La teoria sulla parabola offre degli spunti interessanti per studiare alcune categorie di funzioni irrazionali.
INDICE
FUNZIONI IRRAZIONALI CON LA PARABOLA – ESEMPIO
Rappresenta la seguente funzione irrazionale
$$ \large{y = \sqrt{x-9}} $$
Per studiare questa funzione irrazionale cominciamo studiando le condizioni di esistenza.
Sul lato destro dell’equazione compare una radice quadrata.
L’esistenza di tale quantità è ammissibile nei numeri reali quando il suo argomento o radicando risulta maggiore o uguale a zero, pertanto:
$$ \text{CE}: \quad x-9 \ge 0 \to x \ge 9 $$
D’altro canto la y che si trova sul lato sinistro è proprio uguale ad una radice quadrata.
Quindi il suo valore deve rispettare la condizione sul segno della radice (CS) della radice quadrata che quando esiste deve necessariamente risultare non negativa, perciò scriviamo:
$$ \text{CS}: \quad y \ge 0 $$
Possiamo considerare questa seconda condizione come una concordanza del segno (CS).
Queste due condizioni devono essere verificate contemporaneamente perciò possiamo metterle a sistema:
$$ \begin{array}{l} \text{CE}: \\ \text{CS}: \end{array} \begin{cases} x \ge 9 \\ y \ge 0 \end{cases} $$
Nel sistema cartesiano possiamo rappresentare tali condizioni andando ad eliminare tutte le x minori di 9, dunque che stanno a sinistra della retta x=9 e tutte le y che sono minori di zero e quindi tutto il semipiano sotto l’asse delle x.
Ora che sappiamo in quale zona ci troviamo grazie alle condizioni di esistenza e di concordanza del segno eleviamo alla seconda entrambi i termini dell’equazione:
$$ y = \sqrt{x-9} \to y^2 = x-9 $$
In questo modo scompare l’operazione sgradevole di radice quadrata.
Isoliamo ora la x spostando il 9 a sinistra e rileggendo il testo dalla sinistra verso la destra:
$$ x = y^2+9 $$
Quello che otteniamo è una parabola con asse parallelo all’asse delle x con vertice nel punto (9,0) e simmetrica rispetto all’asse delle x.
Andiamo dunque a rappresentarla nel sistema insieme alle condizioni iniziali.
La nostra funzione irrazionale cade nella zona di piano che non abbiamo cancellato.
Si tratta dunque di una semi-parabola.
FUNZIONI IRRAZIONALI CON LA PARABOLA – ESEMPIO DUE
Rappresenta la seguente funzione irrazionale
$$ \large{y =3- \sqrt{x+4}} $$
Cominciamo isolando la radice quadrata sul lato destro:
$$ y-3 = – \sqrt{x+4} $$
Imponiamo che l’argomento della radice (radicando) sia maggiore o uguale a zero
$$ \text{CE}: \quad x+4 \ge 0 \to x \ge -4 \to x \ge -4$$
D’altro lato il valore di y+3 deve risultare per forza minore o uguale a zero dal momento che è uguale all’opposto di una radice quadrata.
Perciò scriviamo:
$$ y-3 \le 0 \to y \le 3 $$
Possiamo scrivere a sistema le due condizioni
$$\begin{array}{l} \text{CE}: \\ \text{CS}: \end{array} \begin{cases} x \ge -4 \\ y \le 3 \end{cases} $$
Andiamo adesso a rappresentare nel sistema cartesiano le condizioni.
Per la prima condizione eliminiamo tutto il semipiano che si trova a sinistra della retta x=-4.
Mentre in virtù della seconda condizione andiamo ad eliminare tutto il semi-piano al di sotto della retta y=3.
Fatte le condizioni di esistenza adiamo ad elevare al quadrato entrambi i termini dell’equazione ala seconda di modo da far sparire la radice:
$$ y-3 = \sqrt{x+4} = (y-3)^2 = x+4 $$
Isoliamo la x sul lato sinistro e sviluppiamo il quadrato di binomio:
$$ \begin{array}{l} x = (y-3)^2-4 \\ x= y^2-6x+9-4 \end{array} $$
Ed ecco che magicamente appara la nostra parabola con asse parallelo all’asse delle x
$$ x = y^2-6x+5 $$
Ovviamente a noi interessa la semi-parabola che si trova nella parte inferiore ovvero quella che si trova nella parte di piano che non abbiamo eliminato
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