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https://youtu.be/tBAP1kjSoFM

TASSO INTERNO DI RENDIMENTO (T.I.R)

Il Tasso Interno di Rendimento (T.I.R.) è il tasso di interesse al quale si annulla si R.E.A.

È uno dei criteri di valutazione di un progetto di investimento o di finanziamento.

Quando stiamo confrontando più operazioni  finanziarie di investimento optiamo per quella che presenta un T.I.R. più alto.

È bene sapere che quando un soggetto economico sta rinunciando inizialmente a delle risorse finanziarie vorrà avere a parità di altre condizioni un guadagno percentuale maggiore.

Diversamente quando si analizzano più opzioni di finanziamento la nostra scelta cadrà sul progetto che a parità di altre condizioni è caratterizzato da un T.I.R. minore.

In questa situazione è abbastanza immediata la spiegazione.

Se stiamo intraprendendo un finanziamento vorremo pagare un interesse più basso e per farlo ci servirà un tasso minore.

CONDIZIONE DI APPLICABILITA’

Senza entrare in troppi tecnicismi tecnici diciamo che quando ci troviamo ad operare nel regime composto il calcolo del T.I.R. dipende dalla risoluzione di un’equazione di grado n.

Tale equazione ammette  potenzialmente n soluzioni.

Anche se la cosa può avere senso secondo una logica puramente algebrica, le cose non stanno così in ambito finanziario.

Quando valutiamo un’operazione finanziaria i T.I.R. negativi vengono automaticamente esclusi, e questo è facilmente comprensibile se rispondete a questa domanda.

Accettereste una proposta di investimento in cui vi viene chiesto di rinunciare oggi a 100 euro per ottenere 97 euro tra un anno?

Probabilmente sarebbe un’azione che farebbe un padre o un fratello per aiutare il proprio figlio o il proprio fratello.

Di certo non sarebbe un’operazione che intraprendere una società o una banca.

In secondo luogo evitiamo di utilizzare il metodo del T.I.R. qualora ci trovassimo di fronte alla presenza di due o tre T.I.R. positivi.

Anche qui per capire meglio immaginate che un investimento presenti un tasso interno di rendimento del 4% e dobbiamo confrontarlo con un altro progetto di investimento.

Questo secondo progetto presenta due T.I.R., uno del 2% e uno del 5%.

Quale dei due dovremmo scegliere?

Si creerebbero delle ambiguità da cui sarebbe molto difficile venirne a capo.

ESEMPIO

Vediamo insieme un esempio di come si calcola il  T.I.R. relativamente ad un progetto di investimento

Calcolate il T.I.R. del progetto di un progetto di investimento caratterizzato dai seguenti vettori X degli importi e T dei tempi:

GRAFICO

Rappresentiamo la situazione sulla linea del tempo per avere le idee più chiare di quello che sta succedendo:

CALCOLI

Ora procediamo al calcolo del T.I.R. che chiameremo per comodità semplicemente i.

Imponiamo per prima cosa il R.E.A. uguale a zero.

Ora facciamo la seguente sostituzione:

A questo punto l’equazione diventa:

Se dividiamo tutto per 100 e riordiniamo il polinomio di sinistra dalla y di grado maggiore otteniamo la seguente equazione di secondo grado:

Applichiamo la formula risolutiva evitando di considerare la soluzione negativa.

Ora ricostituiamo la y con il fattore di attualizzazione unitario (1+i)^-1

Per ricavare il T.I.R. eleviamo entrambi i termini alla (-1) e dopo di che sottraiamo 1.

Abbiamo ottenuto un T.I.R. del 6,394%.

Se dovessimo a disposizione un secondo progetto con T.I.R. dell’8% opteremo per intraprendere quest’ultimo in quanto caratterizzato da un tasso di rendimento maggiore.

Nel caso in cui il secondo investimento avesse un T.I.R. minore del 6,394% ad esempio il 5%, saremmo portati a scartarlo in favore del primo progetto.

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63 Comments

  • Alessandro ha detto:

    Distinto Andrea,

    Vorrei proporti un problema con riguardo alla ricerca di un tasso d’interesse con due pagamenti e con tempo frazionato.

    L’equazione è la seguente: 96.800= 27.461,83(1+i)-6/12 + 72.608,93(1+i)-9/12

    Come si ptrebbe risolvere senza l’uso di excell?

    Ringraziandoti anticipatamente,

    Un cordiale saluto

    Finocchiaro Alessandro

    • Andrea ha detto:

      Ciao Alessandro,
      Per risolvere matematicamente questa equazione con gli “strumenti tradizionali” si potrebbe ricondurla ad un’equazione di terzo grado.
      Imponendo infatti (1+i)^(-3/12)=t
      Otteniamo la seguente equazione.
      96.800= 27.461,83 t^2+ 72.608,93t^3
      Dal momento che questa formula non la conosce nessuno ti rimando ad altri due metodo.
      Il primo metodo è quello dell’ interpolazione lineare.
      Questo metodo consiste nel provare a sostituire del tassi all’interno dell’equazione fino a quando ne trovi due molto vicini tra di loro di modo che uno ti faccia ottenere un risultato più piccolo del vero risultato è l’altro più grande.
      Di solito su base annua devono avere una differenza del 0,5%.
      Trovati i due tassi procedi con il metodo dellinterpolazione
      Dove:
      i*= i1 + (i2-i1)*(f(i*)-f(i1))/(f(i2)-f(i1))
      Dove i1 e i2 sono i due tassi
      f(i1) e f(i2) sono i valori della funzione con i due tassi
      f(i*) è il valore effettivo della funzione
      Che potrebbe essere nel tuo caso 96.800 se consideri l’espressione a destra dell’ uguale la tua equazione.
      i* ovviamente è il TIR.
      Il secondo metodo è quello delle tangenti di Newton che consiste in un algoritmo che se continuato a ripetere più volte ti darà un valore sempre più preciso ddl tasso.
      Di solito servono 4 procedure.
      Esiste sempre un altro metodo (penso ancora di Newton) che sfrutta derivate di livello sempre più alto.

      • Alessandro ha detto:

        Andrea, grazie per la tua risposta, molto chiara, però vorrei chiederti se a limite si potrebbero usare le tavole finanziare andando per tentativi così da avere la soluzione.

