DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Le disequazioni logaritmiche sono disequazioni in cui l’incognita compare nell’argomento oppure nella base di un logaritmo.

Possiamo considerare le disequazioni logaritmiche come un ampliamento delle equazioni logaritmiche

L’argomento è conche molto correlato con:

• Funzioni logaritmiche
• Disequazioni esponenziali

Esempi di disequazioni logaritmiche sono:

$$ \begin{array}{ccc} \log_2 x >2 & \log_2 (x+3) \ge 0 & \ln (x^2-1) \le \ln(2x+4) \\ \log x – \log(x+1) >1 & \log^2 -3 \log x +2<0 & \frac{\ln^2x -1}{\ln x +2}\ge 1 \end{array} $$

CLASSIFICAZIONE DELLE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Premettiamo che non è semplice fare una classificazione con “etichette” a tutte le equazioni.

Comunque proviamoci.

Le tipologie di  disequazioni logaritmiche che presentiamo oggi sono le seguenti:

• Elementari
• Risolubili mediante proprietà dei logaritmi
• Per sostituzione
• Risolubili con metodo grafico

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE ELEMENTARI

Partiamo dalla prima tipologia: le disequazioni logaritmiche elementari.

Possiamo suddividere questa tipologia in  tre gruppi:

• Semplici
• Composte
• Nella forma base

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE ELEMENTARI “SEMPLICI”

Queste costituiscono il cuore pulsante della teoria delle disequazioni logaritmiche.

La forma con cui si presentano è la seguente:

$$ \log_a x <>k $$

A sinistra abbiamo una funzione logaritmica, mentre a destra una costante.

Esempi di questa tipologia sono:

$$ \log_2 x >3 \quad \ln x \le -1 \quad \log_{\frac{1}{3}}x<5 \quad \log x \ge \frac{1}{2} $$

Esistono tre metodi per risolvere questo tipo di disequazione:

•  logaritmico
•  esponenziale
•  immediato

OPZIONE 1 – METODO LOGARITMICO

Partendo dall’equazione:

$$ \log_a x >k $$

Trasformiamo il termine a destra in un logaritmo con la stessa base del logaritmo di sinistra:

$$ \log_a x > \log_a a^k $$

Eliminiamo a questo punto le basi e otteniamo la soluzione (valore di x)

$$ x > a^k $$

Nota importante!!!

Abbiamo supposto che la base del logaritmo sia maggiore di 1.

Nel caso in cui la base del logaritmo sia compresa tra 0 e 1, oltre ad eliminare i logaritmi dobbiamo cambiare il verso della disequazione!!!

In questo caso risulterà:

$$ x< a^k $$

Questa osservazione varrà anche per tutti gli altri casi che presenteremo!!!

Prendiamo in esame il primo esempio:

$$ \log_2 x >3 \to \log_2 x > \log_2 2^3 \to x > 2^2 \to x >8 $$

OPZIONE 2 – METODO ESPONENZIALE

Presentiamo ora il metodo risolutivo di tipo esponenziale

$$ \log_a x > k $$

Imponiamo a destra e a sinistra la forma esponenziale con la stessa base del logaritmo

$$ a^{\log_a x} > a^k $$

Sul lato sinistro la funzione esponenziale “si porta via” il logaritmo e pertanto otteniamo che

$$ x > a^k $$

Altra nota importante!!!

Chiaramente se la disequazione parte con un simbolo di minore (e la base del logaritmo è maggiore di 1) continuiamo a scrivere il simbolo di minore!!!

$$ \log_a x < k \to a^{\log_a x} < a^k \to x< a^k $$

ATTENZIONE ALLA BASE COMPRESA TRA 0 E 1

Consideriamo a titolo di esempio il secondo caso:

$$ \log_{\frac{1}{3}} x <5 \to \left( \frac{1}{3} \right)^{\log_{\frac{1}{3}} x} < \left( \frac{1}{3} \right)^5 $$

Attenzione!!! Notiamo che la base del logaritmo 1/3  è compresa tra 0 e 1.

Pertanto quando eliminiamo i logaritmi cambiamo il verso della disequazione!!!

$$ x > \left( \frac{1}{3} \right)^5 = \frac{1}{243} \approx 0,004115… $$

OPZIONE 3 – METODO IMMEDIATO

Ritorniamo alla disequazione iniziale:

$$ \log_a x > k $$

Se ci rifacciamo alla definizione di logaritmo possiamo dire che:

” k è l’esponente che dobbiamo dare alla base a per ottenere l’argomento x“

Pertanto possiamo anche dire che la x si ottiene elevando la base del logaritmo a alla k.

$$ x > a^k $$

Prendiamo a riferimento il terzo esempio:

$$ \ln x > -1 $$

Il logaritmo sulla sinistra è definito anche “logaritmo naturale” e la sua base è il numero di Nepero e=2,7182…

Dunque -1 + l’esponente da dare alla base e per ottenere la x

$$ x > e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0,367879 $$

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INTERPRETAZIONE GRAFICA DI UNA EQUAZIONE LOGARITMICA ELEMENTARE SEMPLICE

L’equazione logaritmica in forma elementare semplice 

$$ \log _a x > k $$

Ha la seguente interpretazione grafica

Attenzione!!! Stiamo guardando il grafico di una funzione logaritmica, con la base maggiore di 1!!!

