FRAZIONI ALGEBRICHE

In questo articolo vediamo cosa sono le frazioni algebriche, le loro caratteristiche e operazioni principali.

FRAZIONI ALGEBRICHE – DEFINIZIONE

Le frazioni algebriche sono strutture matematiche che si esprimono come un rapporto tra due polinomi.

In generale possiamo scriverla in questo modo:

$$ \frac {N(x)}{D(x)} $$

Dove N(x) rappresenta il polinomio al numeratore, mentre D(x) il polinomio al denominatore.

ESEMPI DI FRAZIONI ALGEBRICHE

Esempi di frazione algebriche sono:

$$ \frac{x+2}{2x+3} $$

in cui sia il numeratore che il denominatore sono polinomi di primo grado.

$$ \frac{x^2 -1}{3x-1} $$

dove il numeratore ha grado due, mentre il denominatore è di grado uno.

$$ \frac{x^3 -x^2 +x + 1 }{3x^2 -2x -1 } $$

che presenta un polinomio di terzo grado al numeratore e un polinomio di secondo grado al denominatore.

CONDIZIONI DI ESITESTENZA

Una frazione algebrica esiste se e solo se il denominatore è diverso da zero.

Definiamo questa la condizione di esistenza delle frazioni algebriche.

Se ci pensate bene non ha senso dividere un numero per zero.

$$ \frac {N(x)}{ \color{green}{ \fbox{ $\color{black}{D(x)}$}}} : \quad CE: \ \color{green}{ \fbox {$ \color{black}{ D(x) \ne 0} $}} $$

ESEMPIO 1 DI CONDIZIONI DI ESISTENZA

Facciamo qualche esempio di applicazione della condizione di esistenza su frazioni algebriche.

Cominciamo con una frazione algebrica molto semplice:

$$ \frac{x+1}{x-1} $$

A questo punto andiamo ad imporre il denominatore diverso da zero.

$$ x-1 \ne 0 $$

Ovvero 

$$ x \ne 1 $$

ESEMPIO 2 DI CONDIZIONI DI ESISTENZA

Ora prendiamo una frazione algebrica che presenta al denominatore un polinomio di grado due.

$$ \frac{x + 3}{ x^2 -4} $$

Esattamente come prima imponiamo il denominatore diverso da zero.

$$ x^2 -4 \ne 0 $$

Scomponiamo la differenza di quadrati.

$$ (x+2 ) \cdot (x-2) \ne o $$

Ora imponiamo ogni fattore della scomposizione diverso da zero e risolviamo le due equazioni di primo grado.

$$ x+2 \ne 0 \ \to \ x \ne -2 $$

$$ x-2 \ne 0 \ \to \ x \ne +2 $$

Se preferite leggerlo come scritto a mano:

ESEMPIO 3 DI CONDIZIONI DI ESISTENZA

Vediamo ancora un esempio sempre più complicato di dominio di una frazione algebrica:

$$ \frac{ 2x^2 +x -1}{ x^3 -3x^2 +2x} $$

Imponiamo il denominatore diverso da zero

$$ x^3 -3x^2 +2x \ne 0 $$

Si tratta come vedete di un polinomio di terzo grado.

Per scomporlo raccogliamo a fattor comune la x: 

$$ x \cdot \ (x^2 -3x +2 ) \ne 0 $$

Dopodiché riconosciamo all’interno della parentesi un trinomio speciale di secondo grado con prodotto pari a +2 e somma -3.

La coppia di valori che ci restituisce questi valori è -2 e -1

Per questo la scomposizione finale diventa:

$$ x \cdot (x-2) \cdot (x-1) \ne 0 $$

A questo punto imponiamo ognuno dei tre fattori di grado uno in x diverso da zero.

$$ x \ne 0 $$

$$ x-2 \ne 0 \ \to \ x \ne +2 $$

$$ x+2 \ne 0 \ \to \ x \ne -2 $$

FRAZIONE RIDOTTA AI MINIMI TERMINI

Definiamo frazione ridotta ai minimi termini una frazione in cui non possiamo semplificare il numeratore e il denominatore.

Questo avviene perché nel numeratore e nel denominatore non vi sono fattori (polinomi) simili.

Quando questo si verifica diciamo che il numeratore e il denominatore sono primi tra di loro.

ESMPIO DI FRAZIONI ALGEBRICHE RIDOTTE AI MINIMI TERMINI

Se consideriamo la seguente frazione algebrica

$$ \frac {x+5}{x+1} $$

Notiamo subito che il numeratore e il denominatore sono polinomi di primo grado e che dunque non possiamo più scomporre.

La frazione presenta sia al sopra che al di sotto della linea di frazione fattori primi ovvero inscomponibili.

Dal momento che il numeratore e il denominatore della frazione sono diversi , sono primi tra di loro.

