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funzioni irrazionali e parabola

La teoria sulla parabola offre degli spunti interessanti per studiare alcune categorie di funzioni irrazionali.

FUNZIONI IRRAZIONALI CON LA PARABOLA – ESEMPIO

Per studiare questa funzione irrazionale cominciamo studiando le condizioni di esistenza.

Sul lato destro dell’equazione compare una radice quadrata.

L’esistenza di tale quantità è ammissibile nei numeri reali quando il suo argomento o radicando risulta maggiore o uguale a zero, pertanto:

 che risulta verificata per:

D’altro canto la y che si trova sul lato sinistro è proprio uguale ad una radice quadrata.

Quindi il suo valore deve rispettare il segno della radice quadrata che quando esiste deve necessariamente risultare non negativa, perciò scriviamo:

Possiamo considerare questa seconda condizione come una concordanza del segno.

 Queste due condizioni devono essere verificate contemporaneamente perciò possiamo metterle a sistema:

Nel sistema cartesiano possiamo rappresentare tali condizioni andando ad eliminare tutte le x minori di 9, dunque che stanno a sinistra della retta x=9 e tutte le y che sono minori di zero e quindi tutto il semipiano sotto l’asse delle x.

funzioni irrazionali e parabola

Scopri il corso di geometria cartesiana.

Ora che sappiamo in quale zona ci troviamo grazie alle condizioni di esistenza e di concordanza del segno eleviamo alla seconda entrambi i termini dell’equazione:

In questo modo scompare l’operazione sgradevole di radice quadrata.

Isoliamo ora la x spostando il 9 a sinistra e rileggendo il testo dalla sinistra verso la destra:

Quello che otteniamo è una parabola con asse parallelo all’asse delle x con vertice nel punto (9,0) e simmetrica rispetto all’asse delle x.

Andiamo dunque a rappresentarla nel sistema insieme alle condizioni iniziali.

La nostra funzione irrazionale cade nella zona di piano che non abbiamo cancellato.

Si tratta dunque di una semi-parabola.

funzioni irrazionali e parabola

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FUNZIONI IRRAZIONALI CON LA PARABOLA – ESEMPIO DUE

Cominciamo isolando la radice quadrata sul lato destro:

Imponiamo che l’argomento della radice (radicando) sia maggiore o uguale a zero

 che risulta verificata per:

D’altro lato il valore di  y+3 deve risultare per forza minore o uguale a zero dal momento che è uguale all’opposto di una radice quadrata.

Perciò scriviamo:

Da cui risulta che:

Possiamo scrivere  a sistema le due condizioni

Andiamo adesso a rappresentare nel sistema cartesiano le condizioni.

Per la prima condizione eliminiamo tutto il semipiano che si trova a sinistra della retta x=-4.

Mentre in virtù della seconda condizione andiamo ad eliminare tutto il semi-piano al di sotto della retta y=–3.

funzioni irrazionali e parabola

Scopri il corso di geometria cartesiana.

Fatte le condizioni di esistenza adiamo ad elevare al quadrato entrambi i termini dell’equazione ala seconda di modo da far sparire la radice:

Isoliamo la x sul lato sinistro e sviluppiamo il quadrato di binomio:

Ed ecco che magicamente appara la nostra parabola con asse parallelo all’asse delle x

Ovviamente a noi interessa la semi-parabola che si trova nella parte inferiore ovvero quella che si trova nella parte di piano che non abbiamo eliminato

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