Capire la posizione tra due piani è un passaggio fondamentale della geometria analitica nello spazio, poiché ci permette di stabilire se due superfici piane sono parallele, incidenti o addirittura perpendicolari. A differenza delle rette, due piani nello spazio non possono essere sghembi: o si intersecano lungo una retta o non si toccano mai.
Per determinare la loro posizione reciproca, non è necessario risolvere complessi sistemi lineari; spesso basta analizzare i coefficienti delle loro equazioni cartesiane, che corrispondono ai loro vettori normali.
Analisi dei vettori normali
Consideriamo due piani definiti dalle equazioni cartesiane generali:
- $\alpha: ax + by + cz + d = 0$
- $\beta: a’x + b’y + c’z + d’ = 0$
I vettori normali (perpendicolari ai rispettivi piani) sono:
- $n_{\alpha} = (a, b, c)$
- $n_{\beta} = (a’, b’, c’)$
Studiando la relazione tra questi due vettori, possiamo classificare la posizione tra due piani in tre casistiche principali.
1. Piani paralleli
Due piani sono paralleli se i loro vettori normali sono paralleli, ovvero se le loro componenti sono proporzionali.
La condizione è:
$$n_{\alpha} = k \cdot n_{\beta} \Rightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} = k$$
Se anche il termine noto è nello stesso rapporto ($k = d/d’$), i piani sono coincidenti (lo stesso piano). Se il rapporto dei termini noti è diverso, i piani sono distinti e paralleli.
Esempio:
Dati i piani:
$\pi: 2x – y + 3z + 2 = 0$
$\beta: 4x – 2y + 6z + 3 = 0$
I vettori normali sono $n_{\pi} = (2, -1, 3)$ e $n_{\beta} = (4, -2, 6)$.
Notiamo che:
$$\frac{4}{2} = 2, \quad \frac{-2}{-1} = 2, \quad \frac{6}{3} = 2$$
I vettori sono proporzionali ($n_{\beta} = 2n_{\pi}$), quindi i piani sono paralleli.
2. Piani perpendicolari
Due piani sono perpendicolari se i loro vettori normali sono ortogonali tra loro. La condizione si verifica se il loro prodotto scalare è nullo:
$$n_{\alpha} \cdot n_{\beta} = 0 \Rightarrow aa’ + bb’ + cc’ = 0$$
Esempio:
Dati i piani:
$\pi: 2x – y + 3z + 2 = 0$
$\gamma: x – y – z – 4 = 0$
I vettori normali sono $n_{\pi} = (2, -1, 3)$ e $n_{\gamma} = (1, -1, -1)$.
Calcoliamo il prodotto scalare:
$$n_{\pi} \cdot n_{\gamma} = (2)(1) + (-1)(-1) + (3)(-1) = 2 + 1 – 3 = 0$$
Poiché il prodotto scalare è zero, i piani sono perpendicolari.
3. Piani incidenti (generici)
Se i vettori normali non sono proporzionali, i piani non sono paralleli e quindi si intersecheranno sicuramente lungo una retta. Se il prodotto scalare non è nullo, l’incidenza non è perpendicolare.
Esempio:
Dati i piani:
$\pi: 2x – y + 3z + 2 = 0$
$\alpha: x – 3y + 2z – 1 = 0$
I vettori sono $n_{\pi} = (2, -1, 3)$ e $n_{\alpha} = (1, -3, 2)$.
Verifichiamo la proporzionalità: $\frac{1}{2} \neq \frac{-3}{-1}$. Non sono paralleli.
Verifichiamo il prodotto scalare: $2(1) + (-1)(-3) + 3(2) = 2 + 3 + 6 = 11 \neq 0$.
I piani sono semplicemente incidenti.
Hai perso qualche passaggio fondamentale? Per avere un quadro completo della geometria nello spazio, ti consiglio di consultare anche i nostri articoli precedenti: