Possiamo calcolare una matrice inversa si può utilizzare il metodo dei complementi algebrici che sfrutta i determinati dei minori della matrice.
INDICE
MODI PER CALCOLARE UNA MATRICE INVERSA
Facciamo un piccolo passo indietro.
Per calcolare una matrice inversa possiamo utilizzare diversi metodi tra i quali ne cito tre.
Il primo consiste nel risolvere un sistema lineare.
Mentre il secondo sfrutta il determinante e i complementi algebrici.
Il terzo è il metodo Gauss o della matrice identica.
In questo articolo parliamo del secondo metodo.
METODO DEL DETERMINANTE E DEI COMPLEMENTI ALGEBRICI
È molto importante premette che l’unica matrice che ammette inversa sinistra e inversa destra che sono eguali tra di loro è la matrice quadrata.
Per calcolare la matrice inversa di una matrice quadrata dobbiamo seguire questa semplice procedura.
Per prima cosa dobbiamo verificare che la matrice sia effettivamente invertibile.
Questo si verifica quando il determinante della matrice A è diverso da zero.
$$ A: \ \det A \ne 0 \ \to A \ \text{ è invertibile} $$
Il passo successivo è quello di calcolare la matrice dei complementi algebrici che chiameremo Aⅽ.
$$ A \to \color{red}{A_C} $$
Arrivati a questo punto calcoliamo la trasposta di questa matrice che prende il nome di matrice aggiunta, che indicheremo con A+.
$$ A \to \ A_C \to \color{red}{A^+ = A_C^T} $$
L’ultimo step calcoliamo la matrice inversa A⁻¹ dividendo la matrice aggiunta per il determinante di A.
$$ A \to \ A_C \to {A^+ = A_C^T} \to \color{red}{A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^+}$$
IMPARA L’ALGEBRA LINEARE
Comincia il tuo percorso in matematica partendo da zero.
Recupera le basi per accedere ai livelli superiori di conoscenza
ESEMPIO DI CALCOLO DI UNA MATRICE INVERSA
Procediamo con ordine
Il modo migliore per vedere come funziona nella pratica questa teoria facendo un esempio.
Consideriamo la matrice A 3×3:
$$A= \begin{pmatrix} 2& 1& -3 \\ 1& 0& -2 \\ 1& -1& 1 \end{pmatrix} $$
VERIFICHIAMO L’INVERTIBILITA’: CALCOLO DEL DETERMINANTE
Verifichiamo subito se si tratta di una matrice invertibile verificando che il suo determinante sia diverso da zero.
$$ A: \ \det A \ne 0 \ \to A \ \text{ è invertibile} $$
Usiamo quindi la regola di Laplace focalizzando l’attenzione sulla seconda riga e riportando i segni delle posizioni degli elementi algebrici.
$$ A= \begin{pmatrix} 2& 1& -3 \\ \overset{\color{blue}{-}}{1}& \overset{\color{red}{+}}{0}& \overset{\color{blue}{-}}{2} \\ 1& -1& 1 \end{pmatrix} $$
La regola di Laplace ci dice che, scelta una riga i-esima, il determinanate della matrice quadrata è pari a:
$$ \det A = \sum_{i=1}^n \text{segno (posizione ($a_{ij}$))} \cdot a_{ij} \cdot \det A^*_{ij} $$
Nel caso specifico abbiamo che:
$$ \det A = \color{blue}{-}1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1& -3 \\ -1 & 1 \end{array} \right| \color{red}{+} 0 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2& -3 \\ 1 & 1 \end{array} \right| \color{blue}{-}2 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2& 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right| $$
$$ \det A = – (1-3) +0-2 \cdot (-2-1) = 2+6 = 8 $$
Il determinante della matrice è effettivamente diverso da zero, dunque la matrice è invertibile!
