Cosa sono i Logaritmi?

LOGARITMI – DEFINIZIONE

I logaritmi sono esponenti che dobbiamo dare ad una base per ottenere una certa potenza.

Se ad esempio eleviamo il numero due 2 alla terza sappiamo tutti con certezza che il risultato ottenuto è 8.

$$ \color{green}{2}^{\color{red}{3}} = \color{blue}{8} $$

Infatti:

$$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

Questo significa che 3 è l’esponente da dare al 2 per ottenere 8.

Potremo quindi scrivere questa cosa con una scrittura matematica nuova:

$$ \color{red}{3} = \log_{\color{green}{2}} \color{blue}{8} $$

 che si legge: “3 è il logaritmo in base 2 di 8“.

$$ \color{green}{2 \ \text{ è la base del logaritmo}} $$

$$ \color{blue}{8 \ \text{ è l’argomento del logaritmo}} $$

$$\color{red}{3 \ \text{ è il valore del logaritmo, ovvero l’esponente}} $$

CREDENZE MISTICHE SUI LOGARITMI

Molti noi vedono i logaritmi come qualcosa improponibile e lontano dalla realtà.

Ho sentito gente che mi chiedeva se fossero stati inventati da qualche demone per rendere un inferno la loro vita.

Alcuni mi hanno persino fatto domande del tipo:

” i logaritmi si sciolgono al sole?”

Probabilmente immaginando che fossero una sorta di Dracula o qualcosa del genere.

In realtà i logaritmi nascono nel 1600 ad opera di studi nel matematico scozzese John Napier (1550-1617) italianizzato al tempo del fascismo con Giovanni  Nepero, ed erano connessi a particolari studi astronomici.

Per approfondire i calcoli che hanno portato alla sua origine vi consiglio questi due video

https://andreailmatematico.it/Lezione/il-numero-di-nepero-1/

https://andreailmatematico.it/Lezione/il-numero-di-nepero-2/

Nell’ambito della matematica, della statistica, della finanza e delle scienze moderne come la fisica ricoprono un ruolo di assoluto valore.

Partiremo quindi col darne una definizione precisa, attraverso semplici esempi e vedendone il grafico e le proprietà.

Nella parte finale andremo a descriverne in breve la nascita e alcune applicazioni pratiche.

LOGARITMO IN GENERALE

Se prendiamo una potenza di base di base generica a, esponente generico y, il cui risultato è x, ovvero:

$$ a^y = x $$

Possiamo affermare che y è l’esponente da dare alla base a per ottenere x.

Quindi y è il logaritmo in base a di x.

$$ y = \log_a x \\
\ \\
a \ \text{ è la base del logaritmo} \\
x \ \text{ è la base l’argomento del logaritmo} \\
y \ \text{ è il logaritmo, ovvero l’esponente} $$

ESEMPI DI CALCOLO DEI LOGARITMI

Vediamo alcuni esempi basilari di logaritmi adatti a chi li sta scoprendo per la prima volta.

PRIMI ESEMPI DI LOGARITMI – LIVELLO 1

Vogliamo calcolare i seguenti tre logaritmi:

$$ \log_2 2 = ??? \quad \log_2 4 = ??? \quad \log_2 8 = ??? $$

Partiamo dal primo di questi:

$$ \log_2 2 = ??? $$

La domanda che ci poniamo è:

“qual è l’esponente che dobbiamo dare al due per ottenere 2?”

La risposta è semplice, uno (1).

Infatti:

$$ 2^{\color{red}{1}} = 2 \to \ \log_2 2 = \color{red}{1} $$

In modo analogo possiamo procedere con il secondo:

$$ \log_2 4 = ??? $$

“qual è l’esponente che dobbiamo dare al due per ottenere 4?”

