Come si calcola il valore nominale della cambiale (montante) nel regime ad interesse anticipato (o sconto commerciale)?
Vediamo un esempio pratico che ci aiuta a capirlo.
ESEMPIO
La società PIX ha un debito scadente tra 2 anni e 5 mesi nei confronti di un suo fornitore.
PIX e il suo fornitore si accordano per saldare tale debito oggi ad un tasso di sconto commerciale del 6%.
Sapendo che la cifra scontata, ovvero l’importo a saldo del debito, è pari 5.000 euro, calcolate il valore nominale della cambiale e lo sconto.
GRAFICO
Per prima cosa rappresentiamo graficamente la situazione in questione:
L’asse orizzontale rappresenta la linea del tempo, sulla quale disponiamo il tempo iniziale e il tempo finale dell’investimento.
In corrispondenza dell’epoca zero (oggi) mettiamo il valore scontato della cambiale C , ovvero 5.000 euro.
Sotto è rappresentata una freccia che si muove verso sinistra , ad indicare l’attualizzazione della cambiale.
Sotto la freccia è indicato il tasso di sconto del 6%.
Sopra la freccia indichiamo lo sconto D da calcolare.
In corrispondenza del tempo finale, ovvero 2 anni e 5 mesi, scriviamo il valore nominale della cambiale (montante M) che dobbiamo calcolare.
CALCOLO MONTANTE – FORMULA INVERSA
Ora procediamo a ricavare il montante attraverso la formula inversa del calcolo del capitale.
Il capitale nel regime ad interesse anticipato (sconto commerciale) si calcola nel seguente modo:
Dove (1-d*t) è il fattore di attualizzazione.
Per ottenere il montante dividiamo entrambi i termini per (1-d*t), ottenendo:
Ed ecco ottenuto il nostro montante.
FATTORE DI MONTANTE NEL REGIME AD INTERESSE ANTICIPATO
L’ultima formula appena ricavata può essere riscritta come:
In tal modo viene esplicitato il fattore di montante o legge di capitalizzazione v(t) nel regime anticipato.
TEMPO IN ANNI
Una delle condizioni importanti per poter applicare questa formula è che il tempo e il tasso di interesse devono essere correlati alla stessa unità di misura.
Scriviamo perciò il tempo in anni, in sintonia con il tasso di interesse
Ovviamente due anni sarà pari al numero 2, mentre 5 mesi saranno 5/12 dal momento che un mese è 1/12 di anno.
CALCOLO MONTANTE
Ora che abbiamo tutti i dati disponibili e armonizzati andiamo ad applicare la formula calcolata in precedenza:
SCRIVERE CON LA CALCOLATRICE
Una questione molto importante consiste nello scrivere questo calcolo in modo corretto con la calcolatrice.
Nella figura sotto ho utilizzato una calcolatrice scientifica CASIO fx-CG50.
In questo caso si tratta anche di una calcolatrice grafica, ma in commercio se ne trovano con schermate simili a costi veramente molto accessibili.
Se la calcolatrice ve lo permette potete creare la linea di frazione mediante il tasto evidenziato in verde nella figura e a livello di schermata dovrebbe comparirvi:
Se la calcolatrice non ve lo permette, o se preferite utilizzare il modo di scrittura classico potete scrivere il calcolo come nella seconda figura evidenziata in giallo.
Attenzione alle parentesi!
CALCOLO SCONTO – MODO1
Ora passiamo al calcolo dello sconto e vedremo principalmente due modi.
Il primo modo a questo punto diviene molto semplice.
Lo sconto D è la differenza tra il valore nominale della cambiale M e il valore scontato C della stessa.
Ricordiamo i dati attraverso il grafico e andiamo ad applicare la formula.
CALCOLO SCONTO (2)
Il secondo modo che utilizziamo per il calcolo dello sconto è dato dalla seguente formula:
Lo sconto nel regime a sconto commerciale è calcolato sul montante finale della cambiale, sul tasso di sconto e sul tempo.
In particolare è proprio il prodotto di questi tre elementi.
Andiamo ad applicare la formula:
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.
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A) Il primo settembre è stata scontata una cambiale pagabile il 20 ottobre . Lo sconto effettuato è stato € 2.80 al tasso del 4.5 % .
Quale era il valore nominale ?
B) Il valore di una cambiale di € 309.87 scadente tra quattro mesi e scontata al tasso del 4% è ora uguale a quello di un’altra cambiale di € 330.53 . Tra quanto tempo avrebbe dovuto scadere la seconda cambiale ?
Ciao Adriano, grazie per la domanda.
Partiamo dal quesito A.
Sistemiamo per prima cosa i dati:
D = 2,80 (sconto)
t = 50/365 = tempo in anni (dal 1/09 al 20/10 sono 50 giorni)
d = 0,045 = 4,5% (supponiamo che il tasso sia di sconto)
Dobbiamo calcolare l’importo della cambiale, che chiameremo M
Pariamo dalla formula per il calcolo dello sconto (calcolato sul valore nominale M)
D = M*d*t
Da questa formula possiamo facilmente ricavare il valore nominale M, come segue:
M = D /(d*t)
Inseriamo ora i dati numerici a nostra disposizione:
M = 2,80 /(0,045*50/365) = 454,22
Ecco trovato l’importo della cambiale 😉
Passiamo ora al secondo esercizio.
Qui l’interpretazione del testo è un po’ più ardua.
Provvedo quindi a darne un’interpretazione.
Ripotiamo che i valori noti (come parrebbe) siano i valori nominali della cambiali,
che indichiamo con M1 e M2.
M1 = 309,87 M2= 330,53.
A questo punto sappiamo che oggi entrambe queste cambiali hanno lo stesso valore.
Della prima sappiamo che la scadenza è pari a 4 mesi, mentre della seconda non conosciamo il tempo.
Ricordiamo inoltre che il valore attuale di una cambiale (chiamolo C) è pari a:
C = M*(1-dt)
Quindi il valore attuale della cambiale 1, possiamo scriverlo come:
C1 = M1*(1-d*t1)
Mentre quello della seconda cambiale
C2 = M2*(1-d*t2)
C1,C2 = valori attuali
M1,M2 = valori nominali
t1,t2 = scadenze
Notiamo che ho lasciato il tasso di sconto d identico per entrambe le cambiali.
Andiamo ora ad eguagliare i valori delle due cambiali:
M1*(1-d*t1) = M2*(1-d*t2)
Dividiamo per perima cosa per M2 ambo i membri:
M1/M2*(1-d*t1) = 1-d*t2
Facciamo uno spostamento incrociato di addendi:
d*t2 = 1- M1/M2*(1-d*t1)
Da cui possiamo facilmente ricavare che:
t2 = 1/d * (1- M1/M2*(1-d*t1))
A questo punto sostituiamo i dati noti:
t2 = 1/0,04 * (1 – 309.87/330.53 * (1-0,04 * 4/12)
t2 = 1,8751
Ovviamente questo rappresenta il tempo in anni
che corrisponde (facendo i dovuti passaggi) a:
1 anno 10 mesi 15 giorni