DIFFERENZA DI QUADRATI – SCOMPOSIZIONE

La regola per la scomposizione di una differenza di quadrati è la seguente:

$$ A^2 -B^2 = (A+B)(A-B) $$

Per ricavarla basta semplicemente rileggere da destra verso sinistra lo sviluppo della somma per differenza, che rientra nella categoria dei prodotti notevoli.

Si tratta di una delle formule più conosciute e più semplici di tutta la matematica.

Per applicare la regola di scomposizione bisogna riconoscere la presenza di una differenza tra due quadrati.

A questo punto si calcolano le radici dei quadrati.

Infine si fa la somma delle radici per la differenza delle radici.

ESEMPI DI SCOMPOSIZIONE DI UNA DIFFERENZA DI QUADRATI

ESEMPIO 1

Consideriamo la seguente differenza di quadrati:

$$ 4x^2-9 $$

Dal testo possiamo facilmente notare che abbiamo una differenza di due quadrati:

$$ 4x^2 = (2x)^2 \quad \text{e} \quad 9 = 3^2 $$

Ragionando in termini di radici quadrate potremmo anche scrivere:

$$ \sqrt{4x^2} = 2x \quad \text{e} \quad \sqrt{9} = 3 $$

Perciò il testo può essere riscritto così:

$$ 4x^2-0 = (2x)^2-3^2 $$

Ora possiamo procedere con la scomposizione:

$$ 4x^2-0 = (2x)^2-3^2 = (2x+3)(2x-3)$$

ALTRI ESEMPI DI SCOMPOSIZIONE DI DIFFERENZA DI QUADRATI

Adesso che abbiamo capito come funziona la regola per la scomposizione di una differenza di quadrati, andiamo a svolgere altri esercizi.

$$ \begin{array}{ccc} x^2-4 & 9x^2-16y^2 & 16x^2y^2 -25z^2 \\ \frac{4}{9} x^2 – \frac{16}{25} y^2 & \frac{9}{25} x^2 – \frac{49}{121} y^2 & \end{array} $$

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VISUALIZZAZIONE GEOMETRICA DELLA DIFFERENZA DI QUADRATI

Per visualizzare geometricamente una differenza di quadrati 

$$ A^2 -B^2 $$

è molto semplice.

Basta immaginare due quadrati di lati A e B, posizionati come in figura

 l’area della differenza di due quadrati è quella contornata di giallo.

Ma come è possibile che l’area suddetta equivalga alla sua scomposizione?

$$ A^2 – B^2 = (A+B)(A-B) \quad ??? $$

Scomponiamo  l’area gialla in tre rettangoli che avranno aree pari a:

$$ B(A-B) \quad (A-B)B \quad (A-B)^2 $$

Che per comodità chiamiamo:

$$ R_1 \quad R_2 \quad R_3 $$

Ruotiamo ora il triangolo R2 di 90 gradi e affianchiamolo perfettamente al triangolo R3.

Ecco che abbiamo trovato un rettangolo che ha per dimensioni proprio (A+B) e (A–B) 

Risulta verificata quindi l’uguaglianza:

$$ A^2 -B^2 = (A-B)(A+B) $$

Ecco che abbiamo dimostrato geometricamente così la scomposizione della differenza di quadrati:

DIFFERENZA DI QUADRATI CON I NUMERI

Ma siamo proprio sicuri che la regola della scomposizione della differenza di quadratifunzioni anche con i semplici numeri?

Vediamolo con qualche esempio.

Partiamo da esempi semplici come al solito.

$$ 2^2-1^2 \quad 3^2 -2^2 \quad 5^2 -3^2 $$

ESEMPIO 1

Partiamo dal primo esempio:

$$ 2^2-1^2 $$

Questo calcolo è abbastanza basilare e se andiamo a risolvere questa differenza abbiamo che:

$$ 2^2-1^2 = 4-1 = 3 $$

Ora proviamo ad applicare la regola per la scomposizione di una differenza di quadrati:

$$ 2^2 -1^2 = (2+1)(2-1) = 3 \cdot 1 = 3 $$

Funziona!!!

ESEMPIO 2

Siccome siamo un po’ malfidenti, passiamo al secondo esempio:

$$ 3^2 -2^2 = 9-4 = 5 $$

Se applichiamo la scomposizione:

$$ 3^2-2^2 = (3+2)(3-2) = 5 \cdot 1 = 5 $$

Ci siamo!

ESEMPIO 3

Già che ci siamo passiamo al terzo caso, la terna pitagorica:

$$ 5^2 – 3^2 = 25-9 = 16 $$

Con la scomposizione il calcolo diventa:

$$ 5^2 -3^2 = ( 5+3)(5-3) = 8 \cdot 2 = 16 $$

Fantastico!

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SCOMPOSIZIONE RIPETUTA DELLA DIFFERENZA DI QUADRATI

Potrebbe capitare che una volta che abbiamo effettuato una differenza di quadrati se ne manifesti ancora una imminente.

Siamo di fronte ad un caso di scomposizione ripetuta più volte.

Consideriamo il seguente esempio:

$$ x^8 -1 $$

Scomponiamola come differenza di quadrati:

$$ (x^4 +1)(x^4-1) $$

Votiamo ora che nella seconda parentesi si manifesta nuovamente una differenza di quadrati:

$$ (x^4 +1)(x^2+1)(x^2-1) $$

Ancora nell’ultima parentesi abbiamo nuovamente questo caso.

La scomposizione finale è dunque:

$$ (x^4 +1)(x^2+1)(x+1)(x-1) $$

Siamo sicuri che sia proprio finita qui?

Diciamo che fin tanto che abbiamo come riferimento l’insieme dei numeri razionali e delle potenze con esponente naturali si.

Se invece cadiamo nel campo dei numeri irrazionali la scomposizione potrebbe andare avanti all’infinito:

$$ x^8 – 1 = \\ (x^4+1)(x^4-1) = \\ (x^4+1) ( x^2+1) (x^2-1)= \\(x^4+1) ( x^2+1) (x+1)(x-1)= \\ (x^4+1) ( x^2+1) (x+1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)= \\ (x^4+1) ( x^2+1) (x+1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt[4]{x}+1)(\sqrt[4]{x}-1)= \\ \dots $$

DIFFERENZA DI QUADRATI E ALTRE SCOMPOSIZIONI

La scomposizione della differenza di quadrati potrebbe essere inserita insieme ad altre scomposizioni, come ad esempio:

• Raccoglimento a fattor comune (totale)
• Raccoglimento a fattor parziale
• Quadrato di binomio
• Trinomio di secondo grado
• …

Vediamo sotto alcuni esempi:

VISUALIZZARE MEDIANTE FUNZIONE LA DIFFERENZA DI QUADRATI

È possibile visualizzare una differenza di quadrati mediante funzione?

Vedremo che per alcuni tipi di differenza di quadrati la cosa è possibile.

Ad esempio la seguente differenza di quadrati:

$$ x^2-4 $$

Può essere visualizzata nel piano cartesiano come la parabola di equazione:

$$ y = x^2-4 $$

Questa parabola presenta una concavità rivolta verso l’alto e punti di intersezione con l’asse delle x pari a (–2,0) e (2,0)

In alcuni casi è perfino possibile vedere la differenza di quadrati in un sistema tridimensionale.

Ad esempio questo è possibile per la funzione:

$$ z= x^2-y^2 $$

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