Ovviamente è 2. infatti:

$$ 2^{\color{red}{2}} = 4 \to \ \log_2 4 = \color{red}{2} $$

Il terzo esempio viene da se:

$$ \log_2 8 = ??? $$

“qual è l’esponente che dobbiamo dare al due per ottenere 8?”

$$ 2^{\color{red}{3}} = 8 \to \ \log_2 8 = \color{red}{3} $$

Proseguiamo con questi tre esempi di calcolo del logaritmo:

PRIMI ESEMPI DI LOGARITMI – LIVELLO 2

Aumentiamo ora leggermente il livello di difficoltà affrontando logaritmi di potenze ad esponente negativo

$$ \log_2 \frac{1}{2} = ??? \quad \log_2 \frac{1}{4} = ??? \quad \log_2 \frac{1}{8} = ??? $$

Partiamo dal primo:

$$ \log_2 \frac{1}{2} = ??? $$

 e come al solito ci chiediamo:

“qual è l’esponente che dobbiamo dare al due per ottenere 1/2?”

L’esponente da dare al 2 per ottenere 1/2 è -1.

Infatti possiamo scrivere:

$$ 2^{\color{red}{-1}} = \frac{1}{2} \to \ \log_2 \left( \frac{1}{2} \right) = \color{red}{-1} $$

In modo analogo rispondiamo agli  altri due esempi

$$ 2^{\color{red}{-2}} = \frac{1}{4} \to \ \log_2 \left( \frac{1}{4} \right) = \color{red}{-2} $$

$$ 2^{\color{red}{-3}} = \frac{1}{8} \to \ \log_2 \left( \frac{1}{8} \right) = \color{red}{-3} $$

PRIMI ESEMPI DI LOGARITMI – LIVELLO 3

Alziamo ancora un po’ il tiro e vendiamo qualcosa di più complicato, ad esempio con le radici:

$$ \log_2 \sqrt{2} = ??? \quad \log_2 \sqrt[3]{4} = ??? \quad \log_2 \frac{1}{\sqrt[5]{8}} = ??? $$

Se partiamo dal primo dei tre casi:

$$ \log_2 \sqrt{2} = ??? $$

L’esponente da dare al 2 per ottenere la radice quadrata di 2 è 1/2, quindi:

$$ 2^{\color{red}{\frac{1}{2}}} = \sqrt{2} \to \ \log_2 \sqrt{2} = \color{red}{\frac{1}{2}} $$

Procediamo quindi allo stesso modo per gli altri due casi:

$$ 2^{\color{red}}{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \to \ \log_2 \sqrt[3]{4} = \color{red}{\frac{2}{3}} $$

$$ 2^{\color{red}{-\frac{3}{5}}} =\frac{1}{ \sqrt[3]{4}} \to \ \log_2 \frac{1}{ \sqrt[3]{4}} = \color{red}{ \ -\frac{3}{5}} $$

Ricordiamo riguardo a quest’ultimo caso che l’esponente negativo inverte il numeratore e il denominatore della frazione.

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IL LOGARITMO DI 1  VALE ZERO (MA NON IL CONTRARIO)

Se avete seguito bene i passi fino ad ora avrete di certo capito che esiste un solo valore per il logaritmo di 1, qualsiasi sia la sua base.

$$ \log_a 1 = 0 $$

Partiamo da un caso innocuo:

$$ \log_2 1 = \color{red}{y} $$

Dovremo risolvere l’equazione esponenziale:

$$ 2^{\color{red}{y}} = 1 $$

Siccome 1 lo possiamo vedere come 2 elevato alla zero, scriviamo:

$$ 2^{\color{red}{y}} = 2^0 \to \ \color{red}{y}=0 $$

Il valore del logaritmo è zero!

Se prendiamo qualsiasi altra base il risultato non cambierà.