Attenzione a non confondere il concetto di fattori primi, con il concetto di fattori primi tra di loro riferito al numeratore e al denominatore di una frazione.

Consideriamo ad esempio la seguente frazione algebrica

$$ \frac{x^3 -x}{x^2 -9} $$

Il denominatore e il denominatore sono chiaramente fattori non primi.

Il numeratore può essere scomposto dapprima raccogliendo la x a fattor comune e riconoscendo poi una differenza di quadrati:

$$ x^3 -x = x \cdot (x+1) \cdot (x-1) $$

Mentre il denominatore può essere visto come una differenza di quadrati

$$ x^2 -9 = (x+3) \cdot (x-3) $$

Se riscriviamo la frazione scomposta otteniamo:

$$ \frac{ x \cdot (x+1) \cdot (x-1) } { (x+3) \cdot (x-3) } $$

Come si può notare il numeratore e il denominatore non presentano fattori primi in comune.

Per questo diciamo che sono primi tra di loro, e la frazione è ridotta ai minimi termini.

SEMPLIFICAZIONE DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA

Un punto chiave  che riguarda le frazioni algebriche è la semplificazione.

Quando la scomposizione del numeratore e del denominatore possiede uno stesso  fattore allora possiamo “eliminare” questo fattore sia dal numeratore che dal denominatore.

Questa procedura si chiama semplificazione.

Il fattore o i fattori che sono stati “eliminati” sono il massimo comune divisore (MCD) tra il numeratore e il denominatore.

Al termine della semplificazione otteniamo una frazione ridotta ai minimi termini.

In questa frazione ridotta ai minimi termini diciamo che il numeratore e il denominatore sono primi tra di loro.

Facciamo un esempio di semplificazione e consideriamo la seguente frazione algebrica:

$$\frac{ x^2 -25}{ x^2 +6x +5} $$

Scomponiamo ora il numeratore come una differenzia di quadrati

$$ x^2 -25 = (x+5) \cdot (x-5) $$

Successivamente possiamo rileggere il denominatore come un trinomio particolare:

$$ x^2 +6x +5 = (x+5) \cdot (x+1) $$

Adesso riscriviamo per intero la frazione scomposta

$$ \frac{ (x+5) \cdot (x-5) } { (x+5) \cdot (x+1) } $$

Possiamo dunque semplificare il fattore comune (x+5) che si trova sa al numeratore che al denominatore:

$$ \frac{ \color{blue}{ (x+5)} \cdot (x-5) } { \color{blue}{ (x+5)} \cdot (x+1) } = \frac{x-5}{x+1}$$

Otteniamo in questo modo la frazione ridotta ai minimi termini.

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OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE

Le frazioni algebriche sono strutture matematiche esprimibili come rapporto tra due polinomi.

Esse funzionano esattamente come le frazioni numeriche e dunque possiamo effettuare le classiche operazioni con i numeri.

Tra queste troviamo la somma, la differenza, la moltiplicazione e la divisione.

Quando parliamo di somma e differenza possiamo riassumerlo con il termine somma algebrica.

SOMMA ALGEBRICA TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Facciamo un primo esempio di somma algebrica  tra frazioni algebriche, esaminando un caso molto semplice.

ESEMPIO 1 DI SOMMA ALGEBRICA

Sommiamo al reciproco di un numero x il reciproco del suo numero successivo.

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} $$

Quando facciamo una somma algebrica di frazioni dobbiamo individuare il minimo comune denominatore ovvero il minimo comune multiplo tra i denominatori.

Per farlo dovremmo scomporre tutti i denominatori.

In questo caso specifico abbiamo due denominatori che sono già fattori primi e sono diversi tra di loro.

Il minimo comune multiplo è pari perciò al loro prodotto semplice, ovvero:

$$ x \cdot (x+1) $$

Passiamo ora al numeratore della nuova frazione

Ora dobbiamo dividere il minimo comune per ognuno dei denominatori e moltiplicarlo per ognuno dei numeratori.

Al numeratore avremo dunque questa espressione

$$ 1 \cdot (x+1) + 1 \cdot x $$

Sviluppando i calcoli abbiamo:

$$ x + 1 + x = 2x+1 $$

La frazione finale risulta dunque essere:

$$ \frac{2x+1}{ x \cdot (x+1)} $$

Se preferite possiamo scriverla anche come:

$$ \frac {2x+1}{ x^2 +x } $$

ESEMPIO 2 DI SOMMA ALGEBRICA

Facciamo un secondo esempio di somma algebrica di frazioni, questa volta un po’ più complicato.

Consideriamo la seguente espressione:

$$ \frac{2x}{x^2-1} – \frac{1}{x^2+x} – \frac{2}{x+1} $$

Scomponiamo il primo e il secondo denominatore:

$$ x^2-1 = (x+1) \cdot (x-1) $$

$$ x^2+x = x \cdot (x+1) $$

Il terzo denominatore non c’è bisogno di scomporlo dal momento che è già primo.

