La scomposizione con Ruffini è un metodo per la scomposizione dei polinomi più generalerispetto ai classici prodotti notevoli che si basa principalmente sulla divisione con Ruffini.
Per applicare questo metodo di scomposizione a polinomi di grado n, concentriamo la nostra analisi sui divisori del termine noto e quelli del coefficiente associato alla x di grado maggiore.
INDICE
- 1 SCOPO DELLA SCOMPOSIZIONE CON RUFFINI
- 2 TROVARE IL FATTORE ANNULLANTE
- 3 IMPARA TUTTE LE REGOLE DI SCOMPOSIZIONE !!!
- 4 SCOMPOSIZIONE CON RUFFINI APPLICATA AI PRODOTTO NOTEVOLI
- 5 ESERCIZI CON LA SCOMPOSIZIONE CON RUFFINI
- 6 IMPARA TUTTE LE REGOLE DI SCOMPOSIZIONE !!!
- 7 IMPARA TUTTE LE REGOLE DI SCOMPOSIZIONE !!!
SCOPO DELLA SCOMPOSIZIONE CON RUFFINI
Lo scopo della scomposizione con Ruffini è quello di trovare un fattore f che sostituito al posto della x in un polinomio annulli il polinomio stesso.
Questo fattore prende il nome di fattore annullante o radice del polinomio.
Consideriamo un generico polinomio di grado n:
$$ P_n (x) = \color{blue}{a_n} x^n +a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_2x^2+a_1x + \color{red}{a_0} \\ \ \\ \ \\ \color{blue}{a_n} , a_{n-1}, a_{n-2}, \dots , a_2, a_1 , \color{red}{a_0} \ \text{ sono i coefficienti del polinomio} \\ \color{blue}{\text{$a_n$ è il coefficiente della $x$ di grado maggiore}} \\ \color{red}{\text{$a_0$ è il termine noto: coefficiente della $x$ di grado zero}} $$
Dobbiamo quindi trovare un fattore f tale che renda nullo l polinomio
$$P_n (f) = 0 $$
Ovvero, che sostituito al posto della x restituisca come valore del polinomio zero.
$$ \color{blue}{a_n} f^n +a_{n-1}f^{n-1} + a_{n-2}f^{n-2} + \cdots + a_2f^2+a_1f + \color{red}{a_0}= 0 $$
Quando lo troviamo siamo sicuri del fatto che il polinomio risulta perfettamente divisibile per (x-f).
Ad esempio se consideriamo il polinomio:
$$ P(x) = x^4-5x^2+4 $$
Notiamo che 1 è un fattore annullante del polinomio, infatti:
$$ P(1)=0 $$
Infatti se sostituiamo 1 al posto della x vediamo che:
$$ P(1) = 1^4 -5 \cdot 1^2 +4 = 0 $$
Notiamo che verificare che 1 sia una radice del polinomio è relativamente semplice in quanto basta verificare che la somma di tutti i coefficienti del polinomio sia pari a zero.
Nel nostro caso la somma dei coefficienti è:
$$ P(1)= 1-5+4 $$
Questo certifica il fatto che il nostro polinomio P(x) è perfettamente divisibile per:
$$ (x-1) $$
Se proviamo a svolgere la divisione polinomiale:
$$ (x^4-5x^2+4) \div (x-1) $$
utilizzando il metodo di Ruffini, troviamo un quoziente pari a:
$$ Q(x) = x^3+x^2-4x-4 $$
ed un resto pari a zero
Se quindi abbiamo che:
$$ (x^4-5x^2+4) \div (x-1) = x^3+x^2-4x-4 $$
Abbiamo ottenuto una perfetta scomposizione del polinomio di partenza
$$ x^4-5x^2+4 = (x^3+x^2-4x-4)(x-1) $$
In generale possiamo dire che se:
$$ P(x) \div (x-f) = Q(x) $$
Con resto zero, allora possiamo scrivere una scomposizione di P(x) come segue:
$$ P(x) = Q(x) \cdot (x-f) $$
TROVARE IL FATTORE ANNULLANTE
Dove possiamo trovare il fattore annullante?