Vediamo con questi tre esempi:

$$ \log_3 1 = \color{red}{y} \to \ 3^{\color{red}{y}} = 3^0 \to \ \color{red}{y}=0 \\
log_5 1 = \color{red}{y} \to \ 5^{\color{red}{y} }= 5^0 \to \ \color{red}{y}=0 \\
\log_\frac{1}{2} 1 = \color{red}{y} \to \ \left( \frac{1}{2} \right)^{\color{red}{y}} = \left( \frac{1}{2} \right)^0 \to \ \color{red}{y}=0 $$

Qualsiasi sia la base del logaritmo il logaritmo di 1 vale zero!!!

ATTENZIONE: IL LOGARITMO DI ZERO NON ESISTE!

Se il logaritmo di 1 vale zero, vale anche il contrario?

Possiamo cioè affermare che il logaritmo di 0 vale 1?

Questa è un’eresia matematica!

Quindi vi prego di non pensare una cosa simile neanche per un secondo perché altrimenti finirete tutti dritti all’inferno!

Sarcasmi a parte vediamo di capire il perché non esiste il logaritmo di zero.

Se ad esempio tentiamo di calcolare il valore del logaritmo in base 2 di zero:

$$ \log_2 0 = \color{red}{y} $$

Ci rendiamo conto che dobbiamo risolvere  l’equazione esponenziale:

$$ \log_2 0 = \color{red}{y} \to \ 2^{\color{red}{y}} = 0 ???$$

Non esiste nessun esponente che dato al 2 ci fa ottenere come risultato lo zero!

$$ \not\exists \ y \in \Re | \ 2^{\color{red}{y}} = 0 $$

Possiamo chiaramente ripetere la stessa cosa con tutte le basi ammissibili dei logaritmi e giungiamo alla stessa conclusione.

$$ \color{red}{ \log_a 0 \ \text{non esiste !}}$$

IL LOGARITMO DI NUMERI NEGATIVI NON ESISTE

Per la stessa ragione vista in precedenza per il logaritmo di zero anche il logaritmo di numeri negativi non esiste.

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BASE DEL LOGARITMO 

Indaghiamo ancora più nel dettaglio i limiti della base del logaritmo.

Questa deve essere positiva e diversa da zero.

$$ \log_a x \quad \text{con} \ a>0 \cap a \ne 0 $$

Quindi le basi ammissibili sono comprese tra 0 e 1 oppure sono maggiori di 1

$$ \log_a x \quad \text{con} \ 0<a<1 \lor a > 1 $$

Questa nozione deriva dal fatto che la funzione logaritmica è nasce come funzione inversa rispetto all’esponenziale e quindi ne deve preservare tutte le caratteristiche.

La funzione logaritmica:

$$ y = \log_a x $$

 è funzione inversa della funzione esponenziale:

$$ y = a^x $$

Se attribuiamo alla base a un valore negativo ad esempio –2:

$$ y = (-2) ^x $$

Ci rendiamo conto di questa cosa:

Se l’esponente x è un numero pari il valore dell’esponenziale è positivo.

Ad esempio:

$$ (-2)^2 = +4 $$

Mentre se sostituiamo all’esponente x un numero dispari la potenza è negativa:

$$ (-2)^3 = -8 $$

Quando sostituiamo alla x una frazione con denominatore pari l’esponenziale non esiste nei numeri reali:

$$(-2)^\frac{1}{2} = \sqrt{-2} \ \ \text{non esiste!} $$

Quando sostituiamo invece una frazione con denominatore dispari esiste ed è negativo:

$$(-2)^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{-2} = – \sqrt[3]{2}$$

Quando sostituiamo in generale un numero reale irrazionale ci troviamo di fronte ad un dilemma amletico:

Consideriamo infatti come esponente il pi-greco.

$$ (-2)^{\color{blue}{\pi}} = (-2)^{\color{blue}{\frac{m}{n}} = ???} $$

Il numero pi-greco non può essere riscritto come nessun rapporto di numeri razionali, quindi non sapremo mai se il valore considerato esiste o non esiste:

$$ (-2)^{\color{blue}{\pi}} \ \leftrightarrow \ \text{“to be or not to be ?”} $$

La presenza di basi negative sembra non accordarsi quindi con esponenti reali ed è escluso quindi che possiamo anche solo pensare al dominio di una tal funzione.