        Grazie

        Alessandro

        • Andrea ha detto:

          Per quanto riguarda le tavole statistiche so che si possono usare quando la rata è costante e periodica di n rate.
          Si riferiscono di solito ad a figurati n al tasso i.
          Nel tuo caso le rate non sono costanti e neanche equintervsllate e questo rappresenta un grosso problema per l’uso delle tavole

      • Sofia vada ha detto:

        Ciao Andrea ho difficoltà con questo esercizio, mi puoi aiutare perfavore:
        Considera l’operazione x= {-34,25,10}e lo scadenzario {0, 2, 4} trimestri. Si calcola il TIR dell’operazione e lo si esprima su base annua. Si determini l’importo Δxo da aggiungere in t=0 affinché il Tir annuo sia del 10%. E se a variare fosse la scadenza del secondo importo?

        • Andrea ha detto:

          Ciao Sofia
          In primo luogo trasformiamo tutto lo scadenzario in anni.
          Siccome il tempo è espresso in trimestri dividiamo ogni tempo per 4 ottenendo
          T = (0, 0.5, 1)
          A questo punto calcoliamo il TIR imponendo il valore attuale dell’operazione finanziaria uguale a zero, tramite l’equazione
          -34 +25 v⁰˙⁵+ 10v¹ = 0
          Con v che rappresenta il fattore attualizzante v= (1+TIR)⁻¹
          A questo punto trasformiamo in una equazione di secondo grado imponendo v=t²
          Dunque l’equazione diventa
          10t² +25t –34=0
          Applichiamo la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado accettando solamente la soluzione positiva che risulta
          t=0,977666941
          Ricordando il fatto che v è il quadrato di t (v=t²) troviamo il corrispondente valore di v
          v= 0,955832647
          A questo punto non cresta che trovare il TIR invertendo la formula sopra v= (1+TIR)⁻¹ da che risulta
          TIR = v⁻¹-1 = 0,0462084 ovvero il 4,62084%
          Siccome il TIR è inferiore al 10% servirà un ulteriore esborso ∆x per garantire un TIR del 10%
          In particolare se imponiamo un TIR del 10% e vogliamo calcolare l’ulteriore quota ∆x che deve essere investita troviamo questo ∆x come l’attualizzatone dei flussi di cassa dell’investimento al 10%
          Dunque avremo che
          ∆x = –34 +25·1,1⁻⁰’⁵+10·1,1⁻¹= -1,072526
          Dunque se vogliamo garantire un TIR del 10% dovremo sborsare ancora 1,072526
          Dunque l’investimento iniziale ammonterà a 35,072526
          (ovviamente cifra negativa per l’investitore)

  • fabio ha detto:

    Dato il flusso {-4000, R, 1874,6} secondo lo scadenzario {0; 1; 2}, il valore di R affinché il
    progetto abbia TIR=3% è
    La risposta è 2.300
    Ma come la calcolo?
    Grazie esimio Prof.Andrea

    • Andrea ha detto:

      Ciao Fabio grazie per la tua domanda.
      Per svolgere questo esercizio dobbiamo ricordarci che cosa è il TIR, ovvero il tasso interno di rendimento.
      Tale tasso è quello che rende il valore attuale dei flussi pari a zero.
      Ipotizzando di trovarci nel regime composto, come succede nella maggior parte di questo casi impostiamo la seguente equazione:
      -4.000 + R*1,03^(-1) + 1.874,6*1,03^(-2) = 0
      Isolando la R a sinistra possiamo scrivere:
      R*1,03^(-1) = 4.000 – 1.874,6*1,03^(-2)
      A questo punto dividiamo entrambi i termi dell’equazione (di primo grado) per 1,03^(-1)
      Otteniamo in questo modo il valore di R
      R = (4.000 – 1.874,6*1,03^(-2)) / 1,03^(-1) = 2.312,76
      Ecco fatto ;)

  • Antonio Falbo ha detto:

    Le due successioni di flussi di cassa (-10, 0, 12) ((0, 1, 2) e (-10, x, x) ((0, 1, 2) (dove il tempo è espresso in anni) hanno lo stesso TIR. Calcolare il valore x.

    • Andrea ha detto:

      Partiamo dal fatto che le due operazioni finanziarie abbiamo lo stesso TIR.
      Pertanto andiamo a calcolare il TIR della prima operazione finanziaria impostando la seguente equazione:
      -10 + 12v^2 = 0
      Dove v rappresenta il fattore attualizzante dietro cui si cela il Tir
      v = (1+TIR)^(-1)
      Dunque risolvendo avremo che:
      v = (10/12)^(1/2) = 0,91287093
      Dai cui abbiamo che:
      TIR = v^(-1) -1 = 0,91287093^(-1) -1 = 0,095445
      A questo punto entriamo nella seconda operazione finanziaria imponendo il TIR (o anche il fattore attualizzante) della prima rendita.
      L’equazione che impostiamo per la seconda rendita è la seguente:
      -10 + 0,91287093x +0,91287093^2x = 0
      Da cui abbiamo che:
      x = 10/(0,91287093 +0,91287093^2) = 5,7267

  • gio ha detto:

    ciao andrea devo calcolare il TIR della seguente operazione finanziaria: x/t=-100,50,50,20,25/0,1,2,3,4

    • Andrea ha detto:

      Ciao Gio
      Allora qui devi impostare un’equazione di quarto grado del tipo:
      -100+50v+50v^2+20v^3+25v^4 = 0
      con v = (1+i)^-1
      Devi cercare quel valore di v che annulla questo polinomi.
      Se non lo trovi esattamente devi cercare due valori molto vicini tra di loro
      Uno positivo e uno negativo
      e applicare il procedimento dell’interpolazione lineare.
      Applicandolo troverai un tasso di circa il 2,08%

  • Marco ha detto:

    “Si consideri un mercato obbligazionario ideale in cui al tempo t = 0 siano quotati i seguenti titoli:
    – un titolo a cedola nulla x, con scadenza un anno, valore di rimborso C = 100 e quotato Px = 98.9;
    – un titolo a cedola fissa annuale y, con scadenza 2 anni, tasso nominale T Ny = 4%, valore di rimborso
    C = 100 e con un rendimento a scadenza (yield to maturity) del 2.8% (annuale);
    – un titolo a cedola fissa annuale z, con scadenza 3 anni, tasso nominale T Nz = 5%, valore di rimborso
    C = 100 e con un rendimento a scadenza (yield to maturity) del 4.1% (annuale).
    • Si determinino, limitatamente alle scadenze 1, 2, 3 anni, la struttura dei prezzi a pronti e la struttura
    dei tassi a pronti e si spieghi il motivo della non perfetta coincidenza dei valori della struttura dei tassi
    a pronti con i valori dei rendimenti a scadenza.”
    L’esercizio l’ho svolto, ma potresti dirmi esattamente il perchè della non perfetta coincidenza dei valori della struttura dei tassi a pronti con i valori dei rendimenti a scandenza? I risultati sono:
    YTM (y) = 2.8% – i(0.2) = 2.82%
    YTM (z) = 4.1% – i(0.3) = 4.20%
    Grazie in anticipo.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Marco
      Questo avviene perché il prezzo è diverso dal valore nominale
      Quando questi due coincidono significa che il tasso cedolare è uguale al tasso di rendimento del titolo
      Quindi nel caso adotti il metodo del TIR quello coincide anche col tasso di struttura

      • Marco ha detto:

        Non ho capito però il perchè avviene questo, cioè il fatto che il prezzo non coincida con il valore nominale, perchè fà in modo che il rendimento a scadenza del titolo non sia uguale alla struttura dei tassi a pronti?

        • Andrea ha detto:

          E’ proprio quello il vero problema Marco.
          Per determinare una struttura dei tassi si prendono a riferimento titoli obbligazionari con scadenza diversa.
          Si impostano delle equazioni per ricavare i tassi della struttura.
          I metodi utilizzati sono due il BOOTSTRAP e il TIR.
          Se si adotta il TIR la scadenza di quel titolo è associata direttamente al tasso della struttura.
          Per esempio il TIR del titolo a tre anni diventa il tasso a tre anni della struttura.
          Con il BOOTSTRAP invece funziona come indicato nell’articolo https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/costruire-la-curva-dei-tassi/

          Quando la STRUTTURA è stata creata, si utilizza poi la struttura creata per prezzare ALTRI titoli.
          In generale il prezzo di un’obbligazione non coincide con il valore nominale (100 ad esempio)
          Questo perché Tu stai simbolicamente acquistando 100 euro di valore nominale, che è quello che ti verrà certamente rimborsato a scadenza (con eventuali cedole calcolate ad un tasso predefinito se il tasso è fisso).
          Ma il problema è:
          Quanto li paghi oggi quei 100 euro?
          E’ possibile che nel mercato che è stato creato, i tassi di struttura possono essere maggiori o minori del tasso cedolare dell’obbligazione.
          Questi tassi (determinati con i due metodi TIR e BOOTSTRAP) cambiano con l’andamento del mercato in base a tante condizioni.
          Qui analizzo alcune cause https://andreailmatematico.it/finanza/titoli-portafogli-mercato-capm/rischio-e-rendimento-di-un-titolo-azioni-e-obbligazioni/
          Quando utilizziamo questi tassi di struttura per ottenere il prezzo (di altri titoli) generalmente non danno esattamente 100 di prezzo attualizzando i flussi di cassa.
          Considera che il TIR di quell’obbligazione è intermedio tra il tasso più alto e più basso della struttura in cui ci si trova.
          il prezzo pari a 100 avviene proprio nel momento in cui il TIR dell’obbligazione coincide col tasso cedolare.
          Ma questo è difficile che avvenga esattamente nella realtà (economica).
          In termini astrologici questo si verifica “quando si allineano i pianeti” e si crea un’ellisse (solare o lunare o quello che vuoi tu).
          E’ una condizione “anormale”.
          Dunque quando osservi il prezzo delle obbligazioni questo può essere più basso o più alto rispetto al valore nominati.
          Nei titoli a rimborso unico (senza cedola, detti anche Zero Coupon Bond ZCB) https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/prezzo-obbligazioni-curva-tassi/obbligazioni-zero-coupon-bond-prezzo-e-tasso-di-rendimento/è quasi certamente più basso, mentre in quelli cedolari potrebbe essere un po’ più alto.
          Nei titoli cedolari (con cedola fissa) https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/prezzo-obbligazioni-curva-tassi/obbligazione-cedolare-prezzo-e-tir-tres/la regola generale è questa:
          se il TIR dell’obbligazione è maggiore del tasso cedolare il prezzo è sotto la pari (minore di 100)
          Mentre se il TIR è minore del tasso cedolare allora succede che il prezzo è sopra la pari (maggiore di 100)
          PS: tieni anche conto che uso il 100 come valore nominale per convenzione.
          Se ti viene dato un problema dove il valore nominale è 150 oppure 250 o 1.000 devi ragionare in merito a quella cifra

  • Luca ha detto:

    L’impresa ABC sta valutando al tempo t = 0 un’operazione di investimento che ci si attende possa generare
    il flusso di cassa x = {x, 3x, 2x} definito sullo scadenzario t = {1, 2, 3} (gli importi sono espressi in milioni
    di euro e il tempo `e misurato in anni) a fronte di un investimento iniziale I0 = 75 milioni di euro. Si assuma
    che, sulla base di una valutazione della rischiosità dell’investimento, ABC utilizzi un tasso di attualizzazione
    del 14%.
    • Si stabilisca per quali valori di x l’investimento abbia Tasso Interno di Rendimento (TIR) positivo

    • Andrea ha detto:

      Ciao Luca
      Se il rendimento atteso dell’Azionista è il 24% procediamo ponendo il valore attuale dei flussi pari all’investimento a quel tasso
      1,14^(-1)x + 3*1,14^(-2)x + 2*1,14^(-3)x=75.000.000
      Quindi
      X=75.000.000 /[1,14^(-1)+ 3*1,14^(-2) + 2*1,14^(-3)]=16.536.073

      Per avere un TIR positivi basta semplicemente che la somma dei flussi di ritorno sia maggiore strettamente dell’investimento
      Qui basta impostare:
      x+3x+2x>75.000.000
      6x>75.000.000
      x>12,5 mln

      Se vai a questo eserciziario ci sono tanti esercizi su rendite, investimento TIR tutti belli suddivisi

      https://andreailmatematico.it/corso/esercizi-di-matematica-finanziaria/

  • Pasquale ha detto:

    Ciao Andrea e grazie per i tuoi video, sono utilissimi. Volevo chiederti una mano per questo esercizio, non esce come dovrebbe.