Dove la funzione di colore verde rappresenta la funzione logaritmica elementare

$$ y = \log_a x $$

Che rappresenta il lato sinistro dell’equazione.

Mentre la funzione costante in blu è la retta orizzontale:

$$ y = k $$

(Ovviamente k può variare di valore)

In rosso è rappresentata la soluzione dell’equazione logaritmica, che è la proiezione sull’asse delle x del punto di intersezione:

$$ x = a^ k $$

Quando risolviamo la disequazione logaritmica prendiamo tutti i valori della x che sono maggiori di tale valore

A titolo di esempio mostriamo il grafico dell’ultimo esempio proposto in alto:

$$ \log x \ge > \frac{1}{2} $$

Consideriamo il logaritmo a sinistra con la base 10

La soluzione del grafico sono tutte le x che sono maggiori o uguali alla radice di 10

$$ x > \sqrt{10} $$

ATTENZIONE ALLE BASI COMPRESE TRA 0 E 1

Sicuramente vi sarete chiesti:

“perché dobbiamo cambiare il verso de (o becco) della disequazione quando la base è compresa tra 0 e 1???

Vediamolo con l’esempio già svolto algebricamente:

$$ \log_{\frac{1}{3}} x <5 $$

Sul lato sinistro compare la funzione logaritmica:

$$ y = \log_{ \frac{1}{3}} x $$

Mentre sul lato destro abbiamo la funzione costante:

$$ y = 5 $$

Dobbiamo trovare tutti i valori della x per cui la funzione logaritmica si trovi al di sotto della costante

Vediamo il grafico delle due funzioni 

Come possiamo notare il grafico della funzione logaritmica è strettamente decrescente.

Pertanto la funzione logaritmica si trova “al di sotto” della retta costante per tutti i valori della x che sono maggiori del punto di intersezione.

Se andiamo a zoomare molto in corrispondenza del punto di intersezione vediamo questo

Come possiamo notare la disequazione è verificata per 

$$ x > \frac{1}{243} $$

CONDIZIONI DI ESISTENZA PER LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Fino a questo punto non ci siamo occupati delle condizioni di esistenza.

Quando trattiamo dei logaritmi dobbiamo però tenere presente che le condizioni che li riguardano sono:

$$ CE : \begin{cases} \text{argomento} > 0 \\ \text{base} >0 \land \ne 1 \end{cases}$$

ESEMPIO 1

Consideriamo la seguente disequazione logaritmica:

$$ \log_2 x >3 $$

La condizione qui la applichiamo solo sull’argomento. 

$$ x > 0 $$

Questo dal momento che la base 2 è certamente positiva e diversa da 1.

Risolvendo abbiamo che:

$$ \log_2 x >3 \to x > 2^3 \to x >8 $$

Se mettiamo a sistema la soluzione dell’equazione con la condizione di esistenza:

$$ \begin{cases} x>0 \\ x> 8 \end{cases} \to x >8$$

Ovvero semplicemente la soluzione della disequazione

ESEMPIO 2

Riprendiamo ora l’esempio precedente e cambiamo il verso della disequazione:

$$ \log_2 x <3 $$

La condizione di esistenza rimane la medesima di prima!!!

$$ x >0 $$

Questo dal momento che la base 2 è certamente positiva e diversa da 1.

Risolvendo abbiamo che:

$$ \log_2 x <3 \to x < 2^3 \to x <8 $$

Se mettiamo a sistema la soluzione dell’equazione con la condizione di esistenza:

$$ \begin{cases} x>0 \\ x< 8 \end{cases} \to 0<x<8 $$

Questa volta è cambiato qualcosa!!!

Andiamo a cercare una spiegazione di questo cambiamento nel grafico che rappresenta la disequazione logaritmica.

Come possiamo notare abbiamo preso il tratto di funzione logaritmica che si trova al di sotto della retta costante.

Da notare che la proiezione sull’asse delle x di tale tratto di funzione è proprio:

$$ 0<x<8 $$

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE ELEMENTARI “COMPOSTE”

Possiamo considerare queste come un ampliamento delle disequazioni elementari “semplici”

In particolare si presentano nella forma:

$$ \log_a \left( f(x) \right)> k \quad \lor \quad \log_a \left( f(x) \right)> k $$

Dove f(x) rappresenta una funzione composta in x.

