LA FUNZIONE COSENO

La funzione coseno detta anche cosx è una funzione trascendente di natura goniometrica che associa ad ogni angolo il valore del suo coseno.

CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA FUNZIONE SENO

Questa funzione è:

• Periodica
• Limitata
• Pari 

Viene indicata con la scrittura

$$ \large y=\cos x $$

Il suo grafico è il seguente

Sotto riportiamo le principali caratteristiche di questa funzione:

IL CONCETTO DI COSENO NEL TRIANGOLO RETTANGOLO

Il concetto di coseno nasce dallo studio del triangolo rettangolo.

Si definisce coseno il rapporto tra il cateto adiacente all’angolo e l’ipotenusa

COSENO NEL TRIANGOLO RETTANGOLO

Nel triangolo rettangolo goniometrico ovvero quello con ipotenusa pari ad 1 il coseno di un angolo coincide con il cateto stesso adiacente all’angolo.

Dunque nella circonferenza goniometrica con centro nell’origine (0,0) e raggio uguale a 1 il coseno dell’angolo è pari all’ascissa del punto sulla circonferenza

COSENO DI ANGOLI NOTI 

Sotto mostriamo la tabella dei coseni dei principali angoli noti da 0 gradi a 180 gradi

TRIANGOLI RETTANGOLI SPECIALI

All’interno di tutti i triangoli rettangoli ve ne sono due molto particolari che ricoprono un ruolo veramente importante nella storia dell’uomo:

• Triangolo rettangolo isoscele (la metà di un quadrato) 
• Triangolo rettangolo 30-60-90 (metà di un triangolo equilatero) 

Da questi due triangoli possiamo calcolare il seno degli angoli 30, 45 e 60 gradi.

TRIANGOLO RETTANGOLO ISCOSCELE

Il primo è il triangolo rettangolo isoscele che è la metà di una quadrato.

Se definiamo l il lato del quadrato possiamo calcolare la diagonale d con la formula di Pitagora

$$d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}=\sqrt{2}l$$

Da che possiamo calcolare il valore del lato in funzione della diagonale

$$ d=\sqrt{2}l \to l=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}d$$

Si da il caso che la diagonale risulta l’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele.

I suoi angoli non retti misurano entrambi 45^o.

Dunque il coseno di 45^o vale rad2/2

$$ \cos45^o=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}i}{i}= \frac{\sqrt{2}}{2}$$

TRIANGOLO RETTANGOLO EMI-EQUILATERO

Il triangolo rettangolo emi-equilatero è la metà di un triangolo equilatero ed i suoi angoli misurano 30-60-90 gradi.

Detto l il lato del triangolo equilatero se tracciamo una altezza questa risulta sia bisettrice che mediana.

Dunque la base che stiamo considerando viene divisa in due parti congruenti di valore l/2.

A questo punto possiamo calcolare il valore dell’altezza h usando il teorema di Pitagora

$$h=\sqrt{l^2-\left(\frac{1}{2}l\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}l^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}l$$

Ora se consideriamo il triangolo rettangolo emi-equilatero con angoli 30-60-90 possiamo definire i l’ipotenusa e c1 e c2 i due cateti

L’ipotenusa i sarebbe il lato l del triangolo equilatero, mentre i due cateti misurano:

$$c_1=\frac{1}{2}i\ \text{adiacente a $60^o$}\quad c_2=\frac{\sqrt{3}}{2}i\ \text{adiacente a $30^o$}$$

Dunque per la definizione di coseno di una angolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa, dunque

$$ \cos60^o=\frac{c_1}{i}=\frac{\frac{1}{2}i}{i}=\frac{1}{2} \quad \cos30^o=\frac{c_2}{i}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}i}{i}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ricapitolando possiamo costruire i due triangoli rettangoli goniometriciassociati con ipotenusa pari a 1.

I cateti adiacenti agli angoli risultano pari al valore del coseno degli angoli

Questo due soli triangoli permettono di costruire molti altri triangoli sulla circonferenza goniometrica.

RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA

Il concetto di seno fa parte della relazione fondamentale della trigonometria.