MATRICE DEI COMPLEMENTI ALGEBRICI
Una volta verificata l’invertibilità della matrice troviamo la matrice dei complementi algebrici Aⅽ:
$$ A \to \color{red}{A_C} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} &A_{13} \\ A_{21} & A_{22} &A_{23} \\ A_{31} & A_{32} &A_{33} \end{pmatrix} $$
Per calcolare il complemento algebrico Aij associato all’elemento algebrico aij usiamo la seguente regola:
$$ A_{ij} = \text{segno (posizione ($a_{ij}$))} \cdot \det A^*_{ij} $$
Chiaramente dobbiamo sapere almeno come si calcola un determinante di una 2×2, o se vogliamo essere più pignoli di una 1×1.
Ritorniamo alla nostra matrice A di partenza, inclusa dei segni per semplificare il lavoro:
$$A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{2}& \overset{\color{blue}{-}}{1}& \overset{\color{red}{+}}{-3} \\ \overset{\color{blue}{-}}{1}& \overset{\color{red}{+}}{0}& \overset{\color{blue}{-}}{2} \\ \overset{\color{red}{+}}{1}& \overset{\color{blue}{-}}{-1}& \overset{\color{red}{+}}{1} \end{pmatrix} $$
PRIMA RIGA
Cominciamo dalla prima riga di A.
$$A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{2}}& \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{1}}& \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{-3}} \\ \overset{\color{blue}{-}}{1}& \overset{\color{red}{+}}{0}& \overset{\color{blue}{-}}{2} \\ \overset{\color{red}{+}}{1}& \overset{\color{blue}{-}}{-1}& \overset{\color{red}{+}}{1} \end{pmatrix} $$
Consideriamo l’elemento della prima riga e della prima colonna a11=2.
Il complemento algebrico A11 sarà:
$$ A_{11} = \text{segno (posizione ($a_{11}$))} \cdot \det A^*_{11} $$
$$ A_{11} = \color{red}{+} \left| \begin{array}{cc} 0&2 \\ -1&1 \end{array} \right| = +(0 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) = +(0+2) = 2 $$
Seguiamo lo stesso ragionamento per il complemento algebrico A12:
$$ A_{12} = \text{segno (posizione ($a_{12}$))} \cdot \det A^*_{12} $$
$$ A_{11} = \color{blue}{-} \left| \begin{array}{cc} 1&2 \\ 1&1 \end{array} \right| = -(1 \cdot 1 – 1 \cdot 2) = -(1-2) = 1 $$
Passiamo ora all’ultimo complemento algebrico della prima riga A13:
$$ A_{13} = \text{segno (posizione ($a_{13}$))} \cdot \det A^*_{13} $$
$$ A_{13} = \color{red}{+} \left| \begin{array}{cc} 1& 0 \\ 1& -1 \end{array} \right| = +(1 \cdot (-1) – 1 \cdot 0) = +(-1-0) = -1 $$
In questo modo abbiamo ottenuto la prima riga di Aⅽ:
$$ {A_C} = \begin{pmatrix} \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{-1} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} &A_{33} \end{pmatrix} $$
SECONDA RIGA
Passiamo ora alla seconda riga di A che riportiamo qui sotto:
$$A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{2}& \overset{\color{blue}{-}}{1}& \overset{\color{red}{+}}{-3} \\ \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{1}}& \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{0}}& \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{2}} \\ \overset{\color{red}{+}}{1}& \overset{\color{blue}{-}}{-1}& \overset{\color{red}{+}}{1} \end{pmatrix} $$
Il complemento algebrico A21 sarà:
$$ A_{21} = \text{segno (posizione ($a_{21}$))} \cdot \det A^*_{21} $$
$$ A_{21} = \color{blue}{-} \left| \begin{array}{cc} 1& -3 \\ -1& 1 \end{array} \right| = -(1 \cdot 1 – (-1) \cdot (-3)) = -(1-3) = 2 $$
Proseguiamo con il complemento algebrico A22 sarà:
$$ A_{22} = \text{segno (posizione ($a_{22}$))} \cdot \det A^*_{22} $$
$$ A_{22} = \color{red}{+} \left| \begin{array}{cc} 2& -3 \\ 1& 1 \end{array} \right| = +(2 \cdot 1 – 1 \cdot (-3)) = +(2+3) = 5 $$
Passiamo ora all’ultimo complemento algebrico della prima riga A23:
$$ A_{23} = \text{segno (posizione ($a_{23}$))} \cdot \det A^*_{23} $$