Quando ci troviamo nella forma:

$$ \log_a \left( f(x) \right)> k \quad \text{con}\ a>1$$

Attraverso uno dei metodo predetti otteniamo che 

$$ f(x) > a^k $$

Da qui daremo vita ad una nuova equazione di vario genere

ESEMPIO 1

Facciamo un esempio

$$ \log (2x+1) > -2 $$

Applicando la definizione di logaritmo perveniamo alla forma:

$$ 2x+1 > 2^{-2} $$

Che possiamo anche scrivere come:

$$ 2x+1 > \frac{1}{4} $$

Moltiplichiamo a destra e sinistra per 4

$$ 8x+4>1 $$

E risolviamo la disequazione di primo grado

$$ 8x >-3 \to x> – \frac{3}{8} $$

ESEMPIO 2

Quando ci troviamo nella forma:

$$ \log \left( f(x) \right) < k \quad \text{con }\ a>1 $$

La soluzione è:

$$ 0 < f(x) < a^k $$

Consideriamo il seguente esempio:

$$ \ln (x^2-1) <0 $$

Vi faccio notare che quando l’argomento diventa molto ingombrante potete anche momentaneamente semplificare l’equazione con:

$$ \ln t <0 $$

Quindi abbiamo:

$$ \ln t <0 \to 0<t<e^0 \to 0<t<1$$

Risostituendo otteniamo:

$$ 0< x^2-1 < 1 $$

Che possiamo anche scrivere come segue:

$$ 1 < x^2 < 2 $$

Se preferite potete risolvere questa disequazione con il seguente sistema di disequazioni

$$ \begin{cases} x^2 <2 \\ x^2 >1 \end{cases} \to – \sqrt{2}<x<-1 \lor 1<x<\sqrt{2}$$

STAI PREPARANDO L’ESAME DI MATEMATICA?

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DISEQUAZIONI LOGARITMICHE ELEMENTARI “NELLA FORMA BASE”

Queste equazioni si presentano nella forma generale:

$$ \log \left( f(x) \right) > \log \left( g(x) \right) $$

Dove i logaritmi presentano la stessa base maggiore di 1 (che per questo non ho riportato)

In questo caso bisogna imporre le condizioni di esistenza sugli argomenti dei logaritmi.

$$ CE: \ \begin{cases} f(x) >0 \\ g(x) >0 \end{cases} $$

E successivamente risolvere l’equazione eliminando i logaritmi:

$$ f(x) > g(x) $$

(caso con la base maggiore di 1)

Supponendo che

Quello che dobbiamo fare è mettere a sistema la procedura risolutiva con la condizione di esistenza:

$$ \begin{cases} f(x) >0 \\ g(x) >0 \\ f(x) > g(x) \end{cases} $$

ESEMPIO

Consideriamo il seguente esempio:

$$ \log (x^2 +x) > \log (6-4x) $$

Partiamo con le condizioni di esistenza:

$$ \begin{cases} x^2 +x >0 \\ 6-4x >0 \end{cases} $$

Da cui risolvendo le due disequazioni otteniamo che:

$$ \begin{cases} x<-1 \lor x>0 \\ x<\frac{3}{2} \end{cases} $$

Da cui ricaviamo che il campo di esistenza della x è:

$$ CE:\ x<-1 \lor 0<x< \frac{3}{2} $$

Ripartiamo quindi dalla disequazione iniziale:

$$ \log (x^2 +x) > \log (6-4x) $$

 ed eliminiamo i logaritmi, pervenendo ad una equazione di secondo grado:

$$ x^2 +x > 6-4x$$

(nota che la base è maggiore di 1, quindi il verso della disequazione non cambia)

Se spostiamo tutto a sinistra e riordiniamo abbiamo che:

$$ x^2+5x-6 >0 $$

Possiamo scomporre il polinomio di sinistra come un trinomio speciale di secondo grado, somma-prodotto.

$$ (x+6)(x-1) >0 $$

Da cui otteniamo la soluzione

$$ x<-6 \lor x >1 $$

L’ultimo passaggio è quello di mettere a sistema tale soluzione con le condizioni di esistenza:

$$ \begin{cases} x<-1 \lor 0<x< \frac{3}{2} \\ x<-6 \lor x >1 \end{cases} $$

La soluzione che otteniamo è:

$$ S: x<-6 \lor 1<x< \frac{3}{2} $$

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE RISOLUBILI CON LE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI

Possiamo considerare questa categoria come un ampliamento della categoria precedente.

