MATRICE DELLE VARIANZE E COVARIANZE

La matrice delle varianze e covarianze è una matrice simmetrica con le varianze sulla diagonale principale e di contorno le covarianze

$$ Q=\begin{pmatrix} \sigma^2_1 & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1j} & \cdots & \sigma_{1n} \\ \sigma_{21} & \sigma^2_{2} & \cdots & \sigma_{2j} & \cdots & \sigma_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sigma_{i1} & \sigma_{i2} & \cdots & \sigma^2_{i} & \cdots & \sigma_{in}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \cdots & \sigma_{nj} & \cdots & \sigma^2_{n} \end{pmatrix}$$

In corrispondenza di ogni riga i e colonna j è presente la covarianza tra i rendimenti del titolo i con il titolo j.

Per ottenere tale matrice moltiplichiamo la matrice trasposta degli scarti dei rendimenti per quella degli scarti dei redimenti divisa per il numero delle rilevazioni

$$ Q = \frac{1}{m} \cdot(R-\bar R) \cdot (R- \bar R)^T $$

Partiamo ora dal concetto di varianza e covarianza dei rendimenti e successivamente spieghiamo meglio queste definizioni preliminari.

FORMULA  DELLA VARIANZA

In un’analisi ex-post la varianza dei rendimenti di un titolo si ottiene applicando la seguente formula:

$$ \sigma^2(r) = \frac{\sum r_t^2}{n} – \bar r^2 \\ r_t= \text{ rendimenti al tempo t} \\ n= \text{ numero di rilevazioni} \\ \bar r= \text{ tasso di rendimento medio}$$

ESEMPIO DI CALCOLO DELLA VARIANZA DI UN TITOLO 

Ad esempio consideriamo la seguente serie storica di dati relativa ai prezzi di 23 mesi  del titolo X 

Dai prezzi è possibile calcolare 22 tassi di rendimenti, rapportando la differenza di prezzo relativa a due periodi consecutivi e il prezzo del periodo precedente.

In particolare utilizziamo la formula:

$$ r_t = \frac{P_t – P_{t-1}}{P_{t-1}} $$

Ad esempio il rendimento nel mese di dicembre 2019 è dato da:

$$ R_{\text{DIC’19}} = \frac{P_{\text{DIC’19}} – P_{\text{NOV’19}}}{P_{\text{NOV’19}}} = \frac{8.733-8.404}{8.4034}= 0,0392 = 3,92\%$$

Applicando questa formula a tutti gli altri periodi otteniamo la serie storica dei rendimenti.

TASSI DI RENDIMENTO

MEDIA DEI RENDIMENTI DI UN TITOLO

Da questa serie storica andiamo poi a calcolare il tasso di rendimento medio, applicando la formula:

Per ottenerlo  sommiamo i tassi di rendimento calcolati e dividiamo per n ovvero 21

$$ \bar r = \frac{\sum (r_t)}{n} $$

$$ \bar r = \frac{3,92\% + 2,96\%+ \cdots + (-5,73\%)}{22} = 2,74\% $$

Otteniamo un tasso medio di crescita mensile del 2,74%.

MEDIA DEI RENDIMENTI CON EXCEL

Per calcolare la media dei rendimenti con Excel insieriamo la funzione:

$$ = \text{ MEDIA (<dati>) } $$

VARIANZA DEI RENDIMENTI 

Per misurare il rischio di un titolo partiamo dalla varianza campionaria.

Per ottenerla usando la formula ridotta faremo la media dei quadrati dei rendimenti meno il quadrato della media.

$$ \sigma^2(r) = \frac{\sum r_t^2}{n} – \bar r^2 $$

Inserendo i dati otteniamo:

$$ \sigma^2(r) = \frac{(3,92\%)^2 +(2,96\%)^2+ \cdots +(-5,73\%)^2}{22} – (2,74\%)^2 = 0,003468$$

VARIANZA DEI RENDIMENTI (CAMPIONARIA) CON EXCEL

Per calcolare la varianza campionaria usando Excel usiamo la funzione:

$$ = \text{ VAR.P ( <dati> )} $$

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DEVIAZIONE STANDARD DEI RENDIMENTI O RISCHIO DI UN TITOLO

A questo punto non ci resta che calcola il rischio percentuale mensile del titolo.

Per ottenerlo basta fare la radice quadrata della varianza dei rendimenti:

$$ \sigma (r) = \sqrt{\sigma^2(r)} = \sqrt{ \frac{\sum r_t^2}{n} -\bar r^2}$$

Con i dati a nostra disposizione scriviamo:

$$ \sigma (r) = \sqrt{0,003468} = 0,0603$$

Mensilmente ci esponiamo ad un rischio del 6,03%.

COVARIANZA TRA I RENDIMENTI DI DUE TITOLI

Quando in un data set sono presenti più titoli, oltre che la media e la varianza, è possibile calcolare anche la covarianza tra i rendimenti dei titoli

La formula per calcolare la covarianza tra i rendimenti di due titoli i e j è:

$$ \sigma_{ij} = \frac{ \sum (r_{it} \cdot r_{jt}) }{n} – \bar r_i \cdot \bar r_j \\ r_{it}, r_{jt} = \text{ rendimenti dei titoli $i$ e $g$ al tempo $t$} \\ n= \text{ numero di rilevazioni} \\ \bar r_i \bar r_j = \text{ rendimenti medi dei titoli $i$ e $j$ }$$

Ad esempio se ci troviamo di fronte ai rendimenti dei seguenti tre titoli:

Per calcolare la covarianza dei rendimenti tra il titolo 1 e il titolo 2 scriviamo:

$$ \sigma_{12} = \frac{ \sum (r_{1t} \cdot r_{2t})}{12} – \bar r_1 \cdot \bar r_2 = \\ = \frac{0,156 \cdot 0,0422 + 0,16667 \cdot 0,18 + \cdots + (-0,28) \cdot(-0,297)}{12} = \\ = 0,0207$$

MATRICE DELLE VARIANZE E COVARIANZE

Quando si conoscono tutti i valori delle varianze e delle covarianze è possibile costruire la matrice delle varianze e covarianze.

Si tratta di una matrice quadrata nxn, dove n rappresenta il numero dei titoli.

Sulla diagonale principale troviamo le varianze dei rendimenti dei titoli.

Queste varianze possono essere anche lette come le covarianze dei titoli con se stessi.

Potremmo quindi vederla in questo modo:

$$ Q=\begin{pmatrix} \sigma^2_1 & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1j} & \cdots & \sigma_{1n} \\ \sigma_{21} & \sigma^2_{2} & \cdots & \sigma_{2j} & \cdots & \sigma_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sigma_{i1} & \sigma_{i2} & \cdots & \sigma^2_{i} & \cdots & \sigma_{in}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \cdots & \sigma_{nj} & \cdots & \sigma^2_{n} \end{pmatrix}$$

NB: da qui in poi useremo la lettera “n” per indicare il numero dei titoli, mentre la lettera “m” per il numero di rilevazioni per ogni titolo.

Se consideriamo ancora l’esempio precedente con i rendimenti dei tre titoli:

La matrice associata delle varianze e covarianze è:

MATRICE DELLE VARIANZE E COVARIANZE CON EXCEL

Per costruire questa matrice utilizzando Excel possiamo utilizzare questa formula:

$$ Q = \frac{1}{m} \cdot(R-\bar R) \cdot (R- \bar R)^T \\ m= \text{ numero di rilevazioni} \\ R= \text{ matrice dei rendimenti $(m \times n)$} \\ \bar R = \text{ matice dei rendimenti medi $(m \times n)$ } \\ R-\bar R = \text{ matrice degli scarti dei rendimenti $(m \times n)$ } $$

Per prima cosa andiamo dunque a costruire la matrice:

$$ R-\bar R $$

Per farlo dobbiamo per prima cosa calcolare i rendimenti medi dei titoli, con la formula:

$$ = \text{ MEDIA (<rendimenti>) } $$

In secondo luogo costruiamo accanto alle tre colonne dei rendimenti altre tre colonne degli scarti dei rendimenti dalla media.

Ricordiamoci di fissare la media dei rendimenti del titolo e di fare il copia e incolla per tutte le celle della matrice.

Infine selezioniamo 9 celle (3×3) scrivendo la formula:

$$ = \text{1 / CONTA.VALORI (<rendimenti> )* MATR.PRODOTTO (MATR.TRASPOSTA (<matr. rendim>) ; <matr. rendim> )}$$

Ricordiamoci che per approvare la matrice è necessario fare:

$$ \text{ ctrl + shft + invio} $$

Otteniamo così la matrice delle varianze e covarianze:

MATRICE DELLE VARIANZE E COVARIANZE CON ANALISI DATI DI EXCEL

Un altro modo certamente più veloce per calcolare la matrice delle varianze e covarianzein Excel è quella di utilizzare ANALISI DATI.

Per accedervi basta andare nel menu DATI in alto e in fondo a destra ANALISI DATI

NB: se non avete il menu ANALISI DATI dovete inserirlo dalle impostazioni

Da qui selezioniamo poi : COVARIANZA 

Accediamo in seguito ad una schermata dove dobbiamo inserire i dati in input e output.

Negli input inseriamo i dati relativi ai rendimenti dei titoli.

Se Prendiamo anche i titoli in alto mettiamo la spunta su etichette nella prima riga.

Nelle opzioni di output, se intendiamo riportare i risultati sullo stesso foglio in cui vi sono i rendimenti selezioniamo intervallo di output.

E mettiamo la cella dove intendiamo visualizzare la matrice:

Premendo il tasto OK visualizziamo la matrice come segue:

Per scoprire questo e altri metodo accedi al corso di teoria del portafoglio.

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA MATRICE DELLE VARIANZE E COVARIANZE?

Se hai qualche domanda in merito alle matrice delle varianze e covarianze scrivila sotto nei commenti.

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