Questa relazione afferma che per ogni angolo la somma del quadrato del seno e del quadrato del coseno è sempre pari a 1.

$$ \cos^2x+\sin^2x=1$$

Da questa relazione possiamo calcolare il valore del seno in funzione del coseno oppure viceversa:

$$ \sin x= \sqrt{1-\cos^x}\quad \cos x= \sqrt{1-\sin^x}$$

ANGOLI SULLA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Sulla base dei triangoli particolari che abbiamo appena costruito e dai quali abbiamo costruito le informazioni possiamo collocare gli angolisulla circonferenza goniometrica.

L’equazione della circonferenza goniometrica è:

$$ X^2+Y^2=1$$

Che richiama esattamente la relazione fondamentale della goniometria o trigonometria

$$ \cos^2x+\sin^2x=1$$

In questo caso optiamo per la sostituzione

$$ X=\cos x \quad Y=\sin x $$

Il suo centro C è l’origine del sistema cartesiano, mentre il suo raggio R vale 1

$$ C(0,0) \quad R=1$$

ANGOLI PARTICOLARI NELLA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Sulla circonferenza goniometrica possiamo collocare gli angoli noti più importanti.

In ogni punto della circonferenza goniometrica relativamente ad un angolo x troviamo come coordinate rispettivamente il coseno e il senodell’angolo x

$$P(\cos x ,\sin x)$$

In questo articolo in particolare ci interessa il valore del coseno

Sotto riportiamo la circonferenza con gli angoli più utilizzati

COSTRUZIONE DELLA FUNZIONE COSENO

Sulla base dei valori dei coseni in corrispondenza di ogni angolo che abbiamo rappresentato sulla circonferenza goniometrica possiamo rappresentare la funzione y=cosx

Rappresentiamo sull’asse della x il valore degli angoli mentre sull’asse delle x i valori dei coseni.

Cominciamo a rappresentarli nell’intervallo (0, 2π).

PERIODO DELLA FUNZONE COSENO DI X

La funzione coseno di x è una funzione periodica, ovvero che si ripete identica in ogni suo periodo.

Il periodo della funzione seno è 2π.

UTILITÀ DEL COSENO NELLA GEOMETRIA

Nella storia della geometria il concetto di coseno ha ricoperto e ricopre ancora oggi un ruolo veramente molto importante.

Un formidabile esempio è il Teorema del coseno

TEOREMA DEL COSENO NEI TRIANGOLI

Il teorema del coseno è un ampliamento del teorema di Pitagora.

Questo teorema  afferma che in un qualsiasi triangolo il quadrato di un lato è pari alla somma del quadrato degli altri due meno il doppio prodotto dei lati moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso.

Consideriamo  un triangolo generico di lati a,b,c  

Definiamo gli angoli del triangolo 𝛼, 𝛽, 𝛾 opposti rispettivamente ad  a,b,c

Trasformato in equazione il teorema del coseno è:

$$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

Da che possiamo dedurre immediatamente che:

$$ c= \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$$

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Un viaggio che parte dai concetti elementari (seno, coseno e tangente) , passando per le formule di trasformazione degli angoli, le equazioni e le disequazioni goniometriche, fino ai teoremi e problemi sui triangoli.

COSENO DI ANGOLI ASSOCIATI 

Un capitolo molto interessante della goniometria riguarda le formule degli angoli associati.

Tali formule permettono di esprimere il coseno di alcuni angoli in funzione del seno o del coseno di altri angoli .

Fissato un generico angolo 𝛼 i suo principali angoli associati sono:

$$ -\alpha \quad \pi \pm \alpha \quad \frac{\pi}{2}\pm\alpha \quad \frac{3}{2}\pi\pm\alpha $$

In particolare abbiamo che:

$$ \begin{array}{l} \cos(-\alpha)=\cos\alpha & \cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha \\ \cos\left(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)=\mp\text{sin}\alpha & \cos\left(\frac{3}{2}\pi\pm\alpha\right)=\pm\text{sin}\alpha \end{array} $$

FORMULE GONIOMETRICHE CON IL COSENO

La teoria della goniometria che riguarda il coseno è veramente molto vasta e tante sono le formule che lo riguardano.