Vediamo un paio di esempi pratici

$$ \log(x+1) + \log x < \log (10-2x) \quad \log_2 x – \log_4 (x+1) <1 $$

In questo tipo di equazioni si applicano tutte le proprietà dei logaritmi dopo avere opportunamente imposto le condizioni di esistenza.

Tali condizioni prevedono che l’argomento sia un numero reale positivo.

ESEMPIO 1

$$ \log(x+1) + \log x < \log (10-2x) $$

Partiamo dalle condizioni di esistenza.

Nel testo compaiono tre logaritmi di base nota (supponiamo 10).

Affinché questi logaritmi esistano dobbiamo imporre che i loro argomenti risultino essere positivi.

Dunque imponiamo in un sistema di disequazioni la positività di tutti gli argomenti:

$$ \begin{cases} x+1>0 \\ x>0 \\ 10-2x>0 \end{cases} $$

Da cui si perviene a

$$ \begin{cases} x>-1 \\ x>0 \\ x<5 \end{cases} $$

Risolvendo il sistema otteniamo che la nostra x

$$ CE:\ 0<x<5 $$

A questo punto ritorniamo al testo iniziale della disequazione logaritmica

$$ \log(x+1) + \log x < \log (10-2x) $$

E applichiamo le proprietà dei logaritmi

$$ \log \left( x(x+1) \right) > \log(10-2x) $$

Eliminiamo ora i logaritmi pervenendo ad una disequazione di secondo grado

$$ x^2+x>10-2x $$

Spostiamo dunque tutto a sinistra

$$ x^2+3x-10 >0 $$

Scomponiamo (possiamo anche applicare la formula risolutiva)

$$ (x+5)(x-2)>0 $$

E troviamo le soluzioni con la legge di annullamento del prodotto:

$$ x+5=0 \to x=5 \quad \lor \quad x-2= 0 \to x=2 $$

Prendiamo le soluzioni esterne

$$ x<-5 \lor x>2 $$

Ora mettiamo il tutto a sistema con le condizioni di esistenza:

$$ \begin{cases} 0<x<5 \\ x<-5 \lor x>2 \end{cases} \to 2<x<5$$

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE RISOLTE PER SOSTITUZIONE

La terza grande categoria delle equazioni logaritmiche sono quelle che si risolvono per sostituzione.

Andiamo a riportarne un esempio

$$ \log^2 x -\log x -2>0 $$

(supponiamo in base 10 il logaritmo)

Cominciamo imponendo le condizioni di esistenza, ovvero che l’argomento deve essere maggiore di zero:

$$ CE:\quad x>0 $$

Ora operiamo la sostituzione:

$$ \log x = t $$

Per cui otteniamo una disequazione di secondo grado in t:

$$ t^2-t-2>0 $$

Scomponiamo (oppure usiamo la formula risolutiva)

$$ (t-2)(t+1)>0 $$

Da cui abbiamo le soluzioni della t.

$$ t<-1 \lor t>2 $$

Risostituiamo:

$$ \log x <-1 \lor \log x >2 \to x<10^{-1} \lor x>10^2 \to x < \frac{1}{10} \lor x > 100 $$

Mettendo questa soluzione a sistema con le condizioni di esistenza troviamo:

$$ 0<x< \frac{1}{10} \lor x>100 $$

Come certamente potete immaginare questo tipo di equazione è veramente molto vasto!

Per creare una disequazione logaritmica di questo tipo basta che prendiate una pagina a caso del vostro libro in cui vi è scritta un’equazione e sostituite al posto della x il logx.

In questo modo potete ottenere anche da soli un’equazione logaritmica.

REGOLA GENERALE

Per quello che abbiamo visto fino ad ora possiamo estratte la seguente regola generale.

Dobbiamo sempre cerca di ricondurre  al tipo più semplice di disequazione logaritmica(il primo presentato)

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE RISOLTE CON IL METODO GRAFICO

La forma certamente più complessa di equazione logaritmica è quella che si risolve graficamente.

Qui entriamo nella generalità dei casi:

La forma generale di tale tipo di equazione è:

$$ \log \left( f(x) \right) > g(x) $$

Da la complessità dell’argomento mi limito a riportarne un esempio con il relativo grafico:

$$ \log x > 1-x^2 $$

Sulla sinistra abbiamo la funzione

$$ y = \log x $$

Mentre sulla destra la parabola:

$$ y = 1-x^2 $$

La soluzione della disequazione sono tutti i valori di x, ammessi campo di esiste di entrambe le funzioni, per cui:

La funzione logaritmica sia al di sopra della parabola

Ecco la rappresentazione grafica:

In questo caso la disequazione è verificata per le ascisse maggiori di 1:

$$ S:\quad x>1 $$

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