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sharpe ratio: immagine

La Sharpe ratio nella teoria del portafoglio indica il rapporto tra il premio di un titolo (in termini di rendimenti) e la sua volatilità (rischio).

Per questo motivo è anche definito il premio al rischio di un titolo.

Questo indice offre all’investitore la percezione di quanto guadagno si potrebbe avere in termini di rischio.

Ad esempio se un una Sharpe ratio pari a 0,80 significa che si ha la possibilità di avere un guadagno dello 0,80% in più se ogni volta che il rischio aumenta dell’1%.

FORMULA DELLA SHARPE RATIO

La formula per calcolare la Sharpe ratio di un titolo  è:

sharpe ratio, formula

Dove:

Per ricavare questi dati possiamo utilizzare delle analisi ex-post, oppure analisi ex-ante

L’indice di Sharpe,  come indica il nome stesso (ratio), è un rapporto ovvero una frazione.

Al numeratore di questa frazione vi è la differenza tra il tasso atteso di rendimento del titolo e il tasso dell’attività priva di rischio.

Tale differenza è definita anche premio del titolo in termini di rendimento.

Mentre al denominatore troviamo la deviazione standard (volatilità o rischio) del titolo:

CHI HA INVENTATO LA SHARPE RATIO?

La Sharpe ratio prende il nome dal professore di Finanza William Sharpe.

W. Sharpe è un economista statunitense.

sharpe ratio: William Sharpe

Nel 1951 studiò Business Adiministration all’università della California a Los Angeles.

Dopo aver appurato di non essere interessato alla contabilità cambiò facoltà per iscriversi ad economia.

Grazie ai professori Alchian e Western venne introdotto agli studi di Markoviz sulla frontiera dei portafogli.

Proprio in questo campo William Sharpe ottenne il suo più grande successo.

Nel 1990 vinse, insieme proprio a Markoviz e Miller il premio Nobel per l’economia

ESEMPIO DI SHARPE RATIO

Supponiamo ad esempio che il tasso di rendimento atteso di una certa azione, ad esempio la Apple, sia pari al 15% annuo.

E supponiamo altresì che un’alternativa sicura per investire i nostri risparmi sia quella di acquistare dei titoli di Stato italiani decennali con un tasso di remunerazione del 2% annuo.

Questo titolo è ovviamente il risk-free-rate.

La differenza tra il tasso di rendimento dell’azione e dell’attività priva di rischio è un extra-guadagno che potrebbe invogliare le persone ad investire nel titolo piuttosto che nell’attività sicura.

Proprio per questo motivo usiamo l’espressione premio di rendimento.

Ovviamente investire in un’azione comporta certamente esporsi ad un certo grado di rischio.

Supponiamo sempre nel nostro esempio che le azioni della Apple abbiano una volatilitàannua del 10%.

Rapportando ora il premio di rendimento rispetto a questo maggior rischio rispetto all’attività non rischio abbiamo il nostro indice di Sharpe.

Il premio al rischio è dunque:

sharpe ratio, esempio di calcolo numerico

Questo significa che investendo nell’azione della Apple per ogni punto percentuale in più di rischio che ci aspettiamo il tasso di rendimento aumenti dell’1,3%

INTERPRETAZIONE DELLA SHARPE  RATIO

Generalmente riconosciamo come buone le Sharpe ratio maggiori o uguali ad uno.

Con una Sharpe ratio unitaria (=1) significa che per ogni punto percentuale in più di rischio otteniamo un punto percentuale in più di rendimento.

Quindi il valore uguale ad uno indica un certo equilibrio tra il rischio e il rendimento.

Valori dell’indice maggiori di 1 identificano che prevale il beneficio (rendimento) rispetto al costo dell’investimento (rischio)

Diversamente quando l’indice di Sharpe è inferiore all’unità la situazione non è ritenuta positiva.

In tal caso assumendoci un punto percentuale di rischio in più non arriviamo alla soglia del punto percentuale in più in termini di rendimento

INTERPRETAZIONE GRAFICA DELLA SHARPE RATIO

Nel grafico rischio-rendimento la Sharpe ratio indica la pendenza della retta che congiunge il titolo privo di rischio al titolo i preso in considerazione.

Maggiore è la pendenza della retta e maggiore è la sharpe ratio.

In particolare su questa retta troviamo tutti i possibili portafogli che si possono formare con una certa quota di titolo privo di rischio e del titolo i.

Se ribaltiamo il grafico inserendo il rendimento sull’asse delle x e il rischio sull’asse delle y avremo che l’indice di Sharpe identifica il reciproco del coefficiente angolare.

