DEFINIZIONE SINTETICA DI DETERMINANTE
La vera definizione di determinante di una matrice è molto tecnica e complessa.
Spero di dedicare presto un articolo a tutti quelli di voi assetati di conoscenze matematiche vogliano andare al fondo della questione
Accontentiamoci per ora di una definizione più basilare ma comunque efficace.
Il determinante di una matrice quadrata è un numero associato alla matrice che ci da un’informazione circa la dipendenza o l’indipendenza dei vettori che formano la matrice.
Tale numero è inoltre collegato all’invertibilità della matrice e nell’ambito della teoria dei sistemi lineari è collegato alla soluzione del sistema stesso.
È molto importante capire che il determinante può essere calcolato solo per matrici quadrate.
CALCOLO DEL DETERMINANTE
Ora vediamo come calcolare il rango di una matrice.
Vedremo all’inizio i casi semplici con matrici 1×1, 2×2 e 3×3.
Poi arriveremo al calcolo generalizzato di matrici nxn con il metodo di Laplace.
DETERMINANTE DI MATRICI 1X1
Una matrice può essere vista come la generalizzazione di un numero.
La matrice più semplice è quindi una matrice 1×1 che corrisponde al numero stesso.
Quando ci troviamo di fronte ad una matrice 1×1 il determinante della matrice è il numero stesso.
Se consideriamo il caso del numero 3 che può essere visto come la matrice:
Il determinante di A è 3.
Le due stecche verticali prima del 3 (|…|)sono il simbolo di determinante, che non va confuso con il simbolo utilizzato per il valore assoluto.
DETERMINANTE DI MATRICI 2X2
La teoria vera e propria delle matrici quadrate e dei determinanti comincia dalle matrici 2×2.
La regola per il calcolo dei determinanti è molto semplice.
Il determinante della matrice 2×2 si ottiene sottraendo dal prodotto degli elementi della diagonale principale il prodotto degli elementi della diagonale secondaria.
La diagonale principale è quella che va dall’alto a sinistra al basso a destra.
Mentre la diagonale secondaria è quella che va dal basso a sinistra all’alto a destra.
Se consideriamo la seguente matrice:
Il determinante di A è:
DETERMINANTE DI MATRICI 3×3 – LA REGOLA DI SARRUS
Quando la matrice è 3×3 possiamo ancora usare un metodo simile a quello visto per le 2×2.
Questo metodi si chiama il metodo di Sarrus.
Quando calcoliamo i determinanti di matrici 3×3 riportiamo accanto alle prime tre colonne le prime due.
A questo punto si forma 3 diagonali principali e tre diagonali secondarie.
Il determinante è la sommatoria dei prodotti degli elementi delle diagonali principali meno la sommatoria dei prodotti degli elementi delle diagonali secondarie.
La regola è più facile a farsi che a dirsi.
Prendiamo in esame la seguente matrice 3×3:
Dobbiamo calcolare il determinante di questa matrice:
A questo punto riportiamo accanto alla matrice le prime due colonne
Ora si possono chiaramente distingue tre diagonali principali e tre diagonali secondarie
La somma dei prodotti degli elementi sulle diagonali principali è:
Come vedete ho usato la D maiuscola per indicare le diagonali principali.
Mentre la somma dei prodotti degli elementi sulla diagonale secondaria è:
Se facciamo la sottrazione tra la prima e la seconda sommatoria otteniamo il determinate della matrice:
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METODO GENERALE PER I DETERMINANTI
Per quanti sforza possiamo fare non riusciremo ad ampliare ulteriormente questo metodo.
Se ad esempio consideriamo questa matrice 4×4
potrebbe venirci in mente di affiancare a questa matrice le prime tre colonne
Se proviamo ad applicare la stessa procedura di prima:
Per le diagonali principali otteniamo:
Mentre per le diagonali minori:
L’ipotetico determinante sarebbe dunque:
Vi garantisco che per quanti tentativi vogliate fare inserendo righe o anche colonne non riuscirete a calcolare il determinante corretto!
Come fare dunque?
I più furbi di voi potrebbero optare per l’utilizzo di Excel, dove basta semplicemente usare la formula:
Il determinante di questa matrice vale 8.
Per calcolare determinanti di matrice quadrate di qualsiasi ordine ci serve una teoria più ampia ed efficace.
Possiamo trovare questa teoria del metodo di Laplace.
Leggi l’articolo dedicato.
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