- cosa è un monomio
- le operazioni con i monomi
- la definizione di polinomio
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- Moltiplicazione
- Prodotti notevoli
- Divisioni polinomiali
- Divisione con Ruffini
- Scomposizioni di polinomi
- Potenza di un polinomio
Per fare la somma o la differenza di polinomi sommiamo tra di loro i termini simili.
È bene prima di leggere questo articolo avere bene in mente:
SOMMA DI POLINOMI
PRIMO ESEMPIO
Prediamo in esame questi due polinomi in x:
$$ P(x) = 3x^2 -x+4 \quad G(x) = 2x^3+4x^2-4x-2 $$
Se vogliamo fare la somma:
$$ P(x)+G(x) = $$
possiamo scrivere:
$$ (3x^2 -x+4)+ (2x^3+4x^2-4x-2) = $$
A questo punto sciogliamo le parentesi.
Siccome davanti alle parentesi c’è il segno più (+) possiamo riscriverli così come sono:
$$ 3x^2 -x+4+ 2x^3+4x^2-4x-2 = $$
Ora andiamo a sommare i termini simili, sommando i loro coefficienti e riportando la parte letterale:
$$ 2x^3 +(3+4)x^2 +(-1-4)x+(4-2) = $$
Il risultato ottenuto è pari a:
$$ 2x^3+7x^2-5x+2 $$
SECONDO ESEMPIO
Prendiamo in esame due polinomi in x,y e z.
$$P_1(x,y,z) = 3x-2y+4z \quad P_2(x) = -x+y-5z $$
Ora facciamo la loro somma:
$$ P_1(x,y,z) + P_2(x,y,z) = (3x-2y+4z)+(-x+y-5z) $$
Sciogliamo le parentesi:
$$ 3x-2y+4z-x+y-5z $$
Ed infine sommiamo i monomi simili:
$$ (3-1)x+(-2+1)y+(4-5)z = 2x-y-z $$
TERZO ESEMPIO:
Prendiamo ora due polinomi nelle lettere a, b e c, inserendo anche delle frazioni nei calcoli:
$$ A(a,b) = \frac{3}{2} a^2 -b^2 + \frac{4}{3} ab-2 \quad B(a,b,c) = \frac{5}{2} a^2 +2b^2 +\frac{3}{5}ab+c-1 $$
Sommiamo ora i due polinomi:
$$ A(a,b) + B(a,b,c) = \\ \left( \frac{3}{2} a^2 -b^2 + \frac{4}{3} ab-2 \right) + \left( a^2 +2b^2 +\frac{3}{5}ab+c-1 \right) = \\ \frac{3}{2} a^2 -b^2 + \frac{4}{3} ab-2 + \frac{5}{2} a^2 +2b^2 +\frac{3}{5}ab+c-1 = $$
A questo punto andiamo alla caccia dei termini simili:
$$ \color{blue}{\frac{3}{2} a^2} \color{green}{ -b^2 } \color{red}{+ \frac{4}{3} ab}-2 \color{blue}{+ \frac{5}{2} a^2} \color{green}{ +2b^2} \color{red}{+\frac{3}{5}ab}+c-1 = $$
Infine li possiamo sommare:
$$ \color{blue}{\left( \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \right)a^2}+ \color{green}{(-1+2)b^2} + \color{red}{ \left( \frac{4}{3} + \frac{3}{5} \right)ab} +c-1$$
Facciamo i soliti denominatori comuni tra le frazioni:
$$ \frac{3+5}{2}a^2 + (-1+2)b^2 + \frac{20+9}{15} ab+c-1 = \\ 4a^2 +b^2+\frac{29}{15}ab+c-1 $$
DIFFERENZA DI POLINOMI
Vediamo ora con gli stessi esempi di prima la differenza di polinomi.
PRIMO ESEMPIO:
Prediamo in esame questi due polinomi in x:
$$ P(x) = 3x^2 -x+4 \quad G(x) = 2x^3+4x^2-4x-2 $$
Se vogliamo fare la differenza:
$$ P(x) \color{red}{-} G(x) $$
possiamo scrivere:
$$ (3x^2 -x+4) \color{red}{-} (2x^3+4x^2-4x-2) $$
A questo punto sciogliamo le parentesi.
Siccome davanti alle parentesi c’è il segno più (-) riscriviamo i termini del secondo polinomio cambiando i segni.
$$ (3x^2 -x+4) \color{red}{-} 2x^3 \color{red}{-} 4x^2 \color{red}{+} 4 \color{red}{+} 2 $$
Ora andiamo a sommare algebricamente i termini simili, sommando i loro coefficienti e riportando la parte letterale:
$$ 2x^3 +(3-4)x^2 +(-1+4)x+(4+2) = $$
Il risultato ottenuto è pari a:
$$ 2x^3 -x^2 +3x+6 = $$
SECONDO ESEMPIO
Prendiamo in esame questo polinomi in x,y e z.
$$P_1(x,y,z) = 3x-2y+4z \quad P_2(x) = -x+y-5z $$
Ora facciamo la loro differenza tra il primo e il secondo polinomio:
$$ P_1(x,y,z) \color{red}{-} P_2(x,y,z) = \\ (3x-2y+4z) \color{red}{-} (-x+y-5z) $$
Sciogliamo le parentesi, facendo sempre attenzione a cambiare i segni del secondo polinomio:
$$ 3x-2y+4z \color{red}{+} x \color{red}{-} y \color{red}{+} 5z = $$
Ed infine sommiamo i monomi simili:
$$ (3+1)x+(-2-1)y+(4+5)z = 4x-3y+9z $$
TERZO ESEMPIO:
Prendiamo ora due polinomi nelle lettere a, b e c, inserendo anche delle frazioni nei calcoli:
$$ A(a,b) = \frac{3}{2} a^2 -b^2 + \frac{4}{3} ab-2 \quad B(a,b,c) = \frac{5}{2} a^2 +2b^2 +\frac{3}{5}ab+c-1 $$
Facciamo la differenza tra i due polinomi:
$$ A(a,b) \color{red}{-} B(a,b,c) = \\ \left( \frac{3}{2} a^2 -b^2 + \frac{4}{3} ab-2 \right) \color{red}{-} \left( \frac{5}{2} a^2 +2b^2 +\frac{3}{5}ab+c-1 \right) = \\ \frac{3}{2} a^2 -b^2 + \frac{4}{3} ab-2 \color{red}{-} \frac{5}{2} a^2 \color{red}{-} 2b^2 \color{red}{-} \frac{3}{5}ab \color{red}{-} c \color{red}{+} 1 = $$
A questo punto andiamo alla caccia dei termini simili:
$$ \color{blue}{\frac{3}{2} a^2} \color{green}{ -b^2 } \color{red}{+ \frac{4}{3} ab}-2 \color{blue}{- \frac{5}{2} a^2} \color{green}{ -2b^2} \color{red}{-\frac{3}{5}ab}-c+1 = $$
Infine li possiamo sommare:
$$ \color{blue}{\left( \frac{3}{2} – \frac{5}{2} \right)a^2}+ \color{green}{(-1-2)b^2} + \color{red}{ \left( \frac{4}{3} – \frac{3}{5} \right)ab} -c+1 = $$
Facciamo i soliti denominatori comuni tra le frazioni:
$$ \frac{3-5}{2}a^2 + (-1-2)b^2 + \frac{20-9}{15} ab-c+1 = \\ a^2 -3b^2+\frac{11}{15}ab+c-1 $$
ALTRE OPERAZIONI CON I POLINOMI
Le operazioni con i polinomi non finiscono qui:
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