Quindi minore è l’inclinazione della retta e maggiore sarà la Sharpe.

sharpe ratio: interpretazione grafica. grafico rendimento-rischio

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LA SHARPE RATIO DI UN PORTAFOGLIO

La Sharpe ratio di un portafoglio si calcola come:

sharpe ratio di un portafoglio, formula

Dove:

Consideriamo un portafoglio con tre titoli.

Prendiamo in considerazione tre titoli e il titolo privo di rischio di cui riportiamo in tabella le caratteristiche:

Per calcolare l’indice di Sharpe dei tre titoli applichiamo la formula:

Sharpe ratio, formula

Riportiamo i risultato in un a nuova colonna della tabella:

sharpe ratio di tre titoli

Se osserviamo la situazione nel grafico rendimento-rischio:

Come si può notare la Sharpe ratio del titolo 3 è maggiore delle altre due, poiché la pendenza della retta è inferiore.

Ipotizziamo ora di creare un portafoglio che contenga il 25% del titolo 1, il 30% del titolo 2 e il 45% del terzio titolo.

Per calcolare il tasso di rendimento del portafoglio possiamo usare la formula:

In termini di vettori possiamo fare il prodotto vettoriale tra il vettore trasposto delle quote e quello dei rendimenti, dove:

Il vettore x delle quote è dunque:

Mentre quello dei rendimenti:

Da questi vettori possiamo calcolare il rendimento di portafoglio:

Per calcolare il rischio  del portafoglio abbiamo bisogni anche delle correzioni tra i rendimenti.

Ipotizziamo dunque che:

Grazie ai dati a nostra disposizione possiamo calcolare la varianza con la formula:


Da cui possiamo facilmente calcolare la deviazione standard o il rischio del titolo, facendo la radice quadrata:

Se ragioniamo con le matrici, possiamo costruire le matrici S e P che sono rispettivamente le matrici degli scarti e quella delle correlazioni

La varianza del portafoglio può essere calcolata come:

Dove:

Con Q che è la matrice delle varianze e covarianze.

Ricapitolando i dati che ci servono per calcolare la Sharpe ratio del portafoglio sono:

Applicando la formula dell’indice di Sharpe:

sharpe ratio di un portafoglio

Da notare che la Sharpe ratio di questo portafoglio è maggiore rispetto a quella che si ottiene dai singoli titoli.

Per avere un’idea grafica:

sharpe ratio di tre titoli e di un loro portafoglio

Possiamo facilmente notare come nel grafico rendimento-rischio la retta meno inclinata è proprio quella del portafoglio.

SHARPE DEL MERCATO – CAPITAL MARKET LINE

Qual è la massima Sharpe ratio che si può ottenere da un insieme di n titoli.

Certamente parliamo della Sharpe del mercato.

Per individuarla basta che troviamo la retta passante per il titolo privo di rischio che sia tangente alla frontiera dei portafogli.

sharpe ratio del mercato

Tale punto viene definito portafoglio di mercato.

Mentre la retta che congiunge il titolo risk free al portafoglio di mercato identifica la Capital Market Line(CML).

La CML indica tutti i possibili portafogli che si possono formare tra il mercato, ottenuto come una particolare combinazione tra i titoli e il titolo privo di rischio.

Nel nostro caso il mercato può essere ottenuto attraverso le seguenti quote dei titoli:

Per fare questi calcoli oggi ci avvaliamo di strumenti elettronici come il risolutore di Excel.

Il rendimento ed il rischio di mercato ammontano rispettivamente a:

Dato che il riskless pari al 2% l’indice di Sharpe del mercato è:

sharpe ratio di mercato, formula

Si tratta chiaramente della più alta Sharpe calcolata fino ad ora.

In generale questa è la massima raggiungibile date le caratteristiche dei titoli presi in esame.

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2 Comments

  • Paolo ha detto:

    Buongiorno, ipotizzando di avere due titoli A e B, lo Sharpe ratio = E(rp)-rf/sigma p, quindi riformulando E(rp)= (we*mue+ (1-we)*mub)-rf /sigma p. sigma P è la radice quadrata di we^2*sig_e ^2 …

    Domanda: come faccio a massimizzare lo Sharpe ratio variando we? Ovvero determinare i pesi we e wb (1-we) che massimizzino lo sharpe ratio.
    Ho provato a fare la derivata prima e porla uguale a 0 ma viene un calcolo molto grande, inoltre, dato che lo SR è il coefficinete angolare della CML (che è una retta) come è possbile trovare il suo massimo? Mi sembra che non sia possibile.
    Grazie mille

    • Andrea ha detto:

      Ciao Paolo
      Si la teoria si basa proprio sulla derivata nulla
      Anche se la derivata è grande dovresti riconoscerne i fattori principali e porla uguale a zero

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