La matrice inversa di una matrice quadrata è una matrice che moltiplicata alla matrice quadrata di partenza ci da come risultato una matrice identica.
Nella matrice quadrata la matrice inversa a destra è uguale alla matrice inversa sinistra.
DAI NUMERI ALLE MATRICI
Per comprendere meglio il concetto di matrice inversa facciamo un piccolo salto indietro con i numeri.
Consideriamo una quantità reale a.
L’elemento neutro dei numeri reali nella moltiplicazione è 1.
Infatti moltiplicando un numero rele per 1 otteniamo ancora lo stesso numero.
L’elemento inverso di a nell’operazione della moltiplicazione è quel numero che moltiplicato per a ci restituisce l’elemento neutro della moltiplicazione, ovvero 1.
Noi sappiamo che basta dividere un numero per se stesso per ottenere 1.
Sappiamo anche che dividere per un numero è come moltiplicare per quel numero elevato alla -1.
Da ciò possiamo ricavare che:
Con le matrici succede più o meno la stessa cosa.
Noi sappiamo che l’elemento neutro delle matrici nell’operazione della moltiplicazione si chiamo matrice identica I, che è una matrice diagonale con tutti 1 sulla diagonale principale.
Infatti quando è ammissibile il prodotto:
Allora definiamo elemento inverso nell’operazione di moltiplicazione delle matrici la matrice A-1 che moltiplicata per la matrice A restituisce la matrice identica.
In generale l’inversa a destra è diversa dall’inversa sinistra per le matrici rettangolari del tipo mxn.
Quando la matrice A è quadrata si può dimostrare che l’inversa a destra coincide con l’inversa a sinistra.
Per calcolare la matrice inversa di una matrice quadrata esistono due modi:
- Risolvere un sistema lineare
- Metodo del determinante e dei complementi algebrici.
In questo articolo vediamo il primo metodo che è quello tradizionale.
IL METODO DEL SISTEMA LINEARE PER LA MATRICE INVERSA.
Consideriamo la seguente matrice quadrata del tipo 3×3:
Cominciamo con il calcolare la matrice inversa destra, che sarà tale che:
Se vogliamo che sia ammissibile il prodotto di matrici questa deve avere 3 colonne.
Inoltre se vogliamo che il risultato dia un’identica (di ordine 3) dovrà avere 3 righe.
La matrice inversa sarà dunque del tipo 3×3, quindi avrà una forma generica:
Impostando la generica equazione:
Scriviamo:
PRIMA COLONNA
Se vogliamo calcolare gli elementi della prima colonna della matrice inversamoltiplichiamo le tre righe della matrice A e le moltiplichiamo per la prima colonna dell’inversa.
In questo modo otteniamo la prima colonna della matrice identica.
Partiamo con il moltiplicare la prima riga di A per la prima colonna dell’inversa per ottenere l’elemento 1 presente sulla prima riga e prima colonna dell’identica.
Otteniamo l’equazione:
Ora facciamo la stessa operazione con la seconda riga di A e la prima colonna di A-1.
L’equazione risultante è:
Procedendo in modo analogo con la terza riga di A e la prima colonna di A-1:
Otteniamo la terza equazione del nostro mini-sistema:
A questo punto scriviamo a sistema le nostre 3 equazioni in nelle 3 incognite a, b e c.
Al posto della terza equazione possiamo scrivere la differenza tra la seconda e la terza equazione e otteniamo immediatamente che il valore di b è pari a 0.
Ora sostituiamo questo valore nella prima equazione e nella seconda equazione ricaviamo il valore di c in funzione della a.
A questo punto inseriamo nella prima equazione il valore di c espresso in funzione di a.
Dalla quale possiamo facilmente ricavare il valore di a:
Quindi il valore di è:
Ecco che abbiamo tutta la prima colonna della matrice inversa:
SECONDA E TERZA COLONNA
Adesso ripetiamo lo stesso giochetto per determinare gli elementi della seconda colonna della matrice inversa.
Moltiplichiamo le tre righe di A per la seconda colonna di A-1 al fine di ottenere la seconda colonna della matrice identica.
Il sistema che otteniamo è:
Dalla seconda equazione ricaviamo il valore di d in funzione della f:
Sostituiamo questo valore nella terza equazione:
Da cui ricaviamo il valore della e:
Andiamo a sostituire questi risultati nella prima equazione:
Cerchiamo di ricavare il valore della f:
Ora non ci rimane che sostituire questo valore nella seconda equazione per ricavare il valore di d:
Ecco che abbiamo ottenuto gli elementi della seconda colonna di A-1.
A questo punto non ci restano che i tre elementi sulla terza colonna.
Dalla seconda equazione ricaviamo il valore della g in funzione della i:
Sostituiamo questo valore nella terza equazione:
Ora sostituiamo tutto nella :
Dalla seconda equazione emerge dunque il valore di g:
Ecco che dunque abbiamo ricavato gli elementi della terza colonna:
Ed ecco che abbiamo la nostra matrice inversa:
PER APPROFONDIRE
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Per verificare che tutti gli elementi siamo corretti dovremmo verificare se:
Vi lascerò questo compito come esercizio.
MATRICE INVERSA A SINISTRA
Ora che abbiamo calcolato la matrice inversa destra siamo veramente sicuri che sia uguale alla matrice inversa sinistra?
Tecnicamente no!
Anche se vi garantisco che nel caso di matrici quadrate esiste un teorema che dimostra che se la matrice inversa esiste allora è unica.
Supponiamo di non conoscere questo teorema.
Allora dovremmo reimpostare tutto da capo, impostando un’equazione del tipo:
Vi consiglio quando calcolate l’inversa a sinistra, per comodità, di mettere le incognite sulle righe, anziché sulle colonne.
Questo preserverà i tre sistemi con incognite (a,b,c) (d,e,f) (g,h,i).
Ma se questo non vi crea problemi fate come credete.
Impostando le equazioni arriviamo a tre sistemi lineari che ovviamente possono essere incorporati in un unico grande sistema:
Se provate a svolgere i calcoli dovreste ottenere ancora la matrice:
Sicuramente un modo più “leggero” per verificare se questa matrice è anche inversa sinistra consiste proprio nel verificare il prodotto:
Sostituendo i valori:
Proviamo a verificare tre elementi a random e vediamo se è riSpettato il prodotto:
Moltiplichiamo ad esempio la prima riga dell’inversa con la prima colonna di A.
Oppure prendiamo la seconda riga dell’inversa per la terza colonna di A e vediamo se fa zero.
Proviamo ancora a verificare se moltiplicando la terza riga di A-1 per la seconda colonna di A otteniamo ancora zero:
Abbiamo confermato che questi tre elementi sono corretti.
Ovviamente dovremmo farlo per tutti e nove, ma per il momento ci accontentiamo.
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