Supponendo che nel polinomio P(x) di grado n di partenza sia:
$$ P_n (x) = \color{blue}{a_n} x^n +a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_2x^2+a_1x + \color{red}{a_0} $$
Con tutti i coefficienti che sono numeri naturali, dobbiamo cercare il fattore f lo dobbiamo cercare in queste frazioni:
$$ \pm \frac{\color{red}{ \text{divisori del termine noto $a_0$}}}{\color{blue}{\text{divisori del coefficiente della $x$ di grado maggiore $n$}}} $$
ESEMPIO 1
Nel polinomio che abbiamo scritto prima
$$ P(x) = x^4-5x^2 +4 $$
Il coefficiente di x4 è pari a 1 quindi possiamo concentrarci unicamente sui divisori di 4, che è il termine noto:
$$ \pm1 \quad \pm 2 \quad \pm 4 $$
In questo caso siamo molto fortunati perché il numero di fattori annullanti sono quattro:
$$ \begin{array}{c} P(1) &=& 1^4 -5 \cdot 1^2 +4 &=& 1-5+4 &=& 0 \\ P(-1) &=& (-1)^4 -5 \cdot(-1)^2+4 &=& 1-5+4 &=& 0 \\ P(2) &=& 2^4 -5 \cdot 2^2 +4 &=& 16-20+4 &=& 0 \\ P(-2) &=& (-2)^4 -5 \cdot(-1)^2+4 &=& 16-20+4 &=& 0\end{array} $$
Se ci trovassimo di fronte ad un polinomio con il coefficiente della x grado maggiore diverso da 1, le cose sarebbero un po’ più complesse.
ESEMPIO 2
Consideriamo ad esempio il polinomio:
$$ P(x) = 2x^3 -5x^2 -4x+3 $$
Notiamo che i divisori del termine noto 3 sono:
$$ \color{red}{ \pm 1 \pm 3} $$
Mentre i divisori del coefficiente della x di grado maggiore 2 sono:
$$ \color{blue}{ \pm 1 \pm 2} $$
Tra i possibili fattori annullanti dobbiamo considerare tutti gli elementi del tipo:
$$ \pm \frac{\color{red}{ \text{divisori del termine noto $a_0$}}}{\color{blue}{\text{divisori del coefficiente della $x$ di grado maggiore $n$}}} $$
Dunque:
$$ \pm 1 \quad \pm 3 \quad \pm \frac{1}{2} \quad \pm \frac{3}{2} $$
Tra questi troviamo ben tre fattori annullanti:
$$ -1 \quad 3 \quad \frac{1}{2} $$
Infatti:
$$ \begin{array}{c} P(-1) &=& 2(-1)^3 -5 \cdot(-1)^2-4(-1) +3 &=& -2-5+4+3 &=& 0 \\ P(3) &=& 2 \cdot 3^3 -5 \cdot 3^2 -4 \cdot 3 +3 &=& 54-45-12+3 &=& 0 \\ P\left( \frac{1}{2} \right) &=& 2 \left( \frac{1}{2} \right)^3 -5 \left( \frac{1}{2} \right)^2-4\left( \frac{1}{2} \right)+3 &=& \frac{1}{4} – \frac{5}{4} -2+3 &=& 0\end{array} $$
Per vostra informazione personale sappiate il signor Paolo Ruffini (1765-1822) non era un mangia bambini.
Era un medico e matematico, e operava a Modena.
Si era rifiutato di giurare fedeltà all’impero di Napoleone e rifiutò addirittura una cattedra di matematica a Padova, per amore dei suoi pazienti e della sua famiglia che era malata.
Nel 1818 contrasse il tifoide, ma non per questo smesse di curare i suoi pazienti.
Divenne famoso per aver scritto la Teoria generale delle equazioni, un trattato di 516 pagine in cui sostiene di aver dimostrato uno dei dilemmi millenari che la matematica abbia mai avuto.
Purtroppo per lui nessuno seppe capire quello che lui aveva scritto per almeno cento anni.
IMPARA TUTTE LE REGOLE DI SCOMPOSIZIONE !!!
SCOMPOSIZIONE CON RUFFINI APPLICATA AI PRODOTTO NOTEVOLI
La scomposizione con il metodo Ruffini è una procedura più generale rispetto ai prodotti notevoli.
Vediamola applicata ai più famosi tra questi.
RUFFINI E LA DIFFERENZA DI QUADRATI
Partiamo da un caso elementare di scomposizione e consideriamo il polinomio:
$$ x^2-4 $$
Riconosciamo senza ombra di dubbio una differenza di quadrati:
(x+2)(x-2) $$
Ora proviamo ad applicare il metodo di Ruffini.
Nel polinomio:
$$ x^2 – \color{red}{4} $$
Il coefficiente associato alla x di grado maggiore è pari a 1 per cui possiamo concentrarci su tutti i divisori del termine noto 4(con il più o meno):
$$ \pm 1 \quad \pm 2 \quad \pm 4 $$
Verifichiamo che ad esempio il fattore 2 annulla il polinomio, infatti:
$$ P(2) = 2^2 -4 =0 $$
Per questo motivo possiamo attuare la classica divisione con Ruffini, in cui dividiamo il polinomio di partenza per il binomio:
$$ (x-2) $$
Troviamo che:
$$ (x^2-4) \div (x-2) = x+2 $4
Con resto zero.
Perciò la scomposizione del polinomio è:
$$ x^2-4 = (x+2)(x-2) $$
RUFFINI E IL QUADRATO DI BINOMIO
Vediamo un altro caso elementare di scomposizione e consideriamo il polinomio:
$$ x^2+4x+4 $$
Riconosciamo senza ombra di dubbio un quadrato di binomio:
$$ (x+2)^2 $$
Ora proviamo ad applicare il metodo di Ruffini.
Nel polinomio:
$$ x^2 +4x + \color{red}{4} $$
Il coefficiente associato alla x di grado maggiore è pari a 1 per cui possiamo concentrarci su tutti i divisori del termine noto 4(con il più o meno):
Verifichiamo che ad esempio il fattore –2 annulla il polinomio, infatti:
$$ P(-2= = (-2)^2 +4 \cdot (-2) +4 = 4-8+4 =0 $$
Per questo motivo possiamo attuare la classica divisione con Ruffini, in cui dividiamo il polinomio di partenza per il binomio:
$$ (x-(-2)) = (x+2) $$
Troviamo che:
$$ (x^2+4x+4) \div (x+2) = x+2 $$
Con resto zero.
Perciò la scomposizione del polinomio è:
$$ x^2+4x+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)^2 $$
RUFFINI E IL TRINOMIO SPECIALE DI SECONDO GRADO
Continuiamo con un altro caso elementare di scomposizione e consideriamo il polinomio:
$$ x^2-x-6 $$
Riconosciamo un trinomio speciale di secondo grado:
$$ (x+2)(x-3) $$
Ora proviamo ad applicare il metodo di Ruffini.
Nel polinomio:
$$ x^2-x- \color{red}{6} $$
Il coefficiente associato alla x di grado maggiore è pari a 1 per cui possiamo concentrarci su tutti i divisori del termine noto 6(con il più o meno):
$$ \pm 1 \quad \pm 2 \quad \pm 3 \quad \pm 6 $$
Verifichiamo che ad esempio il fattore 3 annulla il polinomio, infatti:
$$ P(3) = 3^2-3-6 = 9-3-6 = 0 $$
Per questo motivo possiamo attuare la classica divisione con Ruffini, in cui dividiamo il polinomio di partenza per il binomio:
$$ (x-3) $$
Troviamo che:
$$ (x^2-x-6) \div (x-3) = x+2 $$
Con resto zero.
Perciò la scomposizione del polinomio è:
$$ x^2-x-6 = (x-3)(x+2) $$
RUFFINI E IL TRINOMIO DI SECONDO GRADO
Consideriamo questo trinomio di secondo grado
$$ 2x^2-x-3 $$
Se ci muoviamo con le classiche scomposizioni possiamo usare la regola della somma e prodotto, giungendo al passaggio intermedio:
$$ 2x^2-3x+2x-3 $$
Per poi applicare il raccoglimento a fattor parziale:
$$ x(2x-3)+1(2x-3) = \\ (2x-3)(x+1) $$
Ora proviamo ad applicare il metodo di Ruffini.
Nel polinomio:
$$ \color{blue}{2} x^2-x- \color{red}{3} $$
Il termine noto è pari a –3 e i suoi divisori sono:
$$ \color{red}{\pm 1 \quad \pm 3} $$
Il coefficiente associato alla x di grado maggiore è pari a 2 e i suoi divisori sono:
$$ \color{blue}{\pm 1 \quad \pm 2} $$
Per sondare tutti i possibili fattori annullanti dobbiamo considerare tutte le frazioni del tipo:
$$ \pm \frac{\color{red}{ \text{divisori del termine noto $a_0$}}}{\color{blue}{\text{divisori del coefficiente della $x$ di grado maggiore $n$}}} $$
perciò consideriamo i valori:
$$ \pm 1 \quad \pm 3 \quad \pm \frac{1}{2} \quad \pm \frac{3}{2} $$
Verifichiamo facilmente che –1 è un fattore annullante:
$$ P(-1) = 2(-1)^2 -(-1) -3 = 2+1-3 = 0 $$
Un po’ meno facilmente possiamo verificare che anche 3/2 è un fattore annullante:
$$ P \left( \frac{3}{2} \right) = 2 \left( \frac{3}{2} \right)^2 – \left( \frac{3}{2} \right) -3 = \frac{9}{2} – \frac{3}{2} -3 =0 $$
Usiamo la divisione con Ruffini, con il secondo dei due dividendo per
$$ \left( x – \frac{3}{2} \right) $$
Troviamo che:
$$ (2x^2-x-3) \div \left( x – \frac{3}{2} \right) = 2x+2 $$
Con resto zero.
Perciò la scomposizione del polinomio è:
$$ 2x^2-x-3 = \left( x – \frac{3}{2} \right)(2x+2) $$
Raccogliendo il 2 dal secondo fattore e moltiplicandolo al primo possiamo anche riscrivere la scomposizione come segue:
$$ (2x-3)(x+1) $$
ESERCIZI CON LA SCOMPOSIZIONE CON RUFFINI
La procedura di scomposizione con Ruffini è un metodo di scomposizione dei polinomiali più generale rispetto ai classici prodotti notevoli.
Ecco perché generalmente si applica quando non è possibile scomporre il polinomio di partenza con le classiche regole di scomposizione
Consideriamo alcuni esempi con polinomi di grado maggiore al secondo
ESEMPIO 1 – SCOMPOSIZIONE CON RUFFINI
Consideriamo il polinomio:
$$ P(x) = x^3-6x^2+11x-6 $$
Non riconosciamo nessuno tra i prodotti notevoli principali.
Dunque proviamo ad applicare il metodo di Ruffini.
Il coefficiente associato alla x di grado maggiore è pari a 1 per cui possiamo concentrarci su tutti i divisori deltermine noto 6(con il più o meno):
$$ \pm 1 \quad \pm 2 \quad \pm 3 \quad \pm 6$$
Verifichiamo immediatamente che il fattore 1 annulla il polinomio, infatti:
$$ P(1) = 1^3-6 \cdot 1^2 +11 \cdot 1 -6 =0 $$
Notiamo che verificare che 1 sia una radice del polinomio è relativamente semplice in quanto basta verificare che la somma di tutti i coefficienti del polinomio sia pari a zero.
Nel nostro caso la somma dei coefficienti è:
$$ P(1) = 1-6+11-6 =0 $$
Questo certifica il fatto che il nostro polinomio P(x) è perfettamente divisibile per:
$$ (x-1) $$
Per questo motivo possiamo attuare la classica divisione con Ruffini
Troviamo che:
$$ (x^3-6x^2+11x-6) \div (x-1) = x^2-5x+6 $$
Con resto zero.
Perciò la scomposizione del polinomio è:
$$ x^3-6x^2+11x-6 = (x^2-5x+6)(x+2) $$
A questo punto risulta chiaro che non siamo arrivati allo stadio finale di scomposizione.
$$ (x^2-5x+6)(x+2) $$
Se osserviamo il polinomio di secondo grado dentro la prima parentesi:
$$ x^2-5x+6 $$
ci rendiamo conto che si tratta di un trinomio speciale di secondo grado che possiamo ulteriore scomporre come segue:
$$ (x-2)(x+3) $$
A questo punto la scomposizione finale del polinomio di partenza:
$$ x^3-6x^2+11x-6 $$
Risulta essere:
$$ (x-2)(x-3)(x-1) $$
O se preferiamo avere i numeri ordinati scriviamo:
$$ (x-1)(x-2)(x-3) $$
Ritorniamo per un attimo alla prima scomposizione parziale che abbiamo ottenuto con il metodo Ruffini:
$$ (x^2-5x^2+6)(x+2) $$
Notiamo che anche il trinomio speciale dentro la prima parentesi:
$$ x^2-5x+6 $$
Può essere ulteriormente scomposto con il metodo Ruffini:
I possibili fattori annullanti sono gli stessi del polinomio di partenza:
$$ \pm 1 \quad \pm 2 \quad \pm 3 \quad \pm 6$$
Questa volta però 1 non è più un fattore annullante, infatti:
$$ P(1) = 1-5+6= 2 \ne 0 $$
Questo polinomio tra i vari fattori risulta annullato per x=2 oppure x=3
Infatti:
$$ P(2) = 2^2 -5 \cdot 2+6 = 4-10+6 = \\ P(3) = 3^2-5 \cdot 3 +6 = 9-15+6 = 0 $$
Notiamo anche questa ulteriore cosa!
Questi due fattori (2 e 3) che annullano un fattore che fa parte della scomposizione del polinomio di partenza annullano anche il polinomio di partenza:
$$ P(x) = x^3-6x^2+11x-6 $$
Infatti:
$$ P(2) = 2^3-6 \cdot 2^2+11 \cdot 2 -6 = 8-24+22-6 = 0 $$
Ora che lo sappiamo possiamo continuare la tabella di Ruffini dividendo per esempio per
$$ (x-2) $$
Possiamo notare che ripercorrendo la tabella di Ruffini passando per i fattori annullanti e per il quoziente finale troviamo la scomposizione del polinomio di partenza.
IMPARA TUTTE LE REGOLE DI SCOMPOSIZIONE !!!
ESEMPIO 2 – SCOMPOSIZIONE CON RUFFINI
Vediamo un secondo esempio bello tosto di scomposizione con Ruffini e consideriamo il polinomio:
$$ P(x) = 2x^4-3x^3-3x-2 $$
Non riconosciamo nessuno tra i prodotti notevoli principali.
Dunque proviamo ad applicare il metodo di Ruffini.
Il termine noto è pari a –2 e i suoi divisori sono:
$$ \color{red}{ \pm 1 \pm 2} $$
Il coefficiente associato alla x di grado maggiore è pari a 2 e i suoi divisori sono:
$$ \color{blue}{ \pm 1 \pm 2} $$
Per sondare tutti i possibili fattori annullanti dobbiamo considerare tutte le frazioni del tipo:
$$ \pm \frac{\color{red}{ \text{divisori del termine noto $a_0$}}}{\color{blue}{\text{divisori del coefficiente della $x$ di grado maggiore $n$}}} $$
perciò consideriamo i valori:
$$ \pm 1 \quad \pm 2 \quad \pm \frac{1}{2} $$
Verifichiamo facilmente che 2 è un fattore annullante:
$$ P(2) = 2 \cdot 2^4 – 3 \cdot 2^3 – 3 \cdot 2 -2 = 32-24-6-2 =0 $$
Un po’ meno facilmente possiamo verificare che anche -1/2 è un fattore annullante:
$$ \left( – \frac{1}{2} \right) = 2 \left( – \frac{1}{2} \right) ^4 -3 \left( – \frac{1}{2} \right) ^3 -3 \left( – \frac{1}{2} \right) -2 = \frac{1}{8} +\frac{3}{8} +\frac{3}{2} -2 = 0 $$
Usiamo la divisione con Ruffini, con il secondo dei due dividendo per
$$ \left( x + \frac{1}{2} \right) $$
Troviamo che:
$$ (2x^4-3x^3-3x-2 ) \div \left( x + \frac{1}{2} \right) = 2x^3-4x^2+2x-4 $$
Con resto zero.
Perciò la scomposizione del polinomio è:
$$ 2x^2-x-3 = \left( x- \frac{3}{2} \right) (2x+2) $$
A questo punto risulta chiaro che non siamo arrivati allo stadio finale di scomposizione.
$$ (2x^3-4x^2+2x-4) \left( x + \frac{1}{2} \right) $$
Se osserviamo il polinomio di terzo grado dentro la prima parentesi:
$$ 2x^3-4x^2+2x-4 $$
ci rendiamo conto che possiamo fare un raccoglimento totale in cui raccogliamo il 2
$$ 2(x^3-2x^2+x-2) $$
seguito da un raccoglimento a fattor parziale:
$$ 2 \left( x^2 (x-2) +1 (x-2) \right) $$
A questo punto la scomposizione finale del polinomio di partenza:
$$ 2(x^2+1)(x-2) $$
Quanto al polinomio dentro la prima parentesi si tratta di una somma di quadrati e dunque non è scomponibile.
Ritorniamo per un attimo alla prima scomposizione parziale che abbiamo ottenuto con il metodo Ruffini:
$$ (2x^3-4x^2+2x-4) \left( x + \frac{1}{2} \right) $$
Notiamo che anche il quadrinomio dentro la prima parentesi:
$$ 2x^2-4x^2+2x-4 $$
Può essere ulteriormente scomposto con il metodo Ruffini:
I possibili fattori annullanti sono gli stessi del polinomio di partenza:
$$ \pm \pm 2 \pm \frac{1}{2} $$
(non aggiungiamo +-4 poiché non era contemplato nel polinomio di partenza)
Questa volta però -1/2 non è più un fattore annullante, infatti:
$$ P \left( \frac{1}{2} \right) \ne 0 $$
Questo polinomio risulta annullato per x=2
Infatti:
$$ P(2) = 2 \cdot 2^3 -4 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 -4 = 16-16+4-4 = 0 $$
Dividiamo dunque con Ruffini continuando la tabella precedente per il binomio (x–2)
$$ (2x^3-4x^2 +2x-4) \div (x-2) $$
Ripercorrendo i fattori annullanti a partire dal quoziente della divisione otteniamo la scomposizione finale del polinomio:
$$ (2x^2+2)(x-2) \left( x – \frac{1}{2} \right) $$
Possiamo aggiustare questa scomposizione raccogliendo il 2 dal primo fattore e moltiplicandolo al terzo:
IMPARA TUTTE LE REGOLE DI SCOMPOSIZIONE !!!
Le scomposizioni sono il vero “collo di bottiglia” dell’algebra: se non sai smontare un polinomio, ogni esercizio futuro si trasformerà in un muro invalicabile.
Raccoglimento totale, parziale, cubo di binomio, trinomio speciale o la temuta regola di Ruffini… Fissare il foglio sperando che la regola giusta ti appaia in mente è frustrante. E il rischio è altissimo: se non sai fattorizzare, non potrai risolvere le equazioni fratte, ti bloccherai sui limiti e sbaglierai gli studi di funzione.
Smetti di andare per tentativi e di cancellare all’infinito. Ho creato questo modulo sulle basi per installare nella tua mente un vero e proprio “radar” per i polinomi:
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