TASSO INTERNO DI RENDIMENTO (T.I.R)
Il Tasso Interno di Rendimento (T.I.R.) è il tasso di interesse al quale si annulla si R.E.A.
È uno dei criteri di valutazione di un progetto di investimento o di finanziamento.
Quando stiamo confrontando più operazioni finanziarie di investimento optiamo per quella che presenta un T.I.R. più alto.
È bene sapere che quando un soggetto economico sta rinunciando inizialmente a delle risorse finanziarie vorrà avere a parità di altre condizioni un guadagno percentuale maggiore.
Diversamente quando si analizzano più opzioni di finanziamento la nostra scelta cadrà sul progetto che a parità di altre condizioni è caratterizzato da un T.I.R. minore.
In questa situazione è abbastanza immediata la spiegazione.
Se stiamo intraprendendo un finanziamento vorremo pagare un interesse più basso e per farlo ci servirà un tasso minore.
CONDIZIONE DI APPLICABILITA’
Senza entrare in troppi tecnicismi tecnici diciamo che quando ci troviamo ad operare nel regime composto il calcolo del T.I.R. dipende dalla risoluzione di un’equazione di grado n.
Tale equazione ammette potenzialmente n soluzioni.
Anche se la cosa può avere senso secondo una logica puramente algebrica, le cose non stanno così in ambito finanziario.
Quando valutiamo un’operazione finanziaria i T.I.R. negativi vengono automaticamente esclusi, e questo è facilmente comprensibile se rispondete a questa domanda.
Accettereste una proposta di investimento in cui vi viene chiesto di rinunciare oggi a 100 euro per ottenere 97 euro tra un anno?
Probabilmente sarebbe un’azione che farebbe un padre o un fratello per aiutare il proprio figlio o il proprio fratello.
Di certo non sarebbe un’operazione che intraprendere una società o una banca.
In secondo luogo evitiamo di utilizzare il metodo del T.I.R. qualora ci trovassimo di fronte alla presenza di due o tre T.I.R. positivi.
Anche qui per capire meglio immaginate che un investimento presenti un tasso interno di rendimento del 4% e dobbiamo confrontarlo con un altro progetto di investimento.
Questo secondo progetto presenta due T.I.R., uno del 2% e uno del 5%.
Quale dei due dovremmo scegliere?
Si creerebbero delle ambiguità da cui sarebbe molto difficile venirne a capo.
ESEMPIO
Vediamo insieme un esempio di come si calcola il T.I.R. relativamente ad un progetto di investimento
Calcolate il T.I.R. del progetto di un progetto di investimento caratterizzato dai seguenti vettori X degli importi e T dei tempi:
GRAFICO
Rappresentiamo la situazione sulla linea del tempo per avere le idee più chiare di quello che sta succedendo:
CALCOLI
Ora procediamo al calcolo del T.I.R. che chiameremo per comodità semplicemente i.
Imponiamo per prima cosa il R.E.A. uguale a zero.
Ora facciamo la seguente sostituzione:
A questo punto l’equazione diventa:
Se dividiamo tutto per 100 e riordiniamo il polinomio di sinistra dalla y di grado maggiore otteniamo la seguente equazione di secondo grado:
Applichiamo la formula risolutiva evitando di considerare la soluzione negativa.
Ora ricostituiamo la y con il fattore di attualizzazione unitario (1+i)^-1
Per ricavare il T.I.R. eleviamo entrambi i termini alla (-1) e dopo di che sottraiamo 1.
Abbiamo ottenuto un T.I.R. del 6,394%.
Se dovessimo a disposizione un secondo progetto con T.I.R. dell’8% opteremo per intraprendere quest’ultimo in quanto caratterizzato da un tasso di rendimento maggiore.
Nel caso in cui il secondo investimento avesse un T.I.R. minore del 6,394% ad esempio il 5%, saremmo portati a scartarlo in favore del primo progetto.
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Distinto Andrea,
Vorrei proporti un problema con riguardo alla ricerca di un tasso d’interesse con due pagamenti e con tempo frazionato.
L’equazione è la seguente: 96.800= 27.461,83(1+i)-6/12 + 72.608,93(1+i)-9/12
Come si ptrebbe risolvere senza l’uso di excell?
Ringraziandoti anticipatamente,
Un cordiale saluto
Finocchiaro Alessandro
Ciao Alessandro,
Per risolvere matematicamente questa equazione con gli “strumenti tradizionali” si potrebbe ricondurla ad un’equazione di terzo grado.
Imponendo infatti (1+i)^(-3/12)=t
Otteniamo la seguente equazione.
96.800= 27.461,83 t^2+ 72.608,93t^3
Dal momento che questa formula non la conosce nessuno ti rimando ad altri due metodo.
Il primo metodo è quello dell’ interpolazione lineare.
Questo metodo consiste nel provare a sostituire del tassi all’interno dell’equazione fino a quando ne trovi due molto vicini tra di loro di modo che uno ti faccia ottenere un risultato più piccolo del vero risultato è l’altro più grande.
Di solito su base annua devono avere una differenza del 0,5%.
Trovati i due tassi procedi con il metodo dellinterpolazione
Dove:
i*= i1 + (i2-i1)*(f(i*)-f(i1))/(f(i2)-f(i1))
Dove i1 e i2 sono i due tassi
f(i1) e f(i2) sono i valori della funzione con i due tassi
f(i*) è il valore effettivo della funzione
Che potrebbe essere nel tuo caso 96.800 se consideri l’espressione a destra dell’ uguale la tua equazione.
i* ovviamente è il TIR.
Il secondo metodo è quello delle tangenti di Newton che consiste in un algoritmo che se continuato a ripetere più volte ti darà un valore sempre più preciso ddl tasso.
Di solito servono 4 procedure.
Esiste sempre un altro metodo (penso ancora di Newton) che sfrutta derivate di livello sempre più alto.
Andrea, grazie per la tua risposta, molto chiara, però vorrei chiederti se a limite si potrebbero usare le tavole finanziare andando per tentativi così da avere la soluzione.
Grazie
Alessandro
Per quanto riguarda le tavole statistiche so che si possono usare quando la rata è costante e periodica di n rate.
Si riferiscono di solito ad a figurati n al tasso i.
Nel tuo caso le rate non sono costanti e neanche equintervsllate e questo rappresenta un grosso problema per l’uso delle tavole
Grazie
a Te 😉
Dato il flusso {-4000, R, 1874,6} secondo lo scadenzario {0; 1; 2}, il valore di R affinché il
progetto abbia TIR=3% è
La risposta è 2.300
Ma come la calcolo?
Grazie esimio Prof.Andrea
Ciao Fabio grazie per la tua domanda.
Per svolgere questo esercizio dobbiamo ricordarci che cosa è il TIR, ovvero il tasso interno di rendimento.
Tale tasso è quello che rende il valore attuale dei flussi pari a zero.
Ipotizzando di trovarci nel regime composto, come succede nella maggior parte di questo casi impostiamo la seguente equazione:
-4.000 + R*1,03^(-1) + 1.874,6*1,03^(-2) = 0
Isolando la R a sinistra possiamo scrivere:
R*1,03^(-1) = 4.000 – 1.874,6*1,03^(-2)
A questo punto dividiamo entrambi i termi dell’equazione (di primo grado) per 1,03^(-1)
Otteniamo in questo modo il valore di R
R = (4.000 – 1.874,6*1,03^(-2)) / 1,03^(-1) = 2.312,76
Ecco fatto 😉
Le due successioni di flussi di cassa (-10, 0, 12) ((0, 1, 2) e (-10, x, x) ((0, 1, 2) (dove il tempo è espresso in anni) hanno lo stesso TIR. Calcolare il valore x.
Partiamo dal fatto che le due operazioni finanziarie abbiamo lo stesso TIR.
Pertanto andiamo a calcolare il TIR della prima operazione finanziaria impostando la seguente equazione:
-10 + 12v^2 = 0
Dove v rappresenta il fattore attualizzante dietro cui si cela il Tir
v = (1+TIR)^(-1)
Dunque risolvendo avremo che:
v = (10/12)^(1/2) = 0,91287093
Dai cui abbiamo che:
TIR = v^(-1) -1 = 0,91287093^(-1) -1 = 0,095445
A questo punto entriamo nella seconda operazione finanziaria imponendo il TIR (o anche il fattore attualizzante) della prima rendita.
L’equazione che impostiamo per la seconda rendita è la seguente:
-10 + 0,91287093x +0,91287093^2x = 0
Da cui abbiamo che:
x = 10/(0,91287093 +0,91287093^2) = 5,7267
Andrea perchè è stato messo 0.91287093 e non 0.09445
ciao francesco dove hai visto quel numero
ciao andrea devo calcolare il TIR della seguente operazione finanziaria: x/t=-100,50,50,20,25/0,1,2,3,4
Ciao Gio
Allora qui devi impostare un’equazione di quarto grado del tipo:
-100+50v+50v^2+20v^3+25v^4 = 0
con v = (1+i)^-1
Devi cercare quel valore di v che annulla questo polinomi.