BASE NULLA E BASE UNITARIA

I casi della base nulla (=0) e della base unitaria (=1) creerebbero delle funzioni logaritmiche “indeterminate”.

Per comprendere meglio questo passaggio ritorniamo al concetto di funzione logaritmica come inversa alla funzione esponenziale.

Il che significa che il loro grafico è simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante y=x.

LA BASE NULLA

Consideriamo la funzione esponenziale:

$$ y = a^x $$

ed imponiamo la sua base nulla (a=0), otterrei la funzione

$$ y=\color{red}{0}^x $$

che si ridurrebbe ad una retta orizzontale (l’asse delle x) con eccezione nell’origine (ricordiamo che zero alla zero è una forma indeterminata).

Questo significa che la sua funzione inversa ovvero il “logaritmo in base zero di x”

$$ y = \log_{\color{red}{0}} x $$

dovrebbe coincidere con l’asse delle y, ovvero la retta di equazione x=0.

(infatti l’asse delle y è la simmetrica dell’asse delle x rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante)

Ma questo significherebbe che questa (ipotetica) funzione sarebbe vincolata da un dominio che ha un solo valore (x=0) a cui corrisponderebbero infiniti valori della y.

Ma questo sarebbe in palese contraddizione con il concetto stesso di funzione.

Ricordiamo che la funzione è una relazione tra due insiemi per cui individuata una x del dominio a questa deve corrispondere una ed una sola y del codominio.

Nel nostro caso la x dominio (per altro unica) sarebbe lo zero, ma corrisponderebbero tutti gli infiniti valori dell’asse y (eccetto lo zero).

Questa spiegazione presuppone almeno una minima conoscenza delle funzioni esponenziali e logaritmiche.

Se vogliamo restare su un piano più analitico coerente con il ragionamento sviluppato in questo articolo consideriamo un ipotetico logaritmo in base zero di x cui attribuiamo valore y

$$ \log_{\color{red}{0}} x = y $$

Da ciò ne consegue che y è l’esponente da dare allo zero per ottenere la x:

$$ \log_{\color{red}{0}} x = y \to \ \color{red}{0}^y = x $$

A questo punto dobbiamo ammettere che il valore della y deve essere per forza un reale positivo dal momento che non risulta ammissibile elevare zero ad un numero negativo e nemmeno nullo.

La x assume sempre valore zero qualsiasi valore di y immettiamo

$$ \log_{\color{red}{0}} x = y \to \ \color{red}{0}^y = x \to x=0 \ \forall y >0$$

Questo significa che il logaritmo in base zero di x può valere un qualsiasi numero positivo e resta perciò una quantità indeterminata.

BASE UNITARIA

Possiamo fare lo stesso ragionamento per la base unitaria.

Dal punto di vista delle funzioni possiamo considerare una funzione esponenziale con base 1

$$ y = \color{red}{0}^x $$

La funzione esponenziale sarebbe la retta orizzontale:

$$ y= 1 $$

Dunque la sua ipotetica funzione inversa:

$$ y= \log_{\color{red}{1}} x $$

Dovrebbe coincidere con la retta verticale x=1, ma sarebbe contraddetto il concetto stesso di funzione.

In modo analogo caso della base zero possiamo procedere con il ragionamento analitico.

Ovvero assumiamo l’esistenza di un ipotetico logaritmo in base 1 di x cui attribuiamo valore y.

$$ \log_{\color{red}{1}} x = y $$

Da ciò ne consegue che y è l’esponente da dare alla base 1 per ottenere la x:

$$ \log_{\color{red}{1}} x = \to \ \color{red}{1}^y = x $$

La x assume sempre valore 1 qualsiasi valore di y immettiamo

$$ \log_{\color{red}{0}} x = y \to \ \color{red}{0}^y = x \to x=1 \ \forall y \in \Re$$

Questo si verifica dal momento che 1 elevato ad un qualsiasi numero reale da come risultato sempre 1.