    Sia un TCF di v.nominale=100€, vita a scadenza m=2anni, cedola annuale dell’8% e prezzo P=98€. Calcolarne il T.I.R. e il valore attuale secondo la legge esponenziale individuata dal TIR; determinare inoltre la quantità dP di cui bisogna decrementare il prezzo affinché il T.I.R. risulti uguale al 10%.
    Potresti darmi delucidazioni in merito? Scusa il disturbo e grazie

    • Andrea ha detto:

      Ciao Pasquale,
      Cominciamo con il dire che i flussi di cassa relativi alla tua operazione finanziaria sono i seguenti:
      (-98, 8, 108) ai tempi (0, 1, 2)
      Per prima cosa bobbiamo imporre l’equità dell’operazione finanziaria per calcolare il TIR
      chiamiamo v il fattore di attualizzazione unitario
      v = (1+TIR)^(-1)
      Dunque impostiamo l’equazione di secondo grado:
      108 v^2 +8v -98 = 0
      Risolviamo l’equazione attraverso la formula risolutiva di secondo grado e accettiamo solamente la soluzione positiva
      (per evitare che il TIR risulti negativo)
      v = (-8 + radq(8^2 + 4*108*98)/(2*108) = 0,916262
      A questo punto calcoliamo il TIR dal fattore attualizzante:
      TIR = v^(-1) -1 = 0,916262^(-1) -1 = 0,09139
      Dunque il TIR che abbiamo calcolato è il 9,139%

      Ora dobbiamo rispondere alla seconda domanda.
      Di quanto deve variare il prezzo affinché il TIR sia il 10%.
      In questo caso andiamo semplicemente a calcolare il prezzo attualizzando con il 10% i flussi di cassa dell’obbligazione:
      P’ = 8*1,1^(-1) +108*1,1^(-2) = 96,529
      Dunque il il dfferenziale di prezzo dP è pari a:
      dP = P’ – P = 96,529 – 98 = -1,471
      In definitiva il prezzo deve calare di 1,471

  • Pasquale ha detto:

    Ciao Andrea ti inoltro questo es, non mi trovo con il calcolo della duration.

    Sia dato un bullet bond X di valore facciale 120 lire, maturity 10 anni, cedola annuale di 12.5 lire e quotato alla pari. Calcolare il TIR. e la duration relativamente ad una struttura dei tassi di interesse piatta al livello del TIR.

  • Valentin ha detto:

    Ciao Andrea, mi sorge un dubbio, non di calcolo, ma perché c’è bisogno di avere il REA nullo per riuscire a valutare due progetti finanziari.
    Ti ringrazio.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Valentine
      Non è che bisogna avere il REA nullo
      Diciamo che per valutare uno o più progetti di investimento ci sono dei criteri trai quali i più importanti sono REA e TIR
      Il presupposto importante è che il REA sia positivo per gli investimenti
      Ricorda che il REA si calcola per un determinato tasso di interesse
      Quando invece utilizziamo il TIR allora scegliamo l’investimento con TIR maggiore
      Per calcolare il TIR annulliamo il REA
      Ovvero calcoliamo quel tasso di interesse che rende il REA uguale a zero
      Lo imponiamo uguale a zero perché vogliamo che l’operazione fina anzi aria risulti EQUA. a quel tasso di interesse

  • Sara Galantini ha detto:

    Salve! Saprebbe indicarmi come calcolare il tir di una rendita di durata N sia con rata anticipata che posticipata? Quello della rendita perpetua invece corrisponde a R/P acquisto giusto?
    Grazie mille

    • Andrea ha detto:

      Ciao Sara
      Per calcolare il Tir di una rendita puoi usare uno dei seguenti metodi
      – interpolazione lineare
      – metodo delle tangenti di Newton
      – metodo delle secanti

  • Leonardo ha detto:

    Ciao. Mi viene chiesto di calcolare il TIR di un’operazione x/t uguale a {0,-10,21,-10}/{0,2,4,6}. Come potrei procedere?
    Grazie mille in anticipo!

    • Andrea ha detto:

      Ciao Leonardo
      Per prima cosa imposti l’equazione di sesto grado
      -10v^2+21v^4-10v^6=0
      Con V=(1+i)^(-1) fattore attualizzante
      Raccogli a fattor comune v^2
      V^2*(-10+21v^2-10v^4)=0
      v^2 se ne va poiché sempre positivo
      Dunque resta
      -10+21v^2-10v^4
      Sostituisci v^2=t di modo da risolvere un’equazione di secondo grado
      -10+21t-10t^2=0
      Che ti conviene riscrivere così
      t^2-21t+10=0
      Risolvi l’equazione di secondo grado
      I valori di t che si ricavano con la formula risolutiva sono
      t1=0,729844 e t2=1,370156
      Dal primo valore di t risostituendo con v^2 ricaviamo l’equazione
      v^2=0,729844 da chi
      v=+-0,854309
      Ovviamente accettiamo solo la soluzione positiva
      V=0,854309
      Da cui ricaviamo il tasso con la formula
      i=v^0,5 -1=0,17054
      Dal secondo valore di t risostituendo con v^2 ricaviamo l’equazione
      v^2= 1,370156 da cui
      v=+-1,170536
      Ovviamente accettiamo solo la soluzione positiva
      V= 1,170536
      Da cui ricaviamo il tasso con la formula
      i=v^0,5 -1= -0,1456
      Questo ultimo non accettabile poiché negativo
      Dunque il TIR è UNICO ed è pari a 0,17054 ovvero il 17,054%

      • Leonardo ha detto:

        Grazie mille! Ho comunque da svolgere molti esercizi riguarda il calcolo del tir in bullet bond, zero coupon bond e tcf. Nel corso sulle obbligazioni sono trattati anche questi argomenti?
        Ne approfitto per chiedertene uno al volo: mi viene chiesto di calcolare il tir di un bullet bond con nominale=100, vita a scadenza=2 anni, cedola annuale=8% nominale e prezzo di acquisto=98. Sapresti aiutarmi in questo caso specifico?
        Grazie ancora e buona giornata

        • Andrea ha detto:

          Ciao Leonardo
          Si ci sono molti esercizi del genere
          Per trovare il tir in questo caso imposti l’equazione di secondo grado
          108v^2 +8v – 98 = 0
          Dove v è il fattore attualizzante
          Da cui apllicando la formula dell’equazione di secondo grado trovi la soluzione
          V = 0,916262
          (Quella negativa la scarti)
          Da questa ricavi il TIR elevando V alla -1 e sottraendo 1
          TIR = v^(-1)-1= 0,916262^(-1)-1
          Tir= 0,09139

  • Daniele ha detto:

    Ciao Andrea , ho da proporti un esercizio cui però la soluzione che ottengo non è tra quelle che mi vengono proposte. Potresti mostrarmi come procedere?
    Dato un flusso (50; -30; -30 ) secondo lo scadenzario (0,1,2) calcolare il TIR

    • Andrea ha detto:

      Ciao Daniele
      Devi impostare l’equazione di secondo grado
      30v^2 + 30v -50 =0
      Che puoi semplificare anche come
      3v^2 + 3v -5 =0
      Ricavi il fattore attualizzante V
      con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado
      Nada benedi considerare solo la soluzione positiva
      Poi calcoli il TIR con la formula
      TIR = v^(-1) -1

  • Gessica ha detto:

    Ciao Andrea.

    Per te sarà una banalità…e io probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d’acqua….
    ma mi sono bloccata…
    “Consideriamo un’operazione finanziaria di acquisto al prezzo pari a 100 euro, di un titolo a cedola nulla con scadenza biennale e valore di rimborso pari a 104. In tal caso il tasso interno di rendimento è pari a:”
    Risultato: 0.0198

    Mi aiuteresti con lo svolgimento, per cortesia?
    Grazie
    Jessica

  • Rosalia ha detto:

    Ciao, potresti aiutarmi a risolvere questo esercizio per favore? Supponiamo che l’azienda debba scegliere tra 2 progetti alternativi, t(0,1,2)
    Progetto A -10 -16 30
    Progetto B -10 2 11
    Tasso di struttura pari al 13.5%. Si dica quale progetto sia preferibile secondo il criterio del Tir.
    Grazie anticipatamente

    • Andrea ha detto:

      Ciao Rosalia
      Esistono due modi per affrontare la stessa situazione.
      Il primo modo più elementare è quello del risultato economico attualizzato (REA) detto anche VAN (valore attuale netto).
      In questo caso utilizziamo il tasso di struttura del 13,5% per attualizzare i flussi dei progetti
      REA(A) = -10 -16*1,135^(-1) +30*1,135^(-2) = -0,809
      In questo caso il REA è negativo, dunque non accettiamo il progetto a questo tasso.
      Il fatto che il Rea sia negativo significa certamente che il TIR è al di sotto del 13,5%
      Passiamo al progetto B con lo stesso metodo:
      REA(B) = -10 +2*1,135^(-1) +11*1,135^(-2) = 0,301
      Essendo il REA positivo il TIR di questo progetto è certamente maggiore del 13,5%.
      Dunque accettiamo il progetto B.
      Il secondo modo di risolvere la questione è calcolare il TIR
      In questo caso i flussi e i tempi rimandano ad una equazione di secondo grado di cui conosciamo la formularisolutiva.
      Passiamo dal progetto A.
      L’equazione da risolvere è:
      -10 -16v +30v^2 = 0
      Dove v è il fattore attualizzante v =(1+i)^-1 , i è il TIR
      Riordiniamo il polinomio e dividiamo per 2:
      15v^2 -8v -5 = 0
      Applicando la formula risolutiva (di cui accettiamo sola la soluzione positiva) abbiamo che:
      v = 0,902626
      Dai cui ricaviamo il TIR con la formula : TIR = v^(-1) -1
      TIR(A) = 0,902626^(-1) -1 = 10,107878
      Questo TIR è minore del 13,5% dunque non accettiamo il progetto, poiché avrà un REA negativo
      Con il progetto B l’equazione di secondo da risolvere è:
      11v^2 +2v -10 = 0
      Da cui la soluzione positiva è:
      v = 0,863636 da cui il TIR di B è:
      TIR(B) = 0,863636^(-1) -1 = 0,1578
      Essendo il TIR maggiore del 13,5% accettiamo il progetto.
      Il VAN o REA di B è certamente positivo (calcolato con il 13,5%)

      Se ti sono poco chiari i concetti di attualizzazione, fattore attualizzante, TIR, valutazione dei progetti e rendite scopri i corsi di matematica finanziaria a questo link
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  • Patrizia ha detto:

    Ciao, potresti aiutarmi con questo esercizio? Al tempo corrente t=0 sono quotati i seguenti titoli sul mercato obbligazionario:
    a) un titolo a cedola nulla ad 1 anno con tasso interno di rendimento annuale pari a TIR = 0,022;
    b) un titolo a cedola nulla a 2 anni con tasso interno di rendimento annuale pari a TIR = 0,031
    c) un titolo a cedola fissa a 3 anni, tasso nominale TN= 0,04, emesso alla pari con valore nominale pari a 100;
    d) un titolo a cedola fissa a 5 anni, tasso nominale TN = 0,0555, emesso alla pari con valore nominale pari a 100.
    Si calcoli la struttura dei tassi e dei prezzi a pronti relativamente allo scadenziario t = 1,2,3,4,5 con il metodo TIR

  • Patrizia ha detto:

    Ciao potresti aiutarmi? Al tempo corrente t=0 sono quotati i seguenti titoli sul mercato obbligazionario:
    a) un titolo a cedola nulla ad 1 anno con tasso interno di rendimento annuale pari a TIR = 0,022;
    b) un titolo a cedola nulla a 2 anni con tasso interno di rendimento annuale pari a TIR = 0,031
    c) un titolo a cedola fissa a 3 anni, tasso nominale TN= 0,04, emesso alla pari con valore nominale pari a 100;
    d) un titolo a cedola fissa a 5 anni, tasso nominale TN = 0,0555, emesso alla pari con valore nominale pari a 100.
    Si calcoli la struttura dei tassi e dei prezzi a pronti relativamente allo scadenziario t = 1,2,3,4,5 con il metodo TIR

  • Alessia ha detto:

    Ciao, sapresti risolvere questo esercizio?
    L’impresa ABC sta valutando al tempo t = 0 un’operazione di investimento che ci si attende possa generare sullo scadenzario t = {1, 2, 3} (il tempo `e misurato in anni) un flusso di cassa x che cresce nel tempo al tasso annuo g, a fronte di un investimento iniziale I0 = 100 milioni di euro. Si supponga che il primo importo del flusso x sia x1 = 40 milioni di euro e si assuma che, sulla base di una valutazione della rischiosità dell’investimento, ABC utilizzi un tasso di attualizzazione del 14%. • Si calcoli il Valore Attuale Netto (VAN) dell’investimento nelle ipotesi g = 5% e g = 10%. • Si stabilisca per quali valori del tasso di crescita g l’operazione di investimento mostra un VAN positivo.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Alessia,
      In questo caso dobbiamo attualizzare flussi di casso che crescono in progressione geometrica con ragione g=5% al tasso del 14%.
      Un primo modo elementare per risolvere la questione è calcolare tutti i flussi di cassa che chiamiamo x1, x2 x3
      x1=40
      x2= 40*1,05 = 42
      x3 = 42 * 1,05 = 44,1
      A questo punto calcoliamo il VAN (valore attuale netto) attualizzando tali flussi con l’investimento di 100.
      VAN = -100 + 40*1,14^(-1) + 42*1,14^(-2) + 44,1*1,14^(-3) = -2,828
      Dunque non accettiamo l’investimento poiché il VAN è negativo.
      Un secondo modo di affrontare la questione è usare una apposita formula che è:
      VAN = -I0 + FC1 /(r-g) *( 1 -((1+g)/(1+r))^n)
      Con I0 = Investimento iniziale (100)
      FC1 il primo flusso di cassa (40 nel nostro caso)
      g = tasso di crescita (5%)
      r = tasso di attualizzazione (14%)
      Dunque:
      VAN = -100 + 40 /(0,14-0,05) * (1 – (1,05/1,14)^3 ) = -2,824
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  • alessia ha detto:

    Ciao,

    L’impresa ABC sta valutando al tempo t = 0 un’operazione di investimento che ci si attende possa generare il flusso di cassa x = {40, 75, 100} definito sullo scadenzario t = {1, 2, 3} (gli importi sono espressi in milioni di euro e il tempo è misurato in anni) a fronte di un investimento iniziale I0. Si assuma che, sulla base di una valutazione della rischiosità dell’investimento, ABC utilizzi un tasso di attualizzazione del 12% annuale. • Nell’ipotesi che il Tasso Interno di Rendimento (TIR) dell’operazione di investimento sia pari al 14%, si determini I0 e si calcoli il Valore Attuale Netto (VAN). • Nell’ipotesi che l’investimento iniziale sia I0 = 150 milioni di euro, si dimostri che il TIR del progetto risulta compreso tra il 17% e il 18%. Si supponga che l’azienda decida di finanziare parte dell’investimento iniziale accendendo un mutuo bancario per l’importo S = 50 milioni di euro. Il mutuo prevede un piano di rimborso costituito da tre rate annuali posticipate al tasso del 5.5% annuale. • Nell’ipotesi che l’importo della prima rata sia la metà dell’importo della seconda rata e che la terza quota di capitale sia pari a 20 milioni di euro, si compili il piano d’ammortamento. • Si determini il VAN dell’investimento in questa ipotesi di finanziamento

    • Andrea ha detto:

      Ciao Alessia.
      Partiamo dal primo punto e calcoliamo l’investimento iniziale i0.
      Sapendo che il TIR dell’investimento è il 14% attualizziamo i flussi a questo tasso.
      I0 = 40*1,14^(-1) +75*1,14^(-2) + 100*1,14^(-3) = 160,295
      Sappiamo inoltre che il tasso di valutazione è il 12% ed essendo inferiore al TIR (tasso interno di rendimento) l’investimento viene di certo accettato.
      Infatti se calcoliamo il VAN (valore attuale netto) detto anche REA (risultato economico attualizzato) questo è di certo positivo.
      VAN(12%) = -160,295 + 40*1,12^(-1) +75*1,12^(-2) + 100*1,12^(-3) = 6,387 >0

      Il secondo punto ci dice di verificare che il TIR (tasso interno di rendimento) sia compreso tra il 17% e il 18% nel caso in cui l’investimento iniziale sia di 150.
      Per farlo basta calcolare il REA (o VAN) dell’investimento a questi due tassi e verificare che ci sia un cambio di segno.
      REA(17%) = -150 + 40*1,17^(-1) +75*1,17^(-2) + 100*1,17^(-3) = 1,413 >0
      Al 17% il REA è positivo
      REA(17%) = -150 + 40*1,18^(-1) +75*1,18^(-2) + 100*1,18^(-3) = -1,375 >0
      Al 18% il REA è negativo
      Dunque il TIR (tasso interno di rendimento) è compreso tra il 17% e il 18%

      Prima di partire con il terzo punto ti invito a scoprire tutti i corsi di matematica finanziaria con una vastissima gamma di esercizi e i mini corsi che concentrano l’attenzione su argomenti specifici
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      Passiamo al mutuo e chiamo mo S=50 il capitale di partenza.
      Definiamo inoltre
      R1,R2,R3 le tre rate
      C1,C2,C3 le tre quote capitale
      I1,I2,I3 le tre quote interessi
      D1,D2,D3 i tre debiti residui
      Sapendo che la prima rata è la meta della seconda possiamo scrivere:
      R1=R R2=2R
      Il tasso è 5,5% dunque i=0,055
      Sappiamo inoltre che la terza quota capitale è 20, perciò C3=20
      La prima quota interesse è calcolata sul debito in zero ovvero il capitale:
      I1 = S*i = 50*0,025 = 2,75
      La prima quota capitale è la differenza tra la rata e la quota interesse
      C1 = R1 – I1 = R – 2,75
      Il primo debito residuo è la differenza tra il capitale e la prima quota capitale:
      D1 = S – I1 = 50 – (R – 2,75) = 52,75- R
      La seconda quota interesse è il prodotto tra D1 e il tasso
      I2 = D1 * i = (52,75- R)*0,055 = 2,90125 – 0,055R
      La seconda quota capitale è la seconda rata meno la seconda quota interesse
      C2 = R2 – I2 = 2R -(2,90125 – 0,055R) = 2,055R – 2,90125
      Possiamo adesso sfruttare la condizione di chiusura elementare di un prestito per cui la somma delle quote capitale è pari al capitale preso a prestito:
      C1 + C2 + C3 = S
      R – 2,75 + 2,055R – 2,90125 + 20 = 50
      Risolvendo l’equazione di primo grado troviamo la rata:
      R = 11,67
      Da qui è molto semplice proseguire …

  • Ilenia ha detto:

    Ciao Andrea non mi è chiaro questo esercizio:
    Vito dispone di due opportunità commerciali per le quali deve investire la somma C = 200 euro al tempo t = 0 e che
    danno le seguenti entrate:
    1. A1 = 150 al tempo t = 1 e A2 = 100 al tempo t = 2;
    2. B1 = x al tempo t = 1 e B2 = 160 al tempo t = 2;
    Determinare per quali valori di x > 0 l’opportunità 1 ha lo stesso TIR della opportunità 2.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Ilenia.
      In primo luogo dobbiamo trovare il TIR della prima equazione
      Impostiamo l’equazione di equilibrio secondo cui
      -200 + 150v + 100v^2 =0
      Dove v è il fattore attualizzante
      v = (1+TIR)^(-1)
      Si tratta di una equazione di secondo grado
      Dividiamo tutto per 50 e riordiniamo il polinomio di secondo grado in v
      2v^2 +3v-4 = 0
      Da cui ricaviamo le due soluzioni applicando la formula risolutiva
      Teniamo solamente la soluzione positiva che
      v = 0,85078
      Da qui ricaviamo il TIR facendo
      TIR = v^(-1) -1 = 0,85078^(-1) -1 = 0,17539
      A questo punto dobbiamo imporre questo TIR o l’equivalente fattore attualizzante nella rendita B per ricavare il valore della x
      Dunque impostiamo l’equazione
      -200 + x*v +160*v^2 =0
      X risulta derivare da una equazione di primo grado
      x = (200 – 160v^2)/v
      Sostituendo la posto di v il valore trovato prima (v=0,85078) troviamo che il valore di x è
      x = 98,95

      Se ti è poco chiara la procedura generale o mancano i concetti basilari di equazione, equilibrio, attualizzazione, fattore attualizzante, TIR ti consiglio vivamente i video corsi di matematica finanziaria a questo link

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  • Ilenia ha detto:

    Ciao Andrea, non mi è chiaro questo esercizio:
    Wonder Woman decide di effettuare un investimento di −10 000 euro in t = 1 e ricever ́a due entrate pari R+ 1 000 in t = 2
    e R + 3 000 in t = 3.
    • Determinare in t = 0 l’importo R affinché il REA sia pari a +2 000 in base al tasso di valutazione i = 0.05;
    • Determinare in t = 0 il TIR nel caso il cui R = 4 000.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Ilenia
      L’equazione generale da impostare è:
      valore attuale rate = REA
      Nel nostro caso impostiamo la seguente equazione
      -10.000*1,05^(-1) + (R+1.000)*1,05^(-2) +(R+3.000)*1,05^(-3) = 2.000
      Raccogliamo a fattor comune la R e lasciandole a sinistra
      Mentre tutte le cifre le spostiamo sulla destra
      R*(1,05^-2 + 1,05^-3) = 2.000 +10.000*1,05^(-1)-1.000*1,05^(-2)-3.000*1,05^(-3)
      Da cui dividendo R = 4.275,73

      Per la richiesta del TIR (tasso interno di rendimento) dobbiamo impostare un’equazione per cui REA=0
      Poiché il regime composto è scindibile possiamo calcolare lo stesso TIR al tempo 1
      Da cui impostiamo l’equazione
      -10.000 + 5.000 v + 7.000 v^2 =0
      Dove v è il fattore attualizzante v=(1+TIR)^(-1)
      L’equazione di secondo grado che ne deriva semplificando per 1.000 è
      7v^2 +5v -10 = 0
      Accettiamo solo la soluzione positiva che otteniamo mediante la formula risolutiva di secondo grado
      v = (-5 + √(25+10*4*7))/14 = 0,890303
      Per ricavare il TIR facciamo
      TIR = v^(-1) -1 = 0,1232124

      Ti invito a scoprire i corsi sul sito che riguardano rendite e il corso sul REA a questo link https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/

  • Ilenia ha detto:

    Un individuo deve effettuare una scelta tra i seguenti due investimenti:
    ˆ I1 Investire la somma C al tempo t = 0 e incassare la somma 800 000 al tempo t = 10;
    ˆ I2 Investire la somma C al tempo t = 0 e incassare le somme di 600000 euro al tempo t = 5, 100000 al tempo t = 10.
    Determinare, al variare del tasso di valutazione, l’operazione piu ́ conveniente secondo il criterio del REA

    • Andrea ha detto:

      Ciao Ilenia,
      Posta così come è la domanda è un po’ incalzante poiché non conosciamo la cifra C.
      Comunque sia la strategia di valutazione che mi sembra migliore è fare il progetto differenza.
      Ovvero progetto 1 – progetto 2 (sottra vendo il relativi flussi di cassa)
      Il flussi di cassa derivanti da questo progetto differenza sono
      (-C-(-C) , -600.000 , +700.000 ) = (0 , -600.000 , +700.000 )

      Ora possiamo valutare il TIR di questo progetto differenza risolvendo l’equazione
      -600.000 v^5 +700.000 v^10 =0
      Dove v è il fattore attualizzante v=(1+TIR)^(-1)
      semplificando abbiamo
      -6v^5 +7v^10 = 0
      Raccogliamo a fattor comune v^5
      v^5 (-6 +7v^5)=0
      Ovviamente non accettiamo il primo valore di v (quello fuori dalla parentesi)
      dal secondo fattore (parentesi) uguale a zero otteniamo
      -6 +7v^5 = 0
      v^5 = 6/7
      v = (6/7)^(1/5) = 0,857142
      da cui ricaviamo TIR con l’espressione inversa
      TIR = v^(-1) -1 = 0,031310
      Questo si potrebbe considerare come il valore del TIR soglia dei due progetti
      Ovvero se il tasso di valutazione fosse proprio il 3,131% i due progetti sarebbe ro indifferenti
      Mentre se il tasso è superiore a tale soglia sarebbe preferito il progetto 2
      Ricordiamo infatti che nella scelta iniziale abbiamo fatto Progetto 1 – progetto 2

  • Luigi ha detto:

    Ciao, devo calcolare il tir di quest’operazione ma non capisco come uscirne, non posso usare il procedimento del delta etc perchè esce un numero grandissimo:
    Operazione finanziamento di 120mila euro, rimborso con due rate annuali posticipate rispettivamente di 60000 e 64000. Calcolare il TIR.
    Mi potresti aiutare?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Luigi
      Per prima cosa imposti l’equazione del valore attuale
      (ragioniamo in migliaia di euro per comodità:
      -120 + 60*(1+x)^-1 + 64*(1+x)^-2 = 0
      Dove x rappresenta il TIR dell’operazione
      Facciamo una sostituzione y = (1+x)^(-1) per rendere l’equazione di secondo grado
      64y^2 +60y -120 = 0
      Applicando la formula risolutiva e accettando solo la soluzione positiva otteniamo
      y = 0,978567
      Risostituendo possiamo facilmente ricavare la x
      x = y^(-1) -1 = 0,0219
      Dunque il TIR 2,19%

      ATTENZIONE!!!
      Se i flussi fossero stati distribuiti temporalmente in modo diverso avresti dovuto applicare per il calcolo del TIR il procedimento di interpolazione lineare
      In particolare il metodo della tangenti di Newton o il metodo delle secanti!!!!!!!

  • Samuele ha detto:

    Si vogliono confrontare 2 investimenti. Il primo consiste in un versamento iniziale di € 10195, di ricavi semestrali posticipati di € 360 per 5 anni e del rimborso al termine del quinto anno di € 10000. Il secondo investimento consiste di un versamento iniziale di € 10000 e in ricavi annuali posticipati di € 2050 per la durata di 5 anni. Quale dei 2 investimenti è più conveniente in base al criterio del tir? Vorrei un chiarimento, grazie.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Samuele
      Se devi valutare i progetti sulla base del TIR il modo tecnicamente più corretto è proprio quello di calcolare il TIR (su base annua dei due progetti)
      Per trovare il TIR del primo progetto devi impostare l’equazione
      -10.195+360*a(9;i)+10.360*(1+i)^(-10)=0
      Dove in particolare a(9;i) è il fattore attualizzante delle rendite “a figurato n al tasso i”
      Per risolverla non esistono formule risolutive ma devi applicare procedimenti di interpolazione lineare, oppure il metodo delle tangenti di Newton
      Dopo un po’ di tentativi perverrai alla soluzione i=3,3671% che è il tasso semestrale
      Per ricavare quello annuo usi la formula di conversione dei tassi nel regime composto i= (1+i2)^2-1 = 6,8476%
      Passiamo ora al TIR della seconda rendita
      In questo caso l’equazione da impostare è
      -10.000 + 2.050*a(5,i)=0
      In questo caso la soluzione è i= 0,829%
      (Sempre ricavata per interpolazione)
      Dunque non ci sono dubbi che il primo progetto sia il più vantaggioso poiché presenta un TIR maggiore.

      Un modo più rudementale ma comunque efficace per dare la risposta e che in qualche modo si avvicina anche al metodo intepolativo consiste nel calcolare il valore attuale delle due rendite a diversi tassi di interesse
      Prima prova l’1%
      Poi ripeti il procedimento con il 2%
      Poi ripeti il procedimento con il 3%
      Ti fermi nel momento in cui ad un dato tasso di interesse il valore di una rendita è positivo è l’altro è negativo.
      Quel progetto con valore attuale positivo sarà il migliore.
      Attenzione che quando fai questa operazione devi tenere conto che nella prima equazione (del primo progetto) così come l’abbiamo impostata devi immetere il tasso semestrale.
      Dunque se ad esempio stai valutando il valore attuale di entrambe le rendite al tasso dell’1% ricordi di usare l’1% per la seconda (in quanto è annua, ma nella prima devi convertire nel tasso semestrale con la formula i2=(1+i)^2-1 .
      Dunque nel caso dell’1% diventa 1,01^(1/2)-1 = 0,00498756=0,49875%
      Spero di essermi espresso correttamente ;)

  • Samuele ha detto:

    Ciao Andrea, volevo un chiarimento su alcuni quesiti, anche in un’ottica, prospettiva diversa. 1) La somma € 432, impiegata in regime misto per 9 anni e 7 mesi ha fruttato € 444.581, devo determinare i tasso d’impiego. 2) Consideriamo il rimborso quinquennale di € 10000 a rate costanti, i = 0,05. Supponiamo che dopo il terzo pagamento il tasso passi a 0,06, devo determinare il piano di ammortamento complessivo. 3) Data la funzione δ (t) = alfa / radice di t + 1, con alfa maggiore di 0, devo determinare il tasso unitario d’interesse generato dal fattore di capitalizzazione associato. Grazie.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Samuele
      Partiamo dal quesito 1)
      L’equazione da impostare è : capitalizzazione del capitale uguale al monetante, dunque:
      432*(1+i)^9*(1+i*7/12)=444,581
      Questa va risolta per interpolazione lineare
      Considera come tasso di partenza quello classico nel regime composto
      i= (M/C)^(1/t)–1= 0,03%
      Applicando la procedura una o due volte dovresti essere molto vicino al TIR
      Passiamo al quesito 2)
      Calcoliamo prima la rata al 5% con la formula
      R = S/a(n,i) con a(n,i) fattore attualizzante delle rendite
      Dunque R= 10.000 / a(5; 0.05)= 2.309,74
      Ricorda come si compila un piano alla francese, ti lascio il link dell’articolo
      https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/piani-ammortamento/piano-di-ammortamento-francese-rata-costante/
      In questo caso lo compili con le regole associate fino all’anno 3
      Il debito residuo al terzo anno è dato dall’atualizzazione delle ultime due rate:
      D(3) = R*a(2; i) = 4.294,7695
      Da qui costruisci un nuovo piano di due rate dove la nuova rata R’ è
      R’= D(3)/ a(2;i) = 2.342,74

      Terzo quesito
      Se conosci 𝛿(t) = 𝛼/radq(t+1)= 𝛼(t+1)^(-1/2)
      Puoi ricavare il fattore capitalizzante facendo
      r(t) = e^∫𝛿(s)ds con l’integrale definito calcolato da 0 a t
      Il risultato dovrebbe essere
      r(t)= e^(𝛼(2(t+1)^(1/2) -1)
      Per calcolare il tasso unitario di interesse ciò quello che va da zero a 1 basa che fai la differenza tra il fattore di montante in 1 e quello in zero (che deve valere 1)
      i(0,1)= r(1)-1
      Il risultato ovviamente dipenderà dal parametro 𝛼

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