La Curva di Lorenz è uno strumento grafico fondamentale in statistica e in economia per rappresentare e analizzare la concentrazione o la disuguaglianza nella distribuzione di un carattere trasferibile (come reddito, spesa, o ricchezza) all’interno di una popolazione.
Introduzione e Teoria
La Curva di Lorenz mette in relazione la quota cumulativa di unità statistiche con la quota cumulativa dell’ammontare totale del carattere da esse posseduta.
Il grafico è costruito in un quadrato con assi che vanno da 0 a 1 (o da 0% a 100%):
- Asse Orizzontale ($F_i$): Rappresenta la frequenza relativa cumulata delle unità (es. la percentuale di famiglie).
- Asse Verticale ($Q_i$): Rappresenta la frequenza relativa cumulata dell’ammontare del carattere (es. la percentuale della Spesa Totale).
All’interno di questo quadrato, si tracciano due elementi chiave:
- Retta di Perfetta Equidistribuzione (o di Uguaglianza): È la diagonale del quadrato, che unisce (0,0) a (1,1). Rappresenta la situazione teorica in cui il $X\%$ delle unità possiede esattamente il $X\%$ dell’ammontare totale (cioè, $F_i = Q_i$).
- Curva di Lorenz (o Curva di Concentrazione): È la linea spezzata che unisce i punti $(F_i, Q_i)$ calcolati dai dati. Essendo un carattere trasferibile, questa curva giace sempre al di sotto della Retta di Equidistribuzione (ad eccezione dei punti iniziale e finale).
Interpretazione: Più la Curva di Lorenz si allontana dalla Retta di Equidistribuzione (più è “panciuta”), maggiore è il grado di concentrazione o disuguaglianza. L’area compresa tra la Curva di Lorenz e la Retta di Uguaglianza è direttamente proporzionale all’Indice di Gini.
Applicazione all’Esercizio 1 (Tema 3): Spesa per Vacanze
Per tracciare la Curva di Lorenz, dobbiamo disporre dei dati per i totali di spesa di ciascuna classe. Poiché il Tema 3 non fornisce direttamente i totali di spesa, ma le medie di classe ($M_i$), dobbiamo prima stimare la Spesa Totale ($T_i$) per ciascuna classe, utilizzando la relazione: $T_i \approx M_i \cdot n_i$.
Dati Iniziali (Tema 3)
- Numero Totale di Famiglie ($\mathbf{N=500}$).
| Classe ($i$) | Spesa per vacanze | $n_i$ (Freq. Assoluta) | $\mathbf{M_i}$ (Media di Classe) |
|---|---|---|---|
| 1 | $0 \rightarrow 0,5$ | 100 | 0,3 |
| 2 | $0,5 \rightarrow 1,5$ | 150 | 1,2 |
| 3 | $1,5 \rightarrow 3$ | 200 | 2,1 |
| 4 | $3 \rightarrow 5$ | 50 | 4,5 |
| Totale | $\mathbf{N=500}$ |
Passo 1: Calcolo della Spesa Totale di Classe ($T_i$) e Spesa Totale Complessiva ($T_{TOT}$)
Si stima $T_i \approx M_i \cdot n_i$.
| $i$ | $n_i$ | $M_i$ | $\mathbf{T_i = M_i \cdot n_i}$ (Totale Spesa Stimata) |
|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 0,3 | $100 \cdot 0,3 = 30$ |
| 2 | 150 | 1,2 | $150 \cdot 1,2 = 180$ |
| 3 | 200 | 2,1 | $200 \cdot 2,1 = 420$ |
| 4 | 50 | 4,5 | $50 \cdot 4,5 = 225$ |
| Somma | $\mathbf{T_{TOT} = 855}$ |
La Spesa Totale Complessiva Stimata è $\mathbf{855}$ migliaia di euro.
Passo 2: Calcolo delle Frequenze Cumulate ($F_i$ e $Q_i$)
Si calcolano le coordinate dei punti della Curva di Lorenz: $F_i$ (quota cumulata di famiglie) e $Q_i$ (quota cumulata della spesa). Si assumono i punti iniziali $F_0 = 0$ e $Q_0 = 0$.
| $i$ | $n_i$ | $\mathbf{F_i = \frac{\sum n_j}{500}}$ (Unità Cumulate) | $T_i$ (Spesa di Classe) | $\mathbf{T_{Cum} = \sum T_j}$ (Spesa Totale Cumulata) | $\mathbf{Q_i = \frac{T_{Cum}}{855}}$ (Ammontare Cumulato) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.00 | 0 | 0 | 0.000 |
| 1 | 100 | $100/500 = \mathbf{0.20}$ | 30 | 30 | $30/855 \approx \mathbf{0.035}$ |
| 2 | 150 | $250/500 = \mathbf{0.50}$ | 180 | 210 | $210/855 \approx \mathbf{0.246}$ |
| 3 | 200 | $450/500 = \mathbf{0.90}$ | 420 | 630 | $630/855 \approx \mathbf{0.737}$ |
| 4 | 50 | $500/500 = \mathbf{1.00}$ | 225 | 855 | $855/855 = \mathbf{1.000}$ |
Passo 3: Tracciamento della Curva (Descrizione)
La Curva di Lorenz è tracciata unendo sequenzialmente i seguenti punti:
$$\text{Punti} = (0.00, 0.00), (0.20, 0.035), (0.50, 0.246), (0.90, 0.737), (1.00, 1.00)$$
Commento e Conclusione
L’analisi dei punti $(F_i, Q_i)$ mostra una significativa concentrazione nella Spesa per vacanze:
- Il 20% delle famiglie ($F_1 = 0.20$) possiede solo il $\mathbf{3.5\%}$ della spesa totale ($Q_1 = 0.035$).
- Il 50% delle famiglie ($F_2 = 0.50$) possiede meno di un quarto ($\mathbf{24.6\%}$) della spesa totale ($Q_2 = 0.246$).
- Solo il 10% delle famiglie più abbienti (l’ultima classe, $1.00 – 0.90 = 0.10$) possiede circa il $26.3\%$ della spesa totale ($1.000 – 0.737$).
Questa forte deviazione dalla Retta di Equidistribuzione ($F_i = Q_i$) indica un’alta disuguaglianza nella distribuzione della spesa, con la maggior parte dell’ammontare concentrato in una minoranza di famiglie.