A tal proposito ricordiamo le formule di:

• Addizione e sottrazione
• Duplicazione  e bisezione
• Parametriche
• Prostaferesi

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Le formule di addizione e sottrazione per il coseno sono:

$$ \begin{array}{l} \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos \beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos \beta+\sin\alpha\sin\beta \end{array}$$

FORMULE DI DUPLICAZIONE E BISEZIONE

Le formule di duplicazione e di bisezione per la funzione coseno sono:

$$ \begin{array}{l} \cos2\alpha= \cos^2\alpha-\sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \\ \cos\frac{\alpha}{2}= \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \end{array}$$

FORMULE PARAMETRICHE

Nella formula parametrica il coseno di un certo angolo viene riscritto in funzione della tangente della metà dell’angolo:

$$ \cos\alpha = \frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$$

FORMULE DI PROSTAFERESI 

Con le formule di Prostaferesi possiamo riscrivere la somma o la differenza tra il coseno di due angoli in funzione del seno e del coseno della semi-somma o la semi-differenza degli angoli

$$ \begin{array}{l} \cos p + \cos q = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) \\ \cos p – \cos q = 2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right) \end{array}$$

EQUAZIONI ELEMENTARI CON IL COSENO

Grazie al concetto di seno di un angolo possiamo creare delle equazioni che hanno proprio come incognita questo oggetto goniometrico.

Le equazioni elementari in coseno si presentano nella forma:

$$\cos x = h $$

Dal punto di vista grafico mettiamo a sistema la circonferenza goniometrica con la retta verticale x = h

Le soluzioni di questa equazione sono due quando i valori della costante sono compresi tra –1 e 1 (modulo di h minore di 1) e sono tutti gli angoli del tipo:

$$ |h|<1 \to -1<h<1 \to \\ \ \\ x= \pm\cos^{-1}h +2k\pi \quad \text{con $k\in\mathbb{Z}$}$$

Abbiamo invece una sola funzione quando il valore di h vale +1 oppure –1 (modulo di h uguale a 1) , in particolare

$$ \begin{array}{l} h=1 &\to& x=2k\pi \\ \ \\ h=-1 &\to& x= \pi+2k\pi \end{array}$$

Quando invece la costante h risulta maggiore di +1 oppure minore di –1 (modulo di h maggiore di 1) allora non vi sono soluzioni reali

$$ |h|>1 \to h<-1 \lor h>1 \to \not \exists x \in \mathbb{R}$$

Un’altra forma elementare in cui possono manifestarsi le equazioni che hanno come oggetto il coseno di un angolo sono del tipo:

$$ \cos\left(f(x)\right) = \cos\left(g(x)\right) $$

La soluzione generale di questo tipo di equazioni è del tipo:

$$ f(x) = \pm g(x) +2k\pi \quad \text{con $k\in\mathbb{Z}$}$$

LIMITI NOTEVOLI CON IL COSENO

Il ruolo del seno ricopre un ruolo centrale all’interno della teoria dei limiti ed in particolare nei limiti notevoli che riguardano la forma indeterminata zero su zero

La forma indeterminata che riguarda il coseno è

$$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $$

Per la sua dimostrazione occorre conoscere la forma indeterminata del seno di x, ovvero che:

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$

Partendo dalla scrittura:

$$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$$

Moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per (1+cosx)

$$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} \cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x}= \lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2 x}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\cos x}$$

Per la relazione fondamentale della goniometria

$$ 1-\cos^2x=\sin^2x$$

Dunque possiamo scrivere che il limite da calcolare è

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\cos x}= \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}$$

Spezziamo dunque il calcolo del limite in due parti

$$ \left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \lim_{x\to0}\frac{1}{1+\cos x}= 1^2\cdot\frac{1}{2}= \frac{1}{2}$$

Nella teoria degli asintotici la possiamo scrivere anche in questo modo:

$$ x\to0:\ 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $$

Quando la x tende a zero la funzione (1-cosx) diventa asintotica alla parabola y=1/2 x^2 

DERIVATA PRIMA DELLA FUNZIONE COSENO DI X

La derivata prima del coseno di x è l’opposto del seno di x.

$$ y=\cos x \to y’=-\sin x$$

La dimostrazione di questa formulazione è da ricercarsi proprio nei limiti notevoli.

Consideriamo la funzione goniometrica cosx :

$$ f(x) \cos x$$

Applichiamo per il calcolo il limite del rapporto incrementale

$$ \begin{array}{h} f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}=\frac{0}{0} \end{array}$$

Applichiamo le proprietà della somma di angoli

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\cos x \cos h -\sin x \sin h-\cos x}{h}\right)=$$

Notiamo che quando la h tende a zero il cosh tende a  1

$$ h\to0:\ \cos h\sim 1 $$

Dunque riscriviamo il nostro limite come

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\cos x -\sin x \sin h-\cos x}{h}\right)=\lim_{h\to0}\left(\frac{ -\sin x \sin h}{h}\right)$$

Per le proprietà dei limiti notevoli la funzione sinh tende ad h quando h tende a zero

$$ h\to0:\ \sin h\sim h $$

Dunque il nostro limite è in maniera asintotica risulta

$$ f'(x)= \lim_{h\to0}\left( \frac{-\sin x \sin h}{h}\right) \sim \lim_{h\to0}\left( \frac{-h\sin x }{h}\right)= -\sin x $$

SVILUPPO DI TAYLOR DELLA FUNZIONE COSENO

Quando le cose diventano più specifiche i limiti notevoli non riescono ad offrire un grado di precisione sufficiente per calcolare alcune forme indeterminate zero su zero.

A questo scopo servono le formule relative al polinomio di Taylor – Mac Laurin

In particolare è possibile approssimare la funzione coseno di x in un intorno molto piccolo di x=0  attraverso un polinomio di grado n di questo tipo:

$$ \cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots +\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}$$

Queste nozioni si apprendono principalmente nei corsi universitari di ingegneria, fisica, chimica e matematica.

INTEGRALE DELLA FUNZIONE COSENO

L’integrale è un operatore matematico detto anche anti-derivata.

Nel caso particolare del coseno abbiamo che il suo integrale è la funzione –coseno di x

$$ \int\cos x = \sin x +c$$

LA FUNZIONE INVERSA DEL COSENO DI X

La funzione inversa del coseno di x è arcocoseno di x detta anche cos^-1x.

$$ f(x)= \cos x \to f^{-1}(x)= \cos^{-1}x =\arccos x$$

Questa funzione calcola il valore dell’angolo in corrispondenza di ogni valore del coseno.

Il suo dominio va da –1 a +1.

Mentre il suo codominio va da 0π a +π

IL COSENO NEI NUMERI COMPLESSI

Verso il 1600 nasce in Europa una nuova affascinante materia, quella dei numeri complessi.

Questa teoria si basa sull’unità immaginaria i il cui quadrato è il numero negativo –1.

Una rivoluzione matematica!

Questa rivoluzione porta alla creazione di numeri complessi z dotati di una parte reale a che viene sommata ad una parte immaginaria ib.

$$ z= a+ib$$

I matematici del tempo connettono la teoria dei numeri complessi con la già affermata teoria della goniometria.

Il coseno e il seno sono utilizzati per rappresentare rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria dei numeri.

$$ z= a+ib= \rho\cos\theta+i\rho\sin\theta$$

I numeri immaginari vengono rappresentati come vettori nel piano di Gauss, matematico tedesco vissuto tra il 1777 e il 1855.

$$ z=a+ib=\rho\cos\theta+i\rho\sin\theta\\ \ \\ \begin{array}{l} a=\rho\cos\theta\ \text{ è la parte reale di z} \\ b=\rho\sin\theta\ \text{ è la parte immaginaria di z}\\ \rho=\sqrt{a^2+b^2}\ \text{ è il modulo di z} \\ \theta\ \text{è l’angolo formato dal numero complesso con l’asse dei reali} \end{array} $$

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