Cosa è e come si calcola l’intensità istantanea di interesse nel regime composto?
Vediamo lo insieme con un esempio.
Luigi impiega un capitale di 5.000 euro nel regime di capitalizzazione composta al tasso annuo del 5%.
Calcola l’intensità istantanea di interesse al terzo anno.
INTENSITA’ ISTANTANEA DI INTERESSE
L’intensità istantanea (o tasso istantaneo) di interesse ci permette di calcolare a quale tasso sta crescendo un determinato montante cumulato in un istante preciso di tempo.
Dal punto di vista matematico l’intensità istantanea di interesse si calcola come il rapporto tra la derivata prima del fattore di montante e il fattore di montante stesso.
Questa regola vale in tutti i regimi finanziari e dunque anche per il regime ad interesse semplice.
Sappiamo inoltre che i fattore di montante (o legge di capitalizzazione) nel regime composto è:
E che la derivata prima di tale legge di capitalizzazione è:
Dunque non ci resta che ricavare la legge che ci permette di calcolare l’intensità istantanea di interesse (o tasso istantaneo di interesse).
Come potete notare nel regime composto l’intensità istantanea di interesse nel regime composto è costante e non dipende dal tempo.
A questo punto dobbiamo solamente inserire i dati dell’esercizio.
Questo significa che il montante appena creatosi al tempo 3 (così come in tutti gli altri tempi), sta crescendo in quel preciso istante temporale al tasso del 4,879%.
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Premetto che sono completamente negato per la matematica. Le mie esperienze scolastiche risalgono al secolo scorso. Non ho mai masticato elementi di matematica finanziaria avendo conseguito il diploma di Tecnico Elettronico alla fine degli anni ’70. Le lezioni del docente nel mio ateneo sono confusionarie per chi come me non ha una preparazione di base. Il tuo corso mi ha cambiato la vita accademica, ho da poco superato l’esame al primo tentativo e inoltre sei riuscito a rendere piacevole una materia che non comprendevo.
Andrea! Infinitamente GRAZIE.
Grazie Dario,
sono super contento di questo tuo grande risultato.
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Le parole chiave sono CHIAREZZA e SEMPLICITÀ (nel limite della tecnicità della materia).
Seguendo passo a passo dagli argomenti semplici a quelli più complessi è possibile ottenere anche la comprensione.
E la tua testimonianza era la conferma che speravo di avere 😉
Ciao mi è capitato questo esercizio all’esame e non riesco a capire come impostarlo o se sbaglio qualcosa.. non è che riusciresti a darmi un input?? In pratica l’esercizio mi dice che viene investito un capitale di 300 euro per 3 anni in capitalizzazione composta alle seguenti condizioni: primo anno al tasso del 5%,secondo anno al tasso di interesse annuo nominale convetibile semestrale del 6% e il terzo anno al tasso d’interesse bimestrale del 2,50%. Allora l’intensità d’interesse espressa su base annua che avrebbe prodotto lo stesso montante sarebbe? RISPOSTE : A) 9,500% B) 9,000% C) 8,211% D) numero diverso dalle risposte E) 8,535 %.
Io quello che ho fatto è stato portare i tassi del secondo e terzo anno ad annuali effetivi e mi viene rispettivamente 0,03 e 0,050625. Poi ho calcolato il montante del primo anno col 5%, il montante del secondo anno col monante del primo al 3% e il montante del terzo anno col montante del secondo al 0,050625. Ho impostato la formula M=C(1+i)^3 cioè 340.8752813=300(1+i)^3 la cui (i) viene 0.04349751265 e da qui ho espresso l’intensità di interesse con ln(1+i)=0.04257806391 quindi 4.2578%. i calcoli che ho fatto sono giusti? in tal caso la risposta è D?
Ciao Stefano.
In primo luogo dovresti calcolare il montante.
Nel secondo periodo puoi tranquillamente usare il tasso effettivo semestrale calcolato come:
i2=j2/2=0,06/2=0,03
il montante sarebbe:
M=300·1,05·1,03^2·1,025^6=387,55
Bada bene al fatto che negli esponenti ho inserito i tempi correlati con i tassi utilizzati.
Arrivato a questo punto puoi calcolare il tasso medio annuo con la seguente formula:
i=(M/C)^(1/t)-1.
siccome è il tasso medio annuo all’esponente inserisci come tempo il 3.
i=(387,55/300)^(1/3)-1=0,0891
Per trovare l’intensità istantanea di interesse nel regime composto utilizzi la formula:
delta(i) =ln(1+i)=ln(1,0891)=0,08535
Ovviamente per ln si intende il logaritmo naturale.
Ho un esercizio che per quanto banale, mi preoccupa dovendo dare l’esame tra pochi giorni:
Se conosco il tasso istantaneo d’interesse = 0,07 qual è il tasso di’ interesse annuo composto ?
Ho fatto molti calcoli ma non ho trovato soluzione adeguata
Potete rispondermi per favore
Ciao Salvatore.
Se ti trovi nel regime composto l’intensità istantanea di interesse è pari al ln(1+i)
Dunque se da questa vuoi calcolare il tassi devi semplicemente fare l’esponenziale (con base numero di nepero e) dell’intensità istantanea di interesse meno 1.
Vediamo insieme i passaggi:
ln(1+i) = 𝛿
con :
ln = è il logaritmo naturale
i = è il tasso di interesse
𝛿 = è il tasso istantaneo o intensità istantanea
Mettiamo l’esponenziale da ambo il lati:
e^[ln(1+i)] =e^𝛿
a sinistra il logaritmo sparisce con l’esponenziale:
1+i = e^𝛿
Ricaviamo il tasso:
i = e^𝛿 -1
Dunque nel nostro caso:
i = e^0,07 -1= …
Ciao,
Come faccio a determinare il prezzo di un titolo attraverso l’intensità istantanea di interesse?
Sul mercato obbligazionario vengono negoziati vari titoli aventi comune valore facciale K = 100 e scadenze diverse. In particolare, i titoli A e B hanno i seguenti prezzi correnti: PA(K,0,4) = 92, PB(K,0,1) = 95. Si calcolino:
(a) PC(K,1,3)
(b) Si proceda al calcolo di PC utilizzando l’intensit`a (costante) istantanea di interesse
Grazie mille!
Per determinare PC basta che dividi PA/PB
Se vuoi determinare le intensità per prima cosa ricavi i prezzi a pronti
V(0,1)= PA/100
v(0,4)=PB/100
Da questi trovi i tassi di interesse
i(0,1)=(v(0,1)^(-1)-1
i(0,4)=(v(0,4))^(-1/4)-1
Poi trovi le intensità istantanee
Delta(0,1)=ln(1+i(0,1)
Delta(0,4)=ln(1+i(0,4)
Poi se non sbaglio puoi determinare l’intensità instantanea di C attraverso le proprietà dei logaritmi
Delta (0,1,4)=(4delta(0,4)-delta(0,1))/3
Da lì poi ricavi
i(0,1,4) con lesponenziale
e^(delta(0,1,4)-1