Perciò il logaritmo in base 1 di x può valere un qualsiasi numero reale e resta perciò una quantità indeterminata.

INCOGNITA ALLA BASE

Ora vediamo qualche esempio in cui dobbiamo calcolare la base del logaritmo quando conosciamo gli altri elementi.

$$ \log_{\color{red}{a}} 9 = 2 \quad \log_{\color{red}{a}} 125 = \ -3 \quad \log_{\color{red}{a}} 10 = \frac{1}{3} $$

Partiamo dal primo esempio:

$$ \log_{\color{red}{a}} 9 = 2 $$

In questo caso ci stiamo chiedendo a quale base a dobbiamo dare l’esponente 2 per ottenere come risultato 9 (argomento del logaritmo).

La risposta sembra abbastanza banale e scontata ovvero 3.

Infatti:

$$ \color{red}{a}^2 = 9 \to \ \log_{\color{red}{a}} 9 = 2 $$

Se avessimo voluto risolvere un’equazione avremmo scritto:

$$ \color{red}{a} ^2 = 9 \to \ \color{red}{a} = \pm 3 $$

Ci rendiamo conto di avere due soluzioni.

La soluzione negativa non è però accettabile in quanto i valori della base del logaritmo devo essere positivi e diversi da 1.

Passiamo ora in esame al secondo caso:

$$ \log_{\color{red}{a}} 125 = \ -3 $$

Risolvendo l’equazione associata:

$$ \color{red}{a} ^{-3} = 125 $$

Se eleviamo alla –1 entrambi i termini dell’equazione otteniamo:

$$ \color{red}{a}^3 = \frac{1}{125} = \left( \frac{1}{5} \right) ^3 $$

Essendo un’equazione cubica ci restituisce una sola soluzione:

$$ \color{red}{a} = \frac{1}{5} $$

Da ultimo vediamo il terzo caso:

$$ \log_{\color{red}{a}} 10 = \frac{1}{3} $$

Sviluppiamo l’equazione associata:

$$ {\color{red}{a}} ^\frac{1}{3} = 10 $$

Questo equivarrebbe a scrivere:

$$ \sqrt[3]{\color{red}{a}} = 10 $4

Quindi se eleviamo alla terza entrambi i membri dell’equazione abbiamo:

$$ {\color{red}{a}} = 10^3 = 1.000 $$

INCOGNITA ALL’ARGOMENTO

Come terzo caso di questa sezione vediamo cosa succede quando abbiamo l’incognita al posto dell’argomento del logaritmo.

$$ \log_2 {\color{red}{x}} = 3 \quad \log_3 {\color{red}{x}} = -2 \quad \log_\frac{1}{2} {\color{red}{x}} = \ – \frac{1}{3} $$

Qui stiamo entrando a pieno diritto in quelle che vengono definite le equazioni logaritmiche.

Prendiamo in esame il primo caso:

$$ \log_2 {\color{red}{x}} = 3 $$

Sappiamo che l’argomento x è ottenuto elevando la base al valore del logaritmo, pertanto:

$$ {\color{red}{x}} = 2^3 = 8 $$

Gli altri due casi non presentano quindi grande difficoltà:

$$ \log_3 {\color{red}{x}} = -2 \to \ {\color{red}{x}} = 3^{-2} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} $$

$$ \log_\frac{1}{2} {\color{red}{x}} = \ -\frac{1}{3} \to \ {\color{red}{x}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{- \ \frac{1}{3}} = 2^{ \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2} $$

BASI LOGARITMICHE PARTICOLARI

Quando ci riferiamo ai logaritmi esistono delle basi particolari.

