Le disequazioni fratte (o frazionaria) sono disequazioni in cui l’incognita x compare nel denominatore di una frazione.
La forma base delle equazioni fratte è del tipo:
In cui abbiamo un’unica frazione algebrica in x sulla sinistra e lo zero a destra.
Possiamo trovare anche le forme:
Per risolverla studiamo i segni del numeratore e del denominatore:
Successivamente imponiamo facciamo la tabella dei segni.
È molto importante che studiamo positivi i segni del numeratore e del denominatore
Questo indipendentemente dal fatto che nella disequazione fratta nella forma base vi sia maggiore oppure minore!
Quando nella disequazione compare anche il segno di uguale
il numeratore va studiato maggiore o uguale a zero:
Mentre il denominatore solamente maggiore poiché per le condizioni di esistenza della frazione non può essere nullo.
La tabella dei segni serve per moltiplicare il segno del numeratore con quello del denominatore (o dei fattori che li compongono).
Una volta che abbiamo il segno finale della frazione selezioniamo quello che ci interessa, ovvero quello indicato dalla disequazione fratta, insieme agli eventuali zeri
DISEQUAZIONI FRATTE NELLA FORMA BASE
Cominciamo a scaldare i motori su questo argomento svolgendo inizialmente esempi di disequazioni frate che si trovano nella forma base.
Applicheremo quindi le regole di scomposizione dei polinomi al fine di scomporre ed eventualmente semplificare le frazioni
ESEMPIO 1 – DISEQUAZIONI FRATTE
Vediamo questo esempio:
Come è facile notare ci troviamo già nella forma base, in quanto abbiamo un’unica frazione a sinistra e lo zero a destra.
I polinomi al numeratore e al denominatore sono di primo grado e sono già fattori primi.
Adesso studiamo il segno del numeratore e del denominatore, risolvendo delle disequazioni di primo grado.
È molto importante che li studiamo imponendo sia il numeratore che il denominatore maggiori di zero.
Cominciamo dal numeratore:
Sulla corrispondente riga della tabella dei segni metteremo i segni positivi a destra di 1/2, mentre i segni negativo andranno a sinistra.
Ora passiamo al denominatore
Sulla corrispondente riga della tabella dei segni metteremo i segni positivi a destra del –1, mentre i segni negativi andranno a sinistra
A questo punto imponiamo possiamo costruire la tabella dei segni in cui mettiamo una linea dei numeri reali sopra la quale andiamo a segnare tutte le soluzioni ricavate.
Sotto questa linea mettiamo in due righe distinte i segni del numeratore e del denominatore
Notiamo la tabella è suddivisa in tre zone dai due numeri –1 e 1/2.
Sull’ultima riga in ogni zona abbiamo messo il prodotto dei segni del numeratore e del denominatore.
Come soluzione finale abbiamo preso la zona positiva poiché la disequazione ci chiedeva che la frazione risultasse maggiore di zero (>0).
ESEMPIO 1 – VARIANTE UNO – MINORE DI ZERO
Vediamo adesso una prima variante del primo esempio e inseriamo come segno della disequazione il minore di zero (<0)
L’analisi che abbiamo fatto è totalmente identica a quanto abbiamo visto sopra.
Sia il numeratore che il denominatore vanno studiati maggiori di zero.
Questo anche se il segno della disequazione è minore di zero.
Anche nella tabella dei segni non cambia assolutamente nulla.
L’unica cosa che cambia è la soluzione finale, dove andiamo a prendere la zona negativa.
ESEMPIO 1 – VARIANTE DUE – MAGGIORE O UGUALE A ZERO
Vediamo adesso una seconda variante del primo esempio e inseriamo come segno della disequazione il maggiore o uguale a zero (>=0)
L’analisi che abbiamo fatto è quasi identica a quanto abbiamo visto sopra.
La cosa che cambia per lo studio del segno è che il numeratore va studiato maggiore o uguale a zero:
Mentre il denominatore solo maggiore di zero
La logica di questo cambiamento è che una frazione vale zero se il numeratore vale zero!
Mentre il denominatore non può valore zero, per le condizioni di esistenza della frazione.
Nella tabella dei segni indichiamo questa uguaglianza a zero del numeratore con un puntino pieno.
Ovviamente questo zero del numeratore farà anche parte della soluzione finale.
ESEMPIO 1 – VARIANTE TRE – MINORE O UGUALE A ZERO
Vediamo adesso una terza variante del primo esempio e inseriamo come segno della disequazione il minore o uguale a zero (<=0)
L’analisi è la stessa che per la variante due, con il numeratore maggiore o uguale a zero e il denominatore solo maggiore
Anche il grafico dei segni è identico alla variante due con il maggiore o uguale a zero
La cosa che differisce è la soluzione finale dove prendiamo la zona minore o uguale a zero.
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Ora che abbiamo visto tutte le possibili varianti e come comportaci in senso generale svolgiamo vari esempi con la massima liberta (e qualche variante)
ESEMPIO 2 – DISEQUAZIONI FRATTE
Vediamo questo esempio:
Come è facile notare ci troviamo già nella forma base, in quanto abbiamo un’unica frazione a sinistra e lo zero a destra.
Tuttavia il polinomio al numeratore è di secondo grado e non risulta scomposto.
Fattorizziamo dunque il numeratore raccogliendo a fattor comune la x;
A questo punto la frazione risulta nella forma base fattorizzata:
I due fattori al numeratore li studiamo maggiori o uguale a zero:
Mentre il fattore al denominatore solo maggiore di zero
Ora impostiamo la tabella dei segni su tre righe:
NOTA BENE !!!
Nella soluzione finale abbiamo preso la zona positiva.
Tuttavia abbiamo scartato la soluzione x=0 anche se rendeva il numeratore uguale a zero.
Questo è dovuto al fatto che x=0 rende anche il denominatore nullo, e dunque non è una soluzione accettabile per le condizioni di esistenza della frazione.
Per rendere ancora più evidente questa cosa ho segnalato con il simbolo della non esistenza (∄) proprio x=0 nell’ultima riga corrispondente al segno del denominatore.
Un altro modo per indicare la soluzione è il seguente:
La soluzione è valida per le x che sono maggiori di –1 eccetto lo zero (con x diverso da zero).
ESEMPIO 2 – PROCEDURA ALTERNATIVA
Per risolvere l’esercizio 2 visto sopra
Dopo aver scritto la frazione algebrica nella sua forma base fattorizzata:
Semplifichiamo ora il fattore comune x al numeratore con il denominatore, ottenendo:
Attenzione che prima di semplificare dobbiamo imporre le condizioni di esistenza sul fattore che eliminiamo al denominatore:
Questo lo dobbiamo fare perché quando eliminiamo questa parte di denominatore il fattore x non è più presente.
Ora possiamo dare la soluzione finale mettendo a sistema la soluzione della disequazione con le condizioni di esistenza:
Dunque la soluzione finale è:
ESEMPIO 3 – DISEQUAZIONI FRATTE
Vediamo questo esempio:
Come è facile notare ci troviamo già nella forma base, in quanto abbiamo un’unica frazione a sinistra e lo zero a destra.
Tuttavia dobbiamo fattorizzare il numeratore e il denominatore:
Per il numeratore usiamo la differenza di quadrati:
Mentre il denominatore lo leggiamo come un quadrato di binomio:
Scriviamo dunque la disequazione con la frazione algebrica scomposta
I due fattori al numeratore li studiamo maggiori o uguale a zero:
Mentre il fattore al denominatore solo maggiore di zero
Ricordiamo infatti che un quadrato è sempre positivo tranne quando la base vale zero.
Analogamente all’esercizio precedente abbiamo segnalato con il puntino rosso il fatto che il valore fosse anche uguale.
Mentre con il simbolo di non esistenza (∄) indichiamo il fatto che quel numero rederebbe zero il denominatore quindi non va considerato.
ESEMPIO 3 – VARIANTE COL MINORE O UGUALE
Proviamo a fare una variante dell’esercizio 3 mettendo minore o uguale a zero
La scomposizione rimane identica:
E così pure la tabella dei segni, cambia solamente la soluzione poiché prendiamo la zona negativa o uguale a zero.
Segnaliamo il fatto che nella soluzione finale:
Non abbiamo segnalato il fatto che la x deve essere diversa da 3
Poiché questo valore si trova al di fuori della zona minore o uguale a zero, pertanto abbiamo già escluso questo valore in modo esplicito.
ESEMPIO 4 – DISEQUAZIONI FRATTE
Passiamo a questo quarto esempio:
Come è facile notare ci troviamo già nella forma base, in quanto abbiamo un’unica frazione a sinistra e lo zero a destra.
Tuttavia dobbiamo fattorizzare il numeratore e il denominatore:
Scomponiamo il numeratore come un trinomio speciale:
Mentre il denominatore con un raccoglimento a fattor comune:
Scriviamo dunque la disequazione con la frazione algebrica scomposta
Notiamo immediatamente di avere un fattore con la stessa base al numeratore e al denominatore: (x–3)
Optiamo dunque per l’opzione veloce e andiamo a semplificarli, ricordandoci di segnalare le condizioni di esistenza:
La disequazione con la frazione ridotta ai minimi termini diventa:
Studiamo positivi il numeratore e il denominatore
E costruiamo la tabella dei segni ricordandoci di segnalare la CE
ESEMPIO 4 – DISEQUAZIONI FRATTE
Passiamo a questo quarto esempio:
Come è facile notare ci troviamo già nella forma base, in quanto abbiamo un’unica frazione a sinistra e lo zero a destra.
Tuttavia dobbiamo fattorizzare il numeratore e il denominatore:
Scomponiamo il numeratore come un trinomio speciale:
Mentre il denominatore con un raccoglimento a fattor comune:
Scriviamo dunque la disequazione con la frazione algebrica scomposta
Notiamo immediatamente di avere un fattore con la stessa base al numeratore e al denominatore: (x–3)
Optiamo dunque per l’opzione veloce e andiamo a semplificarli, ricordandoci di segnalare le condizioni di esistenza:
La disequazione con la frazione ridotta ai minimi termini diventa:
Studiamo positivi il numeratore e il denominatore
E costruiamo la tabella dei segni ricordandoci di segnalare la CE
ESEMPIO 4 – VARIANTE CON MAGGIORE DI ZERO
Se nella disequazione 4 avessimo il maggiore di zero:
Tutti i passaggi che svolgeremmo sarebbero identici e otteniamo sempre:
Riportiamo dunque direttamente la tabella finale dei segni e la soluzione.
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DISEQUAZIONI FRATTE CON LA SOMMA DI FRAZIONI
Gli esempi che abbiamo svolto fino ad ora riguardavano equazioni fratte o frazionarie nella forma base.
Dove abbiamo utilizzato la scomposizione dei polinomi e la legge di annullamento sia per trovare le condizioni di esistenza che per trovare le soluzioni.
Ora proponiamo degli esempi un po’ più complessi dove inizialmente non siamo nella forma base.
Questo avviene ad esempio quando il testo presenta una somma di frazioni.
ESEMPIO 5 – DISEQUAZIONI FRATTE
Sul lato sinistro abbiamo una somma di frazioni algebriche:
Dunque dobbiamo trovare il denominatore comune.
Per farlo dobbiamo scomporre in fattori primi i denominatori.
In questo caso siamo fortunati poiché i denominatori presenti sono già fattori primi, dunque basta semplicemente moltiplicarli tar di loro.
Il minimo comune multiplo tra i denominatori (minimo comune denominatore) è:
A questo punto applichiamo le regole per sommare le frazioni:
Svolgiamo i calcoli al numeratore:
Ed ecco la nostra disequazione nella forma base fattorizzata.
Studiamo ora il segno dei fattori al numeratore (maggiore uguale a zero) e al denominatore (maggiore)
Ora andiamo nella nostra tabella dei segni
Nella soluzione prendiamo la zona + e i puntini (uguale a zero)
ESEMPIO 5 – VARIANTE – DISEQUAZIONI FRATTE
Svolgiamo una variante dell’esercizio 5 con il minore o uguale a zero (<=0)
Tutti i passaggi visti sopra sono uguali e conducono alla forma base fattorizzata:
Nella soluzione prendiamo la zona + e i puntini (uguale a zero)
ESEMPIO 6 – DISEQUAZIONI FRATTE
Sul lato sinistro abbiamo una somma di frazioni algebriche:
Dunque dobbiamo trovare il denominatore comune.
Per farlo dobbiamo scomporre in fattori primi i denominatori.
I primi due denominatori sono già fattori primi, mentre il terzo è un trinomio speciale di secondo grado.
Riscriviamo il testo:
Come possiamo notare il denominatore comune è proprio l’ultimo denominatore, in quanto compaiono tutti i fattori presenti negli altri denominatori.
Dunque avremo:
Finiamo i conti al numeratore:
Studiamo ora il segno dei fattori al numeratore e il denominatore (maggiore)
Ora andiamo nella nostra tabella dei segni:
Da notare che possiamo anche non mettere i simboli di non esistenza (∄) che segnalano i fattori che rendono nullo il denominatore, quando nel testo non è presente il simbolo di uguale.
Nella variante:
Avremmo preso come zona di soluzione:
ESEMPIO 7 – DISEQUAZIONI FRATTE
Chiudiamo l’articolo con questo esempio:
Per prima cosa spostiamo tutto a sinistra e fattorizziamo l’ultimo denominatore come una differenza di quadrati:
Ora facciamo il denominatore comune e applichiamo le regole per la somma di frazioni:
Svolgiamo i calcoli al numeratore:
Ci rendiamo conto che questo è un trinomio speciale, quindi lo scomponiamo:
Riscriviamo la frazione:
Studiamo positivi i segni dei quattro fattori:
Nella tabella dei segni prendiamo la zona negativa (–)
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