In geometria analitica, il vettore normale ad un piano o iperpiano è un vettore non nullo che risulta perpendicolare (ortogonale) a ogni vettore giacente sulla superficie stessa.
Questo concetto è fondamentale perché il vettore normale definisce l’orientamento del piano nello spazio e ci permette di risolvere rapidamente problemi di parallelismo, perpendicolarità e distanze.
INDICE
Calcolo dall’equazione cartesiana
Il modo più immediato per individuare il vettore normale è partire dall’equazione cartesiana.
Dato un piano $\pi$ nello spazio $R^3$:
$$ax + by + cz + d = 0$$
Il vettore normale $n$ è costituito semplicemente dai coefficienti delle variabili:
$$n = (a, b, c)$$
Generalizzazione agli iperpiani
Questo concetto si estende naturalmente a dimensioni superiori. Un vettore normale ad un piano o iperpiano in $R^n$ definito dall’equazione $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + d = 0$ sarà il vettore:
$$n = (a_1, a_2, \dots, a_n)$$
Esempio:
Dato il piano $\alpha: 2x – 3y + 5z – 4 = 0$.
Il suo vettore normale è immediatamente $n_{\alpha} = (2, -3, 5)$.
Calcolo dall’equazione parametrica
Se il piano è definito in forma parametrica, conosciamo due vettori direzionali $v$ e $w$ che generano il piano (linearmente indipendenti):
$$\pi: P_0 + \lambda v + \mu w$$
Poiché il vettore normale $n$ deve essere perpendicolare sia a $v$ che a $w$, possiamo calcolarlo utilizzando il prodotto vettoriale (valido in $R^3$):
$$n = v \times w$$
Il risultato sarà un vettore ortogonale al piano generato da $v$ e $w$.
Esempio pratico: Calcolo dal prodotto vettoriale
Consideriamo un piano che passa per il punto $P(3, 1, -2)$ ed è generato dai due vettori direzionali:
- $v = (1, 2, 3)$
- $w = (0, 1, 1)$
Le sue equazioni parametriche sono:
$$\begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 + 2\lambda + \mu \\ z = -2 + 3\lambda + \mu \end{cases}$$
Per trovare il vettore normale $n$, che deve essere perpendicolare al piano, calcoliamo il prodotto vettoriale tra $v$ e $w$.
Impostiamo la matrice con i versori $i, j, k$ nella prima riga e le componenti dei vettori nelle righe successive:
$$n = v \times w = \det \begin{pmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Svolgiamo il calcolo del determinante (sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga):
- Componente $i$ (asse x):Copriamo la colonna di $i$. Calcoliamo il determinante $2 \times 2$ rimanente:$(2)(1) – (3)(1) = 2 – 3 = -1$
- Componente $j$ (asse y):Copriamo la colonna di $j$. Ricordiamo di cambiare segno al risultato:$- [(1)(1) – (3)(0)] = – [1 – 0] = -1$
- Componente $k$ (asse z):Copriamo la colonna di $k$.$(1)(1) – (2)(0) = 1 – 0 = 1$
Il vettore normale risultante è quindi:
$$n = (-1, -1, 1)$$
Questo vettore $n(-1, -1, 1)$ rappresenta i coefficienti $(a, b, c)$ dell’equazione cartesiana del piano, che sarà del tipo $-x – y + z + d = 0$.
Hai bisogno di ripassare i concetti precedenti? Ecco gli articoli fondamentali per non perdere il filo:
- Piani e iperpiani nello spazio
- La posizione tra due piani nello spazio
- La distanza di una retta da un piano
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