$$ A_{23} = \color{blue}{-} \left| \begin{array}{cc} 2& 1 \\ 1& -1 \end{array} \right| = -(2 \cdot (-1) – 1 \cdot 1) = -(-2-1) = 3 $$
Se abbiamo fatto bene i nostri conti abbiamo anche la seconda riga di Aⅽ
$$ {A_C} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{5} & \color{blue}{3}\\ A_{31} & A_{32} &A_{33} \end{pmatrix} $$
TERZA RIGA
Ora passiamo alla terza riga dei complementi di A che riportiamo ancora:
$$A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{2}& \overset{\color{blue}{-}}{1}& \overset{\color{red}{+}}{-3} \\ \overset{\color{blue}{-}}{1}& \overset{\color{red}{+}}{0}& \overset{\color{blue}{-}}{2} \\ \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{1}}& \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{2}}& \overset{\color{red}{+}}{1} \end{pmatrix} $$
Il complemento algebrico A31 sarà:
$$ A_{31} = \text{segno (posizione ($a_{31}$))} \cdot \det A^*_{31} $$
$$ A_{31} = \color{red}{+} \left| \begin{array}{cc} 1& -3 \\ 0& 2 \end{array} \right| = +(1 \cdot 2 – 0 \cdot (-3)) = +(2+0) = 2 $$
Proseguiamo con il complemento algebrico A32 sarà:
$$ A_{32} = \text{segno (posizione ($a_{32}$))} \cdot \det A^*_{32} $$
$$ A_{32} = \color{blue}{-} \left| \begin{array}{cc} 2& -3 \\ 1& 2 \end{array} \right| = -(2 \cdot 2 – 1 \cdot (-3)) = -(4+3) = -7 $$
Passiamo ora all’ultimo complemento algebrico della prima riga A33:
$$ A_{33} = \text{segno (posizione ($a_{33}$))} \cdot \det A^*_{33} $$
$$ A_{33} = \color{red}{+} \left| \begin{array}{cc} 2& 1 \\ 1& 0 \end{array} \right| = +(2 \cdot 0 – 1 \cdot 1) = +(0-1) = -1 $$
Ed ecco compilata anche la terza riga della matrice dei complementi algebrici Aⅽ
$$ {A_C} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{-7} & \color{blue}{-1} \end{pmatrix} $$
MATRICE AGGIUNTA
Ora che abbiamo calcolato la matrice dei complementi algebrici A* andiamo a trasporla per ricavare la matrice aggiunta:
$$ A \to \ A_C \to \color{red}{A^+ = A_C^T} $$
La matrice dei complementi algebrici è:
$$ {A_C} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 2& -7 & -1 \end{pmatrix} $$
Se scambiamo le righe con le colonne (operazione di trasposizione) otteniamo la matrice aggiunta A+.
A^+ = A_C^T = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 5 & -7 \\ -1& 3 & -1 \end{pmatrix} $$
MATRICE INVERSA
Arrivati a questo punto non ci resta che calcolare la matrice inversa dividendo la matrice trasposta per il determinante di A.
$$ A \to \ A_C \to {A^+ = A_C^T} \to \color{red}{A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^+}$$
Ricordiamo che il determinante di A e la matrice aggiunta valgono rispettivamente:
$$ \det A = 8 \quad A^+ = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 5 & -7 \\ -1& 3 & -1 \end{pmatrix} $$
La matrice inversa risulta essere:
$$ A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 5 & -7 \\ -1& 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & -\frac{7}{8} \\ -\frac{1}{8}& \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \end{pmatrix} $$
Dunque la matrice inversa è:
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se leggendo questo blog ti è venuta in mente qualche domanda scrivila pure nei commentiqui in basso.
Il tuo commento darà un contributo aggiunto a questo progetto e ti permetterà di aiutare altri utenti che hanno avuto gli stessi dubbi.
IMPARA L’ALGEBRA LINEARE
Comincia un fantastico viaggio alla scoperta di questa affascinante materia partendo da zero.
Scopri tutti i corsi di matematica
L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?
Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale
Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica