Possiamo calcolare una matrice inversa si può utilizzare il metodo dei complementi algebrici che sfrutta i determinati dei minori della matrice.
MODI PER CALCOLARE UNA MATRICE INVERSA
Facciamo un piccolo passo indietro.
Per calcolare una matrice inversa possiamo utilizzare diversi metodi tra i quali ne cito tre.
Il primo consiste nel risolvere un sistema lineare.
Mentre il secondo sfrutta il determinante e i complementi algebrici.
Il terzo è il metodo Gauss o della matrice identica.
In questo articolo parliamo del secondo metodo.
METODO DEL DETERMINANTE E DEI COMPLEMENTI ALGEBRICI
È molto importante premette che l’unica matrice che ammette inversa sinistra e inversa destra che sono eguali tra di loro è la matrice quadrata.
Per calcolare la matrice inversa di una matrice quadrata dobbiamo seguire questa semplice procedura.
Per prima cosa dobbiamo verificare che la matrice sia effettivamente invertibile.
Questo si verifica quando il determinante della matrice A è diverso da zero.
Il passo successivo è quello di calcolare la matrice dei complementi algebrici che chiameremo A*.
Arrivati a questo punto calcoliamo la trasposta di questa matrice che prende il nome di matrice aggiunta, che indicheremo con A+.
L’ultimo step calcoliamo la matrice inversa dividendo la matrice aggiunta per il determinante di A.
ESEMPIO DI CALCOLO DI UNA MATRICE INVERSA
Procediamo con ordine
Il modo migliore per vedere come funziona nella pratica questa teoria facendo un esempio.
Consideriamo la matrice A 3×3:
VERIFICHIAMO L’INVERTIBILITA’: CALCOLO DEL DETERMINANTE
Verifichiamo subito se si tratta di una matrice invertibile calcolando il suo determinante.
Usiamo quindi la regola di Laplace focalizzando l’attenzione sulla seconda riga e riportando i segni delle posizioni degli elementi algebrici.
La regola di Laplace ci dice che, scelta una riga i-esima, il determinanate della matrice quadrata è pari a:
Il determinante della matrice è effettivamente diverso da zero, dunque la matrice è invertibile!
MATRICE DEI COMPLEMENTI ALGEBRICI
Una volta verificata l’invertibilità della matrice troviamo la matrice dei complementi algebrici A*:
Per calcolare il complemento algebrico Aij associato all’elemento algebrico aij usiamo la seguente regola:
Chiaramente dobbiamo sapere almeno come si calcola un determinante di una 2×2, o se vogliamo essere più pignoli di una 1×1.
Ritorniamo alla nostra matrice A di partenza, inclusa dei segni per semplificare il lavoro:
Cominciamo dalla prima riga di A.
Consideriamo l’elemento della prima riga e della prima colonna a11=2.
Il complemento algebrico A11 sarà:
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Proseguiamo con il complemento algebrico A12 sarà:
Passiamo ora all’ultimo complemento algebrico della prima riga A13:
Se abbiamo fatto bene i nostri conti abbiamo la prima riga di A*:
Passiamo ora alla seconda riga di A che riportiamo qui sotto:
Il complemento algebrico A21 sarà:
Proseguiamo con il complemento algebrico A22 sarà:
Passiamo ora all’ultimo complemento algebrico della prima riga A23:
Se abbiamo fatto bene i nostri conti abbiamo anche la seconda riga di A*:
Ora passiamo alla terza riga dei complementi di A che riportiamo ancora:
Il complemento algebrico A31 sarà:
Proseguiamo con il complemento algebrico A32 sarà:
Passiamo ora all’ultimo complemento algebrico della prima riga A33:
Ed ecco compilata anche la terza riga della matrice dei complementi algebrici A*
MATRICE AGGIUNTA
Ora che abbiamo calcolato la matrice dei complementi algebrici A* andiamo a trasporla per ricavare la matrice aggiunta:
La matrice dei complementi algebrici è:
Se scambiamo le righe con le colonne (operazione di trasposizione) otteniamo la matrice aggiunta A+.
MATRICE INVERSA
Arrivati a questo punto non ci resta che calcolare la matrice inversa dividendo la matrice trasposta per il determinante di A.
Ricordiamo che il determinante di A è pari a 8, calcolato sopra.
La matrice inversa risulta essere:
Dunque la matrice inversa è:
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