Facciamo ora il denominatore comune selezionando tutti i fattori primi presenti.

$$ x \cdot (x+1) \cdot (x-1) $$

Al numeratore applichiamo la procedura vista prima e otteniamo.

$$ 2x^2 -1 \cdot(x-1) -2x \cdot (x-1) $$

Sviluppiamo i calcoli

$$ 2x^2 -x +1 -2x^2 +2x $$

Semplificando gli x quadratici otteniamo:

$$ x+1$$

A questo punto la frazione algebrica che otteniamo è 

$$ \frac{ x+1}{ x \cdot (x+1) \cdot (x-1)} $$

Possiamo dunque semplificare il fattore comune (x+1) tra il numeratore e il denominatore, ottenendo la frazione ridotta ai minimi termini:

$$ \frac{ \color{blue}{(x+1)}}{ x \cdot \color{blue}{(x+1)} \cdot (x-1)} = \frac{1}{ x \cdot (x-1)}$$

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MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Tra le frazioni algebriche è possibili svolgere anche operazioni di moltiplicazioni e divisioni.

MOLTIPLICAZIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Quando moltiplichiamo due o più frazioni algebriche prime tra di loro, otteniamo una nuova frazione in cui il numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori.

ESEMPIO 1 DI MOLTIPLICAZIONE

Partiamo da un esempio semplice considerando la seguente moltiplicazione di frazioni:

$$ \frac{3x}{x+1} \cdot \frac{x-1}{x} $$

Semplifichiamo ora il fattor comune x tra il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda, ottenendo:

$$ \frac{3 \color{red}{x}}{x+1} \cdot \frac{x-1}{\color{red}{x}} = \frac{3}{x+1} \cdot \frac{x-1}{1} $$

A questo punto non ci resta che moltiplicatore i numeratori e i denominatori e otteniamo la frazione:

$$ \frac{ 3 \cdot (x-1)}{x+1} $$

Frazione che non possiamo più semplificare.

ESEMPIO 2 DI MOLTIPLICAZIONE

Procediamo con un secondo esempio di moltiplicazione tra frazioni algebriche  un po’ più complesso rispetto a prima.

L’espressione che tentiamo di risolvere è la seguente:

$$ \frac{x^2-1}{x^2+3x+2} \cdot \frac{x^2+4x+4}{x^2-3x+2} $$

Scomponiamo ora tutti i numerati e i denominatori presenti.

Il primo numeratore è una differenza di quadrati:

$$ x^2-1 = (x+1) \cdot (x-1) $$

Il secondo numeratore è un quadrato di binomio:

$$ x^2 +4x+4 = (x+2)^2 $$

I due denominatori sono trinomi particolari:

$$ x^2+3x+2 = (x+2) \cdot (x+1) $$

$$ x^2-3x+2 = (x-2) \cdot (x-1) $$

A questo punto riscriviamo il testo con tutte le frazioni scomposte:

$$ \frac{(x+1) \cdot (x-1)}{ (x+2) \cdot (x+1)} \cdot \frac{(x+2)^2}{(x-2) \cdot (x-1)} $$

Semplifichiamo i fattori comuni (x+1), (x+2) e (x-1), ottenendo:

$$ \frac{x+2}{x-2} $$

DIVISIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Occupiamoci ora della divisione tra frazioni algebriche.

Quando abbiamo una divisione tra frazioni algebriche trasformiamo la moltiplicazione in moltiplicazione (quindi il simbolo di ÷ in *) e ribaltiamo la seconda frazione.

Poi funziona esattamente come una moltiplicazione:

ESEMPIO 1 DI DIVISIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Consideriamo la seguente divisione tra frazioni algebriche

$$ \frac{x+1}{2x-1} \div \frac{x^3-x}{4x^2 -1} $$

Cambiamo l’operazione di divisione con la moltiplicazione e scambiamo il numeratore e il denominatore della seconda frazione

$$ \frac{x+1}{2x-1} \cdot \frac{4x^2 -1}{x^3-x} $$

Scomponiamo quindi i termini della seconda frazione

$$ \frac{x+1}{2x-1} \cdot \frac{ (2x+1) \cdot (2x-1) }{x \cdot (x+1) \cdot (x-1) } $$

Semplifichiamo i fattori comuni

$$ \frac{\color{blue}{x+1}} {\color{red}{2x-1}} \cdot \frac{ \color{red}{(2x+1)} \cdot (2x-1) }{x \cdot \color{blue}{(x+1)} \cdot (x-1) } $$

otteniamo quindi la frazione finale ridotta ai minimi termini:

$$ \frac{2x+1}{x \cdot (x-1)} $$

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