La prima base particolare importante è il 10.

Ovviamente questa base è importante poiché il sistema numerico che utilizziamo oggi nel mondo occidentale è il sistema decimale importato dalla matematica araba.

Quando scriviamo logaritmo in base 10 ci riferiamo al logaritmo Log con la L maiuscola.

$$ \log_{10} x = \text{Log }x $$

NB: In alcuni libri di testo e calcolatrici scientifiche è utilizzata la nozione log con la “l” (elle) minuscola:

$$ \log_{10} x = \text{Log } x = \log x $$

La seconda base nota importante è la e, ovvero il numero di Nepero o anche numero di Eulero.

Questo numero vale circa 2,718281… e viene calcolato come segue:

$$ e = \lim_{ n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = 2,7182818.. $$

Questo numero ricopre un ruolo di fondamentale importanza all’interno della matematica moderna.

Quando scriviamo il logaritmo in base e lo chiamiamo anche logaritmo naturale e viene indicato con le lettere ln (elle-enne).

$$ \log_e x = \ln x $$

Tuttavia molti libri di testo (specialmente universitari) riconoscono il primato di questa forma logaritmica rispetto a quella in base 10.

Per questo motivo viene indicata in altrettanti testi solo con il simbolo log:

$$ \log_e x = \ln x = \log x$$

LOGARITMI SULLA CALCOLATRICE

Se usate una calcolatrice scientifica sono predisposti dei tasti particolari per calcolare il logaritmo di un numero.

Per il logaritmo in base 10 potete usare il tasto log.

Questo tasto è facilmente riconoscibile poiché sopra di questo trovate in giallo la scrittura 10^x.

Vicino al tasto log trovate il tasto ln, che si utilizza per calcolare il logaritmo naturale.

Sopra il tasto ln trovate di solito in giallo la scrittura e^x.

REGOLA DEL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI

Esiste una regola detta del cambiamento di base che ci permetto di cambiare la base appunto.

Supponiamo di avere la scrittura:

$$ \log_a b $$

Se volessimo riscrivere questo numero ma utilizzare una base diversa, ad esempio la base cusiamo questa regola.

In particolare possiamo scriverlo  come il rapporto tra il logaritmo in base cdell’argomento e il logaritmo in base c della base.

$$ \log_a b = \frac{\log_\color{blue}{c} b}{\log_\color{blue}{c} a} $$

In particolare se utilizziamo le basi note:

$$ \log_a b = \frac{\text{Log }a}{\text{Log }b} = \frac{\ln b}{\ln a} $$

Ad esempio se volessimo calcolare il logaritmo in base 2 di 3:

$$ \log_2 3 = \frac{\ln 2}{\ln 3} = 0,6309… $$

FUNZIONE LOGARITMICA

Sotto riportiamo il grafico della funzione logaritmica con base 2, ossia maggiore di 1

PROPRIETÀ’ DEI LOGARITMI

Le proprietà dei logaritmi sono:

Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi (con la stessa base) dei fattori che compongono il prodotto.

$$ \log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b $$

Questa regola viene applicata anche alla frazione.

Il logaritmo di una frazione  è la differenza tra il logaritmo  del numeratore e il logaritmo del denominatore.

$$ \log_c \left( \frac{a}{b} \right) = \log_c a – \log_c b $$

(I logaritmi considerati hanno tutti  la stessa base)

Il logaritmo di una potenza è il prodotto tra l’esponente della potenza e il logaritmo della base.

$$ \log_c a^n = n \cdot \log_c a $$

Infine applichiamo questa formula anche al logaritmo di un radicale che viene visto come il logaritmo del radicando diviso per l’indice del radicale.

$$ \log_c \sqrt[n]a = \frac{1}{n} \cdot \log_c a $$

HAI QUALCHE DOMANDA SUI LOGARITMI?

Se questo articolo ti ha ispirato qualche domanda scrivila sotto nei commenti.

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