Se non lo trovi esattamente devi cercare due valori molto vicini tra di loro
Uno positivo e uno negativo
e applicare il procedimento dell’interpolazione lineare.
Applicandolo troverai un tasso di circa il 2,08%
“Si consideri un mercato obbligazionario ideale in cui al tempo t = 0 siano quotati i seguenti titoli:
– un titolo a cedola nulla x, con scadenza un anno, valore di rimborso C = 100 e quotato Px = 98.9;
– un titolo a cedola fissa annuale y, con scadenza 2 anni, tasso nominale T Ny = 4%, valore di rimborso
C = 100 e con un rendimento a scadenza (yield to maturity) del 2.8% (annuale);
– un titolo a cedola fissa annuale z, con scadenza 3 anni, tasso nominale T Nz = 5%, valore di rimborso
C = 100 e con un rendimento a scadenza (yield to maturity) del 4.1% (annuale).
• Si determinino, limitatamente alle scadenze 1, 2, 3 anni, la struttura dei prezzi a pronti e la struttura
dei tassi a pronti e si spieghi il motivo della non perfetta coincidenza dei valori della struttura dei tassi
a pronti con i valori dei rendimenti a scadenza.”
L’esercizio l’ho svolto, ma potresti dirmi esattamente il perchè della non perfetta coincidenza dei valori della struttura dei tassi a pronti con i valori dei rendimenti a scandenza? I risultati sono:
YTM (y) = 2.8% – i(0.2) = 2.82%
YTM (z) = 4.1% – i(0.3) = 4.20%
Grazie in anticipo.
Ciao Marco
Questo avviene perché il prezzo è diverso dal valore nominale
Quando questi due coincidono significa che il tasso cedolare è uguale al tasso di rendimento del titolo
Quindi nel caso adotti il metodo del TIR quello coincide anche col tasso di struttura
Non ho capito però il perchè avviene questo, cioè il fatto che il prezzo non coincida con il valore nominale, perchè fà in modo che il rendimento a scadenza del titolo non sia uguale alla struttura dei tassi a pronti?
E’ proprio quello il vero problema Marco.
Per determinare una struttura dei tassi si prendono a riferimento titoli obbligazionari con scadenza diversa.
Si impostano delle equazioni per ricavare i tassi della struttura.
I metodi utilizzati sono due il BOOTSTRAP e il TIR.
Se si adotta il TIR la scadenza di quel titolo è associata direttamente al tasso della struttura.
Per esempio il TIR del titolo a tre anni diventa il tasso a tre anni della struttura.
Con il BOOTSTRAP invece funziona come indicato nell’articolo https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/costruire-la-curva-dei-tassi/
Quando la STRUTTURA è stata creata, si utilizza poi la struttura creata per prezzare ALTRI titoli.
In generale il prezzo di un’obbligazione non coincide con il valore nominale (100 ad esempio)
Questo perché Tu stai simbolicamente acquistando 100 euro di valore nominale, che è quello che ti verrà certamente rimborsato a scadenza (con eventuali cedole calcolate ad un tasso predefinito se il tasso è fisso).
Ma il problema è:
Quanto li paghi oggi quei 100 euro?
E’ possibile che nel mercato che è stato creato, i tassi di struttura possono essere maggiori o minori del tasso cedolare dell’obbligazione.
Questi tassi (determinati con i due metodi TIR e BOOTSTRAP) cambiano con l’andamento del mercato in base a tante condizioni.
Qui analizzo alcune cause https://andreailmatematico.it/finanza/titoli-portafogli-mercato-capm/rischio-e-rendimento-di-un-titolo-azioni-e-obbligazioni/
Quando utilizziamo questi tassi di struttura per ottenere il prezzo (di altri titoli) generalmente non danno esattamente 100 di prezzo attualizzando i flussi di cassa.
Considera che il TIR di quell’obbligazione è intermedio tra il tasso più alto e più basso della struttura in cui ci si trova.
il prezzo pari a 100 avviene proprio nel momento in cui il TIR dell’obbligazione coincide col tasso cedolare.
Ma questo è difficile che avvenga esattamente nella realtà (economica).
In termini astrologici questo si verifica “quando si allineano i pianeti” e si crea un’ellisse (solare o lunare o quello che vuoi tu).
E’ una condizione “anormale”.
Dunque quando osservi il prezzo delle obbligazioni questo può essere più basso o più alto rispetto al valore nominati.
Nei titoli a rimborso unico (senza cedola, detti anche Zero Coupon Bond ZCB) https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/prezzo-obbligazioni-curva-tassi/obbligazioni-zero-coupon-bond-prezzo-e-tasso-di-rendimento/è quasi certamente più basso, mentre in quelli cedolari potrebbe essere un po’ più alto.
Nei titoli cedolari (con cedola fissa) https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/prezzo-obbligazioni-curva-tassi/obbligazione-cedolare-prezzo-e-tir-tres/la regola generale è questa:
se il TIR dell’obbligazione è maggiore del tasso cedolare il prezzo è sotto la pari (minore di 100)
Mentre se il TIR è minore del tasso cedolare allora succede che il prezzo è sopra la pari (maggiore di 100)
PS: tieni anche conto che uso il 100 come valore nominale per convenzione.
Se ti viene dato un problema dove il valore nominale è 150 oppure 250 o 1.000 devi ragionare in merito a quella cifra
L’impresa ABC sta valutando al tempo t = 0 un’operazione di investimento che ci si attende possa generare
il flusso di cassa x = {x, 3x, 2x} definito sullo scadenzario t = {1, 2, 3} (gli importi sono espressi in milioni
di euro e il tempo `e misurato in anni) a fronte di un investimento iniziale I0 = 75 milioni di euro. Si assuma
che, sulla base di una valutazione della rischiosità dell’investimento, ABC utilizzi un tasso di attualizzazione
del 14%.
• Si stabilisca per quali valori di x l’investimento abbia Tasso Interno di Rendimento (TIR) positivo
Ciao Luca
Se il rendimento atteso dell’Azionista è il 24% procediamo ponendo il valore attuale dei flussi pari all’investimento a quel tasso
1,14^(-1)x + 3*1,14^(-2)x + 2*1,14^(-3)x=75.000.000
Quindi
X=75.000.000 /[1,14^(-1)+ 3*1,14^(-2) + 2*1,14^(-3)]=16.536.073
Per avere un TIR positivi basta semplicemente che la somma dei flussi di ritorno sia maggiore strettamente dell’investimento
Qui basta impostare:
x+3x+2x>75.000.000
6x>75.000.000
x>12,5 mln
Se vai a questo eserciziario ci sono tanti esercizi su rendite, investimento TIR tutti belli suddivisi
https://andreailmatematico.it/corso/esercizi-di-matematica-finanziaria/
Ciao Andrea e grazie per i tuoi video, sono utilissimi. Volevo chiederti una mano per questo esercizio, non esce come dovrebbe.
Sia un TCF di v.nominale=100€, vita a scadenza m=2anni, cedola annuale dell’8% e prezzo P=98€. Calcolarne il T.I.R. e il valore attuale secondo la legge esponenziale individuata dal TIR; determinare inoltre la quantità dP di cui bisogna decrementare il prezzo affinché il T.I.R. risulti uguale al 10%.
Potresti darmi delucidazioni in merito? Scusa il disturbo e grazie
Ciao Pasquale,
Cominciamo con il dire che i flussi di cassa relativi alla tua operazione finanziaria sono i seguenti:
(-98, 8, 108) ai tempi (0, 1, 2)
Per prima cosa bobbiamo imporre l’equità dell’operazione finanziaria per calcolare il TIR
chiamiamo v il fattore di attualizzazione unitario
v = (1+TIR)^(-1)
Dunque impostiamo l’equazione di secondo grado:
108 v^2 +8v -98 = 0
Risolviamo l’equazione attraverso la formula risolutiva di secondo grado e accettiamo solamente la soluzione positiva
(per evitare che il TIR risulti negativo)
v = (-8 + radq(8^2 + 4*108*98)/(2*108) = 0,916262
A questo punto calcoliamo il TIR dal fattore attualizzante:
TIR = v^(-1) -1 = 0,916262^(-1) -1 = 0,09139
Dunque il TIR che abbiamo calcolato è il 9,139%
Ora dobbiamo rispondere alla seconda domanda.
Di quanto deve variare il prezzo affinché il TIR sia il 10%.
In questo caso andiamo semplicemente a calcolare il prezzo attualizzando con il 10% i flussi di cassa dell’obbligazione:
P’ = 8*1,1^(-1) +108*1,1^(-2) = 96,529
Dunque il il dfferenziale di prezzo dP è pari a:
dP = P’ – P = 96,529 – 98 = -1,471
In definitiva il prezzo deve calare di 1,471