In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Equazioni Esponenziali del tipo $a^{f(x)} = k$. Utilizzeremo la definizione di logaritmo per “far scendere” l’esponente e risolvere l’equazione risultante.
Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato.
INDICE
- 1 Ripasso: Dalla Potenza al Logaritmo
- 2 Esercizi Svolti (Vario Tipo)
- 3 💡 Approfondisci le Basi Matematiche
Ripasso: Dalla Potenza al Logaritmo
Quando ci troviamo di fronte a un’equazione nella forma:
$$a^{f(x)} = k$$
Possiamo risolverla applicando la definizione di logaritmo (o applicando il logaritmo in base $a$ a entrambi i membri):
$$f(x) = \log_a k$$
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A questo punto, l’equazione esponenziale diventa una normale equazione algebrica (lineare, quadratica, irrazionale, ecc.) dove il termine noto è il valore del logaritmo.
Nota: Affinché l’equazione abbia soluzione, deve essere $k > 0$ (poiché l’esponenziale è sempre positivo).
Esercizi Svolti (Vario Tipo)
Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente, spaziando tra diverse tipologie di funzioni all’esponente.
Livello Semplice (Primo Grado e Secondo Grado Base)
Esercizio 1: Esponente Lineare
Domanda: Risolvi $2^{3x – 1} = 32$.
Risposta Corretta: $x = 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- Passaggio ai Logaritmi: $3x – 1 = \log_2 32$.
- Calcolo Logaritmo: Poiché $2^5 = 32$, allora $\log_2 32 = 5$.
- Equazione Lineare: $3x – 1 = 5$.
- Risoluzione: $3x = 6 \rightarrow x = 2$.
Esercizio 2: Esponente Quadratico
Domanda: Risolvi $3^{x^2 – 2x} = 27$.
Risposta Corretta: $x = 3; x = -1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- Passaggio ai Logaritmi: $x^2 – 2x = \log_3 27$.
- Calcolo Logaritmo: $\log_3 27 = 3$ (perché $3^3=27$).
- Equazione Quadratica: $x^2 – 2x = 3 \rightarrow x^2 – 2x – 3 = 0$.
- Risoluzione: $(x – 3)(x + 1) = 0$.
- Soluzioni: $x = 3$ e $x = -1$.
Livello Intermedio (Frazioni e Logaritmi Frazionari)
Esercizio 3: Esponente Lineare (Logaritmo Negativo)
Domanda: Risolvi $5^{2x + 4} = \frac{1}{25}$.
Risposta Corretta: $x = -3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- Passaggio ai Logaritmi: $2x + 4 = \log_5 \left(\frac{1}{25}\right)$.
- Calcolo Logaritmo: $\frac{1}{25} = 5^{-2}$, quindi il logaritmo vale $-2$.
- Equazione Lineare: $2x + 4 = -2$.
- Risoluzione: $2x = -6 \rightarrow x = -3$.
Esercizio 4: Esponente Fratto (Semplice)
Domanda: Risolvi $4^{\frac{x+1}{2}} = 64$.
Risposta Corretta: $x = 5$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- Passaggio ai Logaritmi: $\frac{x+1}{2} = \log_4 64$.
- Calcolo Logaritmo: $4^3 = 64$, quindi il logaritmo vale $3$.
- Equazione Fratta: $\frac{x+1}{2} = 3$.
- Risoluzione: $x + 1 = 6 \rightarrow x = 5$.
Livello Avanzato (Esponenti Fratti e Irrazionali)
Esercizio 5: Esponente Fratto (Incognita al Denominatore)
Domanda: Risolvi $2^{\frac{6}{x}} = 8$.
Risposta Corretta: $x = 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- Passaggio ai Logaritmi: $\frac{6}{x} = \log_2 8$.
- Calcolo Logaritmo: $\log_2 8 = 3$.
- Equazione Fratta: $\frac{6}{x} = 3$ (C.E. $x \ne 0$).
- Risoluzione: $6 = 3x \rightarrow x = 2$.
Esercizio 6: Esponente Irrazionale (Radice)
Domanda: Risolvi $3^{\sqrt{x+1}} = 9$.
Risposta Corretta: $x = 3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
- Passaggio ai Logaritmi: $\sqrt{x+1} = \log_3 9$.
- Calcolo Logaritmo: $\log_3 9 = 2$.
- Equazione Irrazionale: $\sqrt{x+1} = 2$.
- Risoluzione: Eleviamo al quadrato (con $x+1 \ge 0$).$x + 1 = 4 \rightarrow x = 3$.
Livello Molto Avanzato (Valore Assoluto e Casi Misti)
Esercizio 7: Esponente con Valore Assoluto
Domanda: Risolvi $2^{|x – 2|} = 8$.
Risposta Corretta: $x = 5; x = -1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
- Passaggio ai Logaritmi: $|x – 2| = \log_2 8$.
- Calcolo Logaritmo: $\log_2 8 = 3$.
- Equazione con Modulo: $|x – 2| = 3$.
- Casi:
- $x – 2 = 3 \rightarrow x = 5$.
- $x – 2 = -3 \rightarrow x = -1$.
- Soluzioni: $S = \{5, -1\}$.
Esercizio 8: Esponente Irrazionale Quadratico
Domanda: Risolvi $10^{\sqrt{x^2 – 5}} = 100$.
Risposta Corretta: $x = 3; x = -3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
- Passaggio ai Logaritmi: $\sqrt{x^2 – 5} = \log_{10} 100$.
- Calcolo Logaritmo: $\log_{10} 100 = 2$.
- Equazione Irrazionale: $\sqrt{x^2 – 5} = 2$.
- Risoluzione: Eleviamo al quadrato (C.E. $x^2-5 \ge 0$).$x^2 – 5 = 4 \rightarrow x^2 = 9$.
- Soluzioni: $x = 3$ e $x = -3$. (Entrambe accettabili nella C.E.).
Livello Molto Molto Avanzato (Casi Complessi)
Esercizio 9: Fratta Complessa all’Esponente
Domanda: Risolvi $4^{\frac{x^2}{x+1}} = 16$.
Risposta Corretta: $x = 1 \pm \sqrt{3}$ (No, attendo razionale. Ricalibro).
Esercizio 9 (Riformulato): Risolvi $3^{\frac{x^2-2}{x+1}} = 3$.
Risposta Corretta: $x = 3; x = -2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- Passaggio ai Logaritmi: $\frac{x^2-2}{x+1} = \log_3 3$.
- Calcolo Logaritmo: $\log_3 3 = 1$.
- Equazione Fratta: $\frac{x^2-2}{x+1} = 1$. (C.E. $x \ne -1$).
- Risoluzione: $x^2 – 2 = x + 1 \rightarrow x^2 – x – 3 = 0$. (Non viene razionale. Riformulo ancora).
Esercizio 9 (Definitivo): Risolvi $2^{\frac{x^2+2}{x}} = 8$.
Risposta Corretta: $x = 1; x = 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- Passaggio: $\frac{x^2+2}{x} = \log_2 8 = 3$.
- Equazione: $x^2 + 2 = 3x \rightarrow x^2 – 3x + 2 = 0$.
- Soluzioni: $(x-1)(x-2) = 0 \rightarrow x=1, x=2$.
Esercizio 10: Valore Assoluto e Radice
Domanda: Risolvi $5^{| \sqrt{x} – 3 |} = 25$.
Risposta Corretta: $x = 25; x = 1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
- Passaggio ai Logaritmi: $|\sqrt{x} – 3| = \log_5 25$.
- Calcolo Logaritmo: $\log_5 25 = 2$.
- Equazione: $|\sqrt{x} – 3| = 2$.
- Casi:
- $\sqrt{x} – 3 = 2 \rightarrow \sqrt{x} = 5 \rightarrow x = 25$.
- $\sqrt{x} – 3 = -2 \rightarrow \sqrt{x} = 1 \rightarrow x = 1$.
- Soluzioni: $S = \{25, 1\}$.
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