La forma base dell’equazione fratta è del tipo:
In cui abbiamo un’unica frazione algebrica in x sulla sinistra e lo zero a destra.
Per risolverla imponiamo prima la condizione di esistenza (CE) sul denominatoreimponendolo diverso da zero.
Successivamente imponiamo il numeratore uguale a zero.
Determinando le soluzioni dell’equazione.
Queste sono accettabili se non sono in contrasto con le condizioni di esistenza.
ESEMPIO 1 – EQUAZIONE FRATTA
Vediamo questo esempio:
Imponiamo la condizione di esistenza sul denominatore:
A questo punto imponiamo che il numeratore sia pari a zero.
Anche in questo caso risolviamo un’equazione di primo grado:
La soluzione è certamente accettabile poiché diversa dal valore –1 vietato dalle condizioni di esistenza
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ESEMPIO 2 – EQUAZIONI FRATTE
Imponiamo le condizioni di esistenza sul denominatore:
Ora troviamo le soluzioni eguagliando il numeratore uguale a zero.
Si tratta di risolvere un’equazione di secondo grado, in cui possiamo raccogliere a fattor comune la x:
Applichiamo ora la legge di annullamento del prodotto e imponiamo ogni fattore uguale a zero:
Attenzione che la prima soluzione non è accettabile!
Questo poiché la condizione di esistenza ci diceva che la x non poteva valere zero!
La soluzione della nostra equazione fratta è dunque:
ESEMPIO 3 – EQUAZIONE FRATTA
Partiamo con la condizione di esistenza ponendo il denominatore diverso da zero:
Il lato sinistro è un quadrato di binomio:
Mettiamo dunque la base del quadrato diversa da zero:
A questo punto troviamo le soluzioni dell’equazione fratta mettendo il numeratore uguale a zero.
Si tratta di un’equazione di secondo grado in cui il termine di sinistra è una differenza di quadrati che scomponiamo in una somma per differenza.
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto per trovare i valori della x.
Possiamo anche scrivere:
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché rispettano le condizioni di esistenza
ESEMPIO 4 – EQUAZIONI FRATTE
Consideriamo la seguente equazione frazionaria:
Poniamo il denominatore diverso da zero per stabilire la condizione di esistenza dell’incognita:
Raccogliamo a fattor comune la x e applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
Ora poniamo il numeratore uguale a zero per trovare le soluzioni:
A sinistra abbiamo un trinomio speciale di secondo grado:
Annulliamo i fattori:
Notiamo che la prima soluzione non è accettabile in quanto la x per le condizioni di esistenza:
Dunque l’unica soluzione accettabile è:
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EQUAZIONI FRATTE CON LA SOMMA DI FRAZIONI
Gli esempi che abbiamo svolto fino ad ora riguardavano equazioni fratte o frazionarie nella forma base.
Dove abbiamo utilizzato la scomposizione dei polinomi e la legge di annullamento sia per trovare le condizioni di esistenza che per trovare le soluzioni.
Ora proponiamo degli esempi un po’ più complessi dove inizialmente non siamo nella forma base.
Questo avviene ad esempio quando il testo presenta una somma di frazioni.
ESEMPIO 5 – EQUAZIONI FRATTE
Sul lato sinistro abbiamo una somma di frazioni algebriche:
Dunque dobbiamo trovare il denominatore comune.
Per farlo dobbiamo scomporre in fattori primi i denominatori.
In questo caso siamo fortunati poiché i denominatori presenti sono già fattori primi, dunque basta semplicemente moltiplicarli tar di loro.
Il minimo comune multiplo tra i denominatori (minimo comune denominatore) è:
A questo punto applichiamo le regole per sommare le frazioni:
Svolgiamo i calcoli al numeratore:
Ed ecco la nostra equazione nella forma base:
Andiamo ora a porre le condizioni di esistenza sul denominatore prima di eliminarlo:
Ora studiamo il numeratore uguale a zero per ricavare le soluzioni:
ESEMPIO 6
Consideriamo questo altro esempio di equazione fratta in cui sono presenti somme di frazioni.
I primi due denominatori sono già fattori primi, mentre il terzo è un trinomio speciale di secondo grado.
Riscriviamo il testo:
Come possiamo notare il denominatore comune è proprio l’ultimo denominatore, in quanto compaiono tutti i fattori presenti negli altri denominatori.
Dunque avremo:
Finiamo i conti al numeratore:
Imponiamo ora le condizioni di esistenza sul denominatore
Annulliamo ora il numeratore per trovare le soluzioni:
La soluzione trovata è certamente accettabile!
ESEMPIO 7
Vediamo ancora un esempio di questo tipo:
Per prima cosa spostiamo tutto a sinistra e fattorizziamo l’ultimo denominatore come una differenza di quadrati:
Ora facciamo il denominatore comune e applichiamo le regole per la somma di frazioni:
Svolgiamo i calcoli al numeratore:
Ci rendiamo conto che questo è un trinomio speciale, quindi lo scomponiamo:
Riscriviamo la frazione:
Le condizioni di esistenza sono:
Mentre la soluzione ottenuta annullando i fattori del numeratore è:
Entrambe le soluzioni sono accettabili.
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