{1}{x} \\ g'(x)=1 &\to& g(x)= \int 1\ dx=x \end{array}$$

Procediamo con la regola per parti

$$ \int 1\cdot\cos(\log x)\ dx= x\cos(\log x)-\int-\sin(\log x)\cdot \frac{1}{x}\cdot x\ dx \\ \ \\ \int \cos(\log x)\ dx= x\cos(\log x)+\int\sin(\log x)\ dx $$

Ora riscriviamo tutto fino a qui

$$ \int\sin(\log x)\ dx= x\sin(\log x)-\left(x\cos(\log x)+\int\sin(\log x)\ dx\right) \\ \ \\ \int\sin(\log x)\ dx= x\sin(\log x)-x\cos(\log x)-\int\sin(\log x)\ dx$$

Spostiamo sulla sinistra l’ultimo integrale e lo sommiamo con quello iniziale mettendo un +c a destra (costante integrativa) 

Sul lato destro raccogliamo inoltre la x a fattor comune

$$ 2\int\sin(\log x)\ dx= x\left(\sin(\log x)+\cos(\log x)\right)+c$$

Per determinare il risultato finale dobbiamo solamente dividere per 2 entrambi i lati dell’equazione

$$ \int\sin(\log x)\ dx= \frac{x}{2}\left(\sin(\log x)+\cos(\log x)\right)+c$$

(da notare che sul lato dentro non abbiamo diviso anche la costante c poiché la metà di una costante è sua volta una costante) 

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