La matrice delle varianze e covarianze è una matrice simmetrica con le varianze sulla diagonale principale e di contorno le covarianze
Per ottenere tale matrice moltiplichiamo la matrice trasposta degli scarti dei rendimenti per quella degli scarti dei redimenti divisa per il numero delle rilevazioni
FORMULA DELLA VARIANZA
In un’analisi ex-post la varianza dei rendimenti di un titolo si ottiene applicando la seguente formula:
ESEMPIO DI CALCOLO DELLA VARIANZA DI UN TITOLO
Ad esempio consideriamo la seguente serie storica di dati relativa ai prezzi di 23 mesi del titolo X
Dai prezzi è possibile calcolare 22 tassi di rendimenti, rapportando la differenza di prezzo relativa a due periodi consecutivi e il prezzo del periodo precedente.
In particolare utilizziamo la formula:
Ad esempio il rendimento nel mese di dicembre 2019 è dato da:
Applicando questa formula a tutti gli altri periodi otteniamo la serie storica dei rendimenti.
TASSI DI RENDIMENTO
MEDIA DEI RENDIMENTI DI UN TITOLO
Da questa serie storica andiamo poi a calcolare il tasso di rendimento medio, applicando la formula:
Per ottenerlo sommiamo i tassi di rendimento calcolati e dividiamo per n ovvero 21
Otteniamo un tasso medio di crescita mensile del 2,74%.
MEDIA DEI RENDIMENTI CON EXCEL
Per calcolare la media dei rendimenti con Excel insieriamo la funzione:
VARIANZA DEI RENDIMENTI
Per misurare il rischio di un titolo partiamo dalla varianza campionaria.
Per ottenerla usando la formula ridotta faremo la media dei quadrati dei rendimenti meno il quadrato della media.
Inserendo i dati otteniamo:
VARIANZA DEI RENDIMENTI (CAMPIONARIA) CON EXCEL
Per calcolare la varianza campionaria usando Excel usiamo la funzione:
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DEVIAZIONE STANDARD DEI RENDIMENTI O RISCHIO DI UN TITOLO
A questo punto non ci resta che calcola il rischio percentuale mensile del titolo.
Per ottenerlo basta fare la radice quadrata della varianza dei rendimenti:
Con i dati a nostra disposizione scriviamo:
Mensilmente ci esponiamo ad un rischio del 6,03%.
COVARIANZA TRA I RENDIMENTI DI DUE TITOLI
Quando in un data set sono presenti più titoli, oltre che la media e la varianza, è possibile calcolare anche la covarianza tra i rendimenti dei titoli
La formula per calcolare la covarianza tra i rendimenti di due titoli i e j è:
Ad esempio se ci troviamo di fronte ai rendimenti dei seguenti tre titoli:
Per calcolare la covarianza dei rendimenti tra il titolo 1 e il titolo 2 scriviamo:
MATRICE DELLE VARIANZE E COVARIANZE
Quando si conoscono tutti i valori delle varianze e delle covarianze è possibile costruire la matrice delle varianze e covarianze.
Si tratta di una matrice quadrata nxn, dove n rappresenta il numero dei titoli.
Sulla diagonale principale troviamo le varianze dei rendimenti dei titoli.
Queste varianze possono essere anche lette come le covarianze dei titoli con se stessi.
Potremmo quindi vederla in questo modo:
Se consideriamo ancora l’esempio precedente con i rendimenti dei tre titoli:
La matrice associata delle varianze e covarianze è:
MATRICE DELLE VARIANZE E COVARIANZE CON EXCEL
Per costruire questa matrice utilizzando Excel possiamo utilizzare questa formula:
Con:
Per prima cosa andiamo dunque a costruire la matrice:
Per farlo dobbiamo per prima cosa calcolare i rendimenti medi dei titoli.
Per ottenerli basta utilizzare la classica formula:
In secondo luogo costruiamo accanto alle tre colonne dei rendimenti altre tre colonne degli scarti dei rendimenti dalla media.
Ricordiamoci di fissare la media dei rendimenti del titolo e di fare il copia e incolla per tutte le celle della matrice.
Infine selezioniamo 9 celle (3×3) scrivendo la formula:
Ricordiamoci che per approvare la matrice è necessario fare:
Otteniamo così la matrice delle varianze e covarianze:
MATRICE DELLE VARIANZE E COVARIANZE CON ANALISI DATI DI EXCEL
Un altro modo certamente più veloce per calcolare la matrice delle varianze e covarianzein Excel è quella di utilizzare ANALISI DATI.
Per accedervi basta andare nel menu DATI in alto e in fondo a destra ANALISI DATI
Da qui selezioniamo poi : COVARIANZA
Accediamo in seguito ad una schermata dove dobbiamo inserire i dati in input e output.
Negli input inseriamo i dati relativi ai rendimenti dei titoli.
Se Prendiamo anche i titoli in alto mettiamo la spunta su etichette nella prima riga.
Nelle opzioni di output, se intendiamo riportare i risultati sullo stesso foglio in cui vi sono i rendimenti selezioniamo intervallo di output.
E mettiamo la cella dove intendiamo visualizzare la matrice:
Premendo il tasto OK visualizziamo